1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足以 aih=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵； A是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）
2、43 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（A）|AB|=0（B） |BA|=0（C） |AB|=|BA|（D）|BA|BA|=|BA|BA|4 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 25 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）|A|0，则|B|0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则|B|0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B
3、6 设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（A）必有一个等于零（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n7 设 ，若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定8 设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A*)*)为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P2=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B10 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1
4、（D）P 2A-1P111 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量12 已知三阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，24二、填空题13 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=-2 ，|B|=3 ，则|B|A -1|=_14 设 A= ，则 A-1=_15 已知
5、A2 一 2A+E=O，则(A+E) -1=_16 设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) *|=_17 设 则(A*) -1=_18 设 则(A -1)*=_19 设 A= B=(E+A)-1(EA)，则(E+B) -1=_20 已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= 则 AB=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 证明：r(A+B)r(A)+r(B)22 设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹
6、，记成 trA，即23 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O24 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即25 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵26 证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若|A|=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 127 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0
7、，A=E+ T，试计算： (1)|A| ； (2)A n； (3)A -128 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= 且E+AB 是不可逆的对称阵，求 A29 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A-130 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B 证明：AE 可逆，并求(A E)-131 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A-1 和(A+B) -132 设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明： E+BA 也可逆，并求(E+BA) -133 设 A=E-T， 是非零列向量，证明
8、：(1)A 2=A 的充要条件是 T=1；(2)当 T=1时，A 不可逆34 设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆35 已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明： B 不可逆36 设 A=(aij)nn，且 ，i=1，2，n，求 r(A*)及 A*37 已知 n 阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和38 设矩阵 A 的伴随阵 且 ABA-1=BA-1+3E，求 B考研数学二（线性代数）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
9、目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=A T，那么|A*|=|AT|，也即 |A|2=|A|，即|A|(|A|一 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 |A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故|A|=1因此，A 可逆 并且AAT=AA*=|A|E=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确， 错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 (B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|
10、AE|B|0，故|B|0，因此 B可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， |AB|=|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，四个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 mn，则有 r(AB)r(A)nm，可知矩阵 AB 不满秩，因此(A)正确由于 BA 是 n 阶矩阵，是否满秩无法
11、确定，故不一定有|BA|=0，故(B) 错误 由于 A，B 不为方阵，因此没有等式|AB|=|A|B|=|BA|事实上，由上面的讨论过程可知，当 BA 满秩时，有|AB|=0|BA|，故(C)不正确 |BA|BA|=|BA|n|BA|=|BA|n+1，可知，等式|BA|BA|=|BA|BA|也不一定成立，故(D)错误 综上，唯一正确的选项是(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： (1)AmsBsn=O r(A)+r(B)s； (2)A msBsn=O 组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量对于本题， PQ=O
12、;r(P)+r(Q)3;1r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=1;1r(1P)2;r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错； 当 t6 时，r(Q)=2;1r(P)1;r(P)=1 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B-1B=E，可见(B)中命题成立 AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故|B|0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的
13、故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 |A|0 时，我们也只能得到r(B)=n，也即|B|0，不一定有|B|0故选(A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 AB=O;r(A)+r(B)n；又 A0，BO;r(A)1，r(B)1，则 (A)n，r(B) n【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3 则|A|=0，即得 a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选(C) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由于(A*)*=|A| n-2A，由于 A 不满秩，故|A|=0于是(A*)*=O，r(A*
14、)*)=0，故应选(A) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 (C)成立【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B -1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 (1)矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误 (2)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 A= A*A=A* A*=-1|A|
15、 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A*=O，此时，任意 n维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 (3)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2=一 2，其中 1， 20此时有 A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是 A 的特征向
16、量故(C)错误 (4)若 为 2A的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 ，因此 为 A 的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 2A*的特征值是 ，其中|A|= 123， i 是 A 的特征值，分别为1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 |A|=一 2，|B|=3，|B|A -1|=|B|n|A-1|=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2得 A 2 一 2A=A(A-2E)=3E
17、，【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 A 2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 (2A)(2A)*=|2A|E ，(2A)*=|2A|(2A) -1，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 (A -1)(A-1)*=|A-1|E,(A-1)*=|A-1|A=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) -1(EA)=(E+A)-1(E+A+E-A)=(E+A)-12E，故【知识模块】 线性代数
18、20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n，由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量组 1， 2， n， 1， 2， n 线性表出的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2，
19、n)+r(1， 2， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 且记 AB=C=(cij)nn， BA=D=(dij)nn，则【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设记 B=AAT，则即 A=O【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 ，且 A 是正交矩阵(1)AAT=E，A，A T 互为逆矩阵，有 ATA=E，故(2)AAT=E 即【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT， AA*=AA T=|A|E两边取行列式，得|A| 2=|A|n，得|A|
20、 2(|A|n-2 一 1)=0因 A 是非零阵，设 aij0，则|A|按第 i 行展开有从而由|A| 2(|A|n-2 一 1)=0，得|A|=1，故AA*=AAT=|A|E=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵 AAT=E |A|=1 若|A|=1，则AA*=|A|E=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij； 若|A|=-1，则AA*=|A|E=-E，A( 一 A*)=E，而已知 AAT=E，从而有一 A*=AT，即 aij=一 Aij 充分性 |A|=1 且 aij=Aij，则 A*=AT，AA*=AA T=|A|E=
21、E，A 是正交阵，|A|=一 1，且aij=一 Aij 时，一 A*=AT，AA*=|A|E=一 E，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)|A|=|E+ T|=(2)An=(E+T)n=En+nEn-1T+ 当 k2 时，( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T) T=0，故 An=E+nT(3)A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2T 一 E=2AE 2AA2=E，A(2E-A)=E， A -1=2E一 A=E 一 T【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 ，因(E+AB) T=(E+AB)，故有b=c=d=e=0又 E
22、+AB 不可逆，有|E+AB|= =14f2=0，得从而得 其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E B+B2 一 B3)=E 一 B4=E，故 A=E+B 可逆，且 A -1=(E+B)-1=EB+B2 一 B3 又【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因 AB=A+B，即 AB-AB=0，AB 一 AB+E=E，A(B E)一(B一 E)=E，即 (AE)(BE)=E，故 AE 可逆，且(AE) -1=BE【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A
23、+B)=-B 2 式右乘(一 B2)-1，得 A(A+B)(一 B2)-1=E，得 A 可逆，且 A-1=(A+B)(一 B2)-1 式左乘(一 B2)-1，得(一 B2)-1A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1=(一 B2)-1A【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (E+BA)=B(B -1+A)=B(E+AB)B-1，因 B，E+AB 可逆，故 E+BA 可逆，且 (E+BA) -1=B(E+AB)B-1-1=B(E+AB)-1B-1【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)A 2=(E 一 T)T=E 一 2T+(T)2=E-(2 一 T)T=A,2 一
24、T=1，即 T=21=1 (2) T=1，A 2-A=A(A-E)=0，AE，AX=0 有非零解,|A|=0【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 |E+BA|=|(E+BA) T|=|E+ATBT|=|E+AB|=0，故 E+BA 也不可逆【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故|B T|=0，即|B|=0，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 =0，i=1 ，2，n，可知|A|=0，r(A)n 一 1，当 r(A)=n一 1 时，有 r(A*)=1，r(A) n 一 1，r(A*)=0，故有 r(A*)1 r(A*)=1 时，A*=T，其中 ， 为任意非零向量； r(A*)=0 时， A*=O.【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 AA*=|A|E=E，【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 由题设(AE)BA -1=3E (AE)B=3A,A -1(A-E)B=3E(EA-1)B=3E， 其中|A*|=8=|A| 3，|A|=2，从而得 (2E A*)B=6E， B=6(2EA*)-1，【知识模块】 线性代数
