1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss02 设有两个 n 维向量组(I) 1， 2， s，( ) 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s,1， 2， s，使(k 1+
2、1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k11)1+(ks 一 s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1-1， s 一 s 线性相关（B） 1， s 及 1，, s 均线性无关（C） 1， s 及 1， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1-1， s 一 s 线性无关3 已知向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1-2， 2-3， 3 一 4， 4-1（C） 1+2， 2 一 3， 3+4， 4-1（D） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4-14 设向量组 1， 2， 3
3、 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+21+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52535 若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 ( )（A） 必可由 ， 线性表出（B） 必可由 ， ， 线性表出（C） 必可由 ， 线性表出（D） 必不可由 ， ， 线性表出6 设向量组() 1， 2， ， s 线性无关，() 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， i(i=1，2，t) 不能由()1， 2， s 线
4、性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对7 已知 n 维向量的向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 O 的向量（D） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量8 设
5、 则 ( )（A）存在 aij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关9 A 是 mn 矩阵， r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1
6、阶子式全为零10 向量组(I) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组( )1， 2， s 其秩为 r2，且i，i=1，2，s 均可由向量组( ) 1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1二、填空题11 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+1，l 2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2
7、，l 3 应满足关系_12 已知 r(1， 2， s)=r，则 r(1， 1+2， 1+2+ s)=_13 A= 其中 ai0，b i，i=1 ， 2，n，则 r(A)=_14 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=0，则 r(A*)=_15 设 Amn，B nn，C nm，其中 AB=A，BC=O ，r(A)=n，则|CA-B|=_16 已知向量组 与向量组等秩，则 x=_17 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解是_18 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系
8、，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表示式的系数全不为零，证明： 1，a 2， s， 中任意 s 个向量线性无关20 已知向量组 1， 2， s-1(s1)线性无关， i=i+ti+1，i=1 ，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关21 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2，(1)证明：A 1，A 2，A 3 线性无关； (2)求|A|22 已知 A 是 N 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向
9、量组，若A1，A 2，A s 线性相关，证明：A 不可逆23 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n24 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在常数 ，使得 Ak=k-1A25 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O 26 向量组 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为若1， 2， s 线性无关，证明：r( 1， 2， t)=r(C)27 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩
10、阵，已知 A 的行向量组的秩为 r，证明： r(B)r+m 一 s28 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A TA)=r(A)；(2)A TAX=ATb 一定有解29 设线性线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解30 已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为 X=k11，0，2，3 T+k20，1，一1，1 T，求原方程组31 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1， 0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组()，求()的基础解系32 已知线性方程组(I) 及线性方程组()的基础解系 1=一3，7，
11、2，0 T， 2=一 1，一 2，0，1 T求方程组()和()的公共解33 已知线性方程组 (1)a，b 为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解34 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 35 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，一 1，2，0 T记 j=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1 ，2，5 问：(1) 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由； (2)4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说
12、明理由36 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解考研数学二（线性代数）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1， 2， s 线性相关,至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，
13、故 1， 2， s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，0，0 T， 3=1，0，0 T 任两个线性无关，但 1， 2， 3 线性相关(D) 必要但不充分如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2-2)2+(ks 一 s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一
14、 2)+ s(s 一 s)=0从而得 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0； (B)( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0； (C)( 1+2)一 (2 一 3)一( 3+4)+(4-1)=0，故均线性相关，而1+2， 2-3， 3-4， 4-1=1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4C 其中=20故 1+2， 2 一 3， 3 一4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因(A) 1
15、+2 一( 2+3)+3 一 1=0，(B) 1+2+2+3 一( 1+22+3)=0， (D)一 19(1+2+3)+2(2132+223)+5(31+52 一 53)=0，敌(A) ，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关对 (C)，若存在数k1，k 2，k 3 使得 k 1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0， 整理得：(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0 因 1， 2， 3 线性无关，得又 =120，只有零解，从而知原向量组线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 ， 线性无关，故 ，
16、线性无关，而 ， ， 线性相关，故 必可由 ， 线性表出(且表出法唯一)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可(1)取线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关；(2)取线性无关，且显然不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关 由(1)，(2) 知，应选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A) ，(B)属初等 (行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数8 【正确答
17、案】 C【试题解析】 由 知向量组1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C) 成立，(D) 显然不成立【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C) ，(D)均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极
18、大线性无关组为 1， 2， r1，则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， r1，线性表出，又 i(i=1，2，s) 可由()表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2l 1 一 l2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1， l2+2，l 3+3 线性相关,存在不全为零的 k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0， 即 (k 1l1+k
19、2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0 因 是任意向量， 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，故令 2l1 一 l2+333=0 时上式成立，故 l1，l 2，l 3 应满足 2l1l2+3l3=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 r【试题解析】 因向量组 1， 2， s 和向量组 1， 1+2， 1+2+ s 是等价向量组，等价向量组等秩，故 r(1， 1+2， 1+2+ s)=r【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 A0，r(A)1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 因 A2=AA=O，r(A)+r(A)
20、5，r(A)2，从而 A*=0，r(A*)=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (-1) n【试题解析】 因 AB=A， A(BE)=O，r(A)=n故 B-E=O，B=E，且由 BC=O，得 C=0，故|CA B|=|E|=(一 1)n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 知r(1， 2， 3)=2，由题设：r( 1， 2， 3)=2因故 x=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 由 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a
21、 i1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 A= AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n 一 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中任意 s 个向量组1， 2， i-1， i+1， s， 线性相关，则存在不全为零的 k1，k 2，k i-1，k i+1，k
22、s，k 使得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l 11+l22+lii+lss，其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki-1+kli-1)i-1+klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0? 因已知1， 2， s 线性无关，从而由 kli=0，l i0，故 k=0，从而由 式得k1，k 2，k i-1，k i+1，,k s 均为 0，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k 11+k2
23、2+kss=0 成立，即 k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1) =k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks-1t+ks)s+ksts+1=0. 因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 1+3， 1+2=1， 2， 31， 2,3C，其中|C|= =20，C 是可逆阵故A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关(2)A1， A2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行
24、列式，得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0其中 =k11+k22+kss 成立，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的 k1，k 2，k s，有 =k 11+k22+kss0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而|A|=0 ，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 充分性 r(A) n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 B0，且有 AB=0 必要性 若 AB=0，其
25、中 B0，设 B=1， 2， s，则Ai=0，i=1，2，s其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)将 A 以列分块，则 r(A)=r(1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为 i=a1，a 2，a nT(0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 i=bji(j=1，2，n，j=i 时，取bi=1)，则 A=1， 2， n=b1i，b 2i，b ni=ib1，b 2，b n= b1，b 2，b n (2)记 =i=a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b
26、nT，则 A=T，A k=(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T记T=a1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k-1T=k-1A【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由于对任何 x 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由得 a11=a21=am1=0 类似地，分别取 X 为e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=0.【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 B= 1， 2， t=1， 2， sC=AC r(B)=r(AC)r(C)又r(B)=r(AC)r(A)+r(C)-s，r(A)=s，故 r
27、(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)一(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)一(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)，即 sr(A)mr(B) ，得 r(B)r(A)+ms=r+m 一 s【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)设 r(A)=r1，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X=AT(AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 n 一 r1 个无关解 )含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 n 一 r2 个无关解) 之中，所以 n 一 r1n 一 r2，故
28、有 r2r1，即 r(ATA)r(A) 又当 ATAX=0 时(X 为实向量 )，必有 XTATAX=0，即(AX) TAX=0，设AX=b1，b 2，b mT，则(AX) T(AX)= =0，必有 b1=b2=bm=0，即AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 AX=0，从而有 n-r(A TA)n-(A)， r(A)r(ATA) 由，得证 r(A)=r(ATA) (2)A TAX=ATb 有解,r(A TA)=r(ATA|ATb) 由(1)知 r(A)=r(AT)=r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA的每个列向量均可由 AT 的列向量线性表出，故 AT
29、 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb)，故 r(A TA)=r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组当 一 2 且 2 时，唯一零解；当 =2 时，有无穷多解，其解为 k11，一1，0，0 T+k21，0，一 1，0 T+k31，0，0，一 1T；当 =一 2 时，方程为有通解 k1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 以原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵
30、的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量设即 求得()的基础解系为 1=-2，1，1，0 T， 2=-3，一 1，0，1 T故原方程组为【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 方程组(I)的通解为 k11+k22+k33= 代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，一 3，0 T， 2=0，1，一 1T，故方程组()的基础解系为 1=2132=一 4，一 3，2， 5T， 2=2 一 3=2，一 1，一1，0 T【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k1一 3，7，2，0 T+k2一 1，一2，0，1 T=一 3k1
31、一 k2，7k 1-2k2，2k 1，k 2T 其中 k1，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组(I)得： 3(3k 1-k2)一(7k 12k2)+8(2k1)+k2=一 16k1+16k13k2+3k2=0， (一3k1-k2)+3(7k1-2k2)一 9(2k1)+7k2=一 21k1+21k17k2+7k2=0， 即方程组()的通解均满足方程组() ，故()的通解 k1一 3，7，2，0 T+k2一 1，一 2，0，1 T 即是方程组(I)，( )的公共解【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)a=1，b=3 时，r(A)=r(A|b)，方程组有解； (2) 导出组基础解系为
32、： 1=1，一2，1，0，0 T， 2=1，一 2，0，1，0 T， 3=5，一 6，0，0，1 T； (3) 方程组通解：非齐次特解为 =-2，3，0，0，0 T，故通解为 k11+k22+k33+【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 对应齐次方程有解 = 1 一 2=-2，2，2 T 或-1，1，1 T，故对应齐次方程至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(A|b)2，从而 r(A)=r(A|b)=2，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一 3，2，0T将 1， 2 代入第一个方程，得 -3a+2b=2 ，一 a 一 2c=2，解得 a=-2-2c，b=-2-3c
33、，c 为任意常数，可以验证：当 a=-2-2c，b=-2-3c,c 任意时 r(A)=r(A|b)=2 【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (1) 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程的通解2，1， 0，1 T+k1，一 12，0 T 知 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4，故 4=一(k+2)1 一(一 k+1)22k3+5 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 1， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程的通解知， 1 一 2+23=0，即 1， 2，
34、3 线性相关，r(1， 2， 3)3，若 4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和 r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 由 1=22 一 3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3，且对应齐次方程 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T，又 =1+2+3+4，即1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程有特解=1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0 T+1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数
