1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A 是 n 阶矩阵，则（A）(-2) n|A|n（B） (4|A|)n（C） (-2)2n|A*|n（D）|4A| n2 A 是 n 阶矩阵，则（A）(-2) n|A*|n（B） 2n|A*|n（C） (一 2)n|A|n-1（D）2 n|A|n-13 设 ，则(P -1)2016A(Q2011)-1=( )4 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，
2、2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1-2， 122+3， (1 一 3)， 1+32-43，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）l6 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B）
3、 k1（C） k(1+2)（D）k( 1-2)7 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A*是 A 的伴随矩阵，则 ( )（A）A*x=0 的解均是 Ax=0 的解（B） Ax=0 的解均是 A*x=0 的解（C） Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解（D）Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解8 设向量组(I)： 1， 2， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，则 ( )（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组(I)必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组(I)必线性相关
4、9 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； () 的解不一定是() 的解 其中，正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）10 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是 ( )（A） 1， 2， s，均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s，中任意一个向量均不能由其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关11 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的
5、二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能12 已知 1， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 一 2（D） 1+2二、填空题13 设 B= ，则 B-1=_14 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= 则 r(AB)=_15 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_16 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则|A+
6、2E|=_17 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=则(B 一 2E)-1=_18 已知 ABC=D，其中 ，则B*=_19 设 1=1， 0，一 1，2 T， 2=2，一 1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，-1，一 5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_20 已知三维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 一 2， 2-k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 求 B22 设
7、 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系23 设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 24 (1)A，B 为 n 阶方阵，证明： (2)计算25 设有矩阵 Amn，B nm，E m+AB 可逆，(1)验证：E n+BA 也可逆，且(E n+BA)-1=EnB(Em+AB)-1A；(2)设 其中，利用(1)证明：P 可逆，并求 P-126 已知 1=1，-1 ，1 T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，一 4T，若
8、 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式27 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1，讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性28 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若AB=E，证明：B 的列向量组线性无关29 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关30 设向量组() 与向量组() ，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r，
9、证明：(I)与 ()等价31 求齐次线性方程组 的基础解系32 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式33 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解34 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k10，1 ，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T (1)求线性方程组(I)的基础解系； (2) 问线性方程组() 和 ()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由35 设 1， 2， s 和 1， 2， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条
10、件是 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关36 已知 1=1，2，一 3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，一 3，6，3T， 4=2，一 1，3，a T问： (1)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式37 已知 问 取何值时， (1) 可由1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一； (2) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一； (3) 不能由 1， 2， 3 线性表出38 设向量组 1=a11，a 21，,a
11、 n1T， 2=a12，a 22， ，a n2T， ， a=a1s,a2s，,a nsT，证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(有唯一零解)考研数学二（线性代数）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 =(-2)2n|A*|A|=4n|A|n=(4|A|)n【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 =(一 1)n|A*|-2I|=2n|A*|=2n|A|n-1【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 易知 P2=E，故 P-1=P，进一
12、步有(P -1)2016=p2016=(P2)1008=E故，由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 第 2 列的 2011 倍加到第 1 列，计算可知应选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的令 则 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知 是错误的 由 1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1 一
13、 4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4，可知 r( 1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)， r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)，故当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1-2)=A1 一 A2=b 一 b=0，A( 122+3)=A12A2+A3=b2b+b=0，A(1+
14、32-43)=A1+3A24A3=b+3b-4b=0，因此这 4 个向量都是 Ax=O 的解，故选(A) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=一 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)、(C)由于 11，必有 1-20可见(D)正确【知识模块】 线性代数7
15、 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 nr(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A*=O，任意 n 维向量均是 A*x=0 的解，故正确选项是(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组(II)线性表示，则 rs”的逆否命题即知【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 当 A*x=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确、错误当 An+1=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nX 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx
16、 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解，故正确、错误故选(B)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D) 都是向量组线性无关的必要条件，但不充分【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE A)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A= ，r(A)=1，=0 是三重特征值【知识模块
17、】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 一 20，且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 2=(1 一 2)，故 1 一 2 是特征向量而(A) 1，(B) 2，(D) 1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【试题解析】 B 可逆，则 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=|A 一(-2E)|=0 知 =-2 为 A 的一个特征值，由 AB 知 A和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一
18、 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为1=1， 2=一 1， 3=一 2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=一 3，从而 |E+2B|=3(一 1)(一 3)=9，|A|= 123=2 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 |A+2E|=3 n
19、-16=23n【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=0再在等式两边同时加上 6E 可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，也即 (A 一 3E)(B 一 2E)=6E，进一步有 (B 一 2E)=E可知【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 一 3【试题解析】 不能 1， 2， 3 线性表出,t=-3【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1【试题解析】 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1=1， 2， 3 因1， 2， 3 线性
20、无关，故 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性无关的充要条件是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 两边左乘 A，右乘 A-1，得 |A|B=2AB-8E，(|A|E-2A)B=-8E ，【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 记 Eij 为初等阵 则B=EijA,|B|=|EijA|=|Eij|A|=一|A|0 ，故 B 可逆，且 B -1=(EijA)-1=A-1Eij-1=A-1Eij 故知B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)将 A 中各列加到第一列
21、，得若 a=0，则|A|=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0 (2)令 A=1， 2， n，A -1=1， 2， n，E=e1，e 2，e n，由 A-1A=E，得 A -11， 2， n=e1，e 2，e n， A -1j=ej，j=1，n， A -11+A-12+A-1n=e1+e2+en，比较以上两式，得证 得证 A-1 的每行元素之和为【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1) (2)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)(E n+BA)(En-B(Em+AB)-1A) =En+BA 一 B(Em+AB)-1A 一BAB(Em+AB)-1A =En+BAB(Em+AB
22、)(Em+AB)-1A=En故 E n+BA)-1=Em-B(Em+AB)-1A 其中 X=x 1，x 2，x nT， Y=y1，y 2，y nT因 1+YTX= =20，由(1)知 P=E+XYT 可逆，且 P-1=(E+XYT)-1=E-X(1+YTX)-1YT=E 一【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得由条件知 r(A)= r(A)3，从而 t=4，此时，增广矩阵可化为=一3k11+(4 一 k)2+k3，kR【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0，即(x 1+xs)1+(x1+
23、x2)2+(xs-1+xs)s=0因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数行列式(1)当 s 为奇数时，|A|=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， s 线性无关； (2)当 s 为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 nr(B)r(AB)=r(E)=n,r(B)=n，则 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，则k11+ktt=0 由
24、1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0,k=0，所以，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r 因为()可由()表示，即 1， 2， r 可由1， 2， r 线性表示，于是 r( 1,2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r. 又 1， 2， ， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关 组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 表示，即( ) 也可由()表示，得证【知识模块】 线性代数31 【正确答案】
25、 则方程组的解为令 ，得方程组的基础解系 1=一1，1，0，0，0 T， 2=一 1，0，一 1，0，1 T【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 方程组改写为 则有(1)当 1 且 时，方程组有唯一解；(2)当 =1 时，方程组有无穷多解，通解为(3)当 方程组无解【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1)线性方程组() 的解为 得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=一 1，1，0，1 T(2)将方程组()的通解代入方程组(I) ，得 k1=-k2当 k1=一 k20 时，方程组 (I)和()有非零公共解，且为 x= 一 k20，11
26、，0 T+k2-1，2，2，1 T=k2一 1，1，1，1 T=k-1，1，1，1T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 由 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关，知存在k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0，令 =k11+k22+ktt，则 0(否则k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 全为 0)，且 =一 l11-l22-lss，即一个非零向量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 若 Ax=0 和
27、Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则=k11+k22+ktt 且 =一 l11 一 l22 一-l ss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0，从而 1， 2， s， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 故(1)a=4 或 a=12时， 1， 2， 3， 4 线性相关； (2)a4，a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 (1)0 且 一3， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表出法唯一；(2)=0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；(3)=一 3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x 11+x22+xss=0 成立 (没)有不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 成立 齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数
