1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=AE（B） (A*)TA*=A *E（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=一 E2 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A 一 1)2=A2+2A4 一 1+(A 一 1)2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E23 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=
2、1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵； A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；AE 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（A）AB=0（B） BA =0（C） AB =BA（D）BABA= BABA6 已知 Q= ，P 为
3、 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 27 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）A0，则B0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则B 0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B8 设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（A）必有一个等于零（B）都小于 72（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n9 设 A= ，若 r(A*)=1
4、，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定二、填空题10 设 =1， 2，3 ，=1， ，A= T，则 An=_11 设 B= ，则 Bn=_12 设 A= ，n2 为正整数，则 An 一 2An 一 1=_13 A，B 均为 n 阶矩阵，A=一 2，B=3，则BA 一1=_14 设 A= ，则 A 一 1=_15 已知 A2 一 2A+E=O，则(A+E) 一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简
5、PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA 一 1b17 设(2EC 一 1B)AT=C 一 1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， 求 A18 设 A= ，求 An19 已知 A= ，求 An20 设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT (1)计算 ABT 与ATB； (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)； (3)设 C=E 一 ABT，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C TC=E 一 BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=121 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r
6、(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n22 证明：r(A+B)r(A)+r(B)23 设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹，记成 trA，即 trA= aij)24 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O25 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是： (1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 26 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵27 证明
7、：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 128 设 =a1，a 2，a nTO，=b 1，b 2，b nTO，且 T=0，A=E+ T，试计算： (1)A； (2)An；(3)A 一 129 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= ，且E+AB 是不可逆的对称阵，求 A考研数学二（线性代数）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 正交阵，则有 A 一 1=AT= ，A *(A
8、*)T=AA T(AA T)TA 2ATA=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A 一 1，A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么A *=A T，也即A 2=A，即A (A 一
9、1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故A=1因此，A 可逆 并且 AAT=AA*=AE=E，可知 A 是正交矩阵可知，正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A 一 E)B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B 0 ，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， AB= AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故A+
10、B 也可逆，可知 是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(B 一 E)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，四个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 mn，则有 r(AB)r(A)nm，可知矩阵 AB 不满秩，因此(A)正确由于 BA 是 n 阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有BA =0，故(B)错误 由于 A，B 不为方阵，因此没有等式 AB=A B=BA 事实上，由上面的讨论过程可知，当 BA 满秩时，有 AB=0BA ，故(C) 不正确 BABA= BA nBA=BA
11、 n+1，可知，等式BABA= BABA也不一定成立，故(D)错误 综上，唯一正确的选项是(A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： AmsBsn=Or(A)+r(B)s； A msBsn=O组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量 对于本题， PQ=Or(P)+r(Q)31r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=11r(P)2r(P)=1 或 2，则(A) 和(B)都错； 当 t6 时，r(Q)=21r(P)1r(P)=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩
12、相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B 一 1B=E，可见(B)中命题成立A E 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见 (C)中命题也是成立的 矩阵A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B 0故选(A)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 ab=or(A)+r(B)n；又 AO，BO，即 r(A)1，r(B)1，则r(A)n， r(B)n
13、【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得，R(A)=3 则A=0 ，即得 a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 3 N 一 1A【试题解析】 A= T= ， A n=Tn=(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n 一 1A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 14 n 一 1B【试题解析】 因 B= 1，2，3= T，故 B n=(T)n=(T)(T)( T)=(T)( T)=14n 一 1B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 O【试题解析】 A 2= =2A， A
14、n=2n 一 1A，A n 一 2An 一1=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一【试题解析】 A=一 2，B=3，B A 一 1=B nA 一 1=3 n 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2得 A 2 一 2A=A(A 一 2E)=3E，【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (3EA)【试题解析】 A 2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E， (A+E) 一 1=一(3E 一 A)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)PQ
15、= (2)由 (1)得P Q= PQ=A 2(b 一 TA 一 1) Q=A(b 一 TA 一1)Q 可逆 Q0 TA 一 1b【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (2E 一 C 一 1B)AT=CA=(2C B)T一 1= 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对 A 分块为，则 B=3E+J，于是 Bn=(3E+J)n=3nE+Cn13n 一 1+Cn23n 一 2+Jn，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)AB T= ， AT=a1b1+a2b2+anbn (2)因 ABT各行(或列 )是第 1 行(列)的倍数，又 A，B
16、皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1 (3)由于CTC=(E 一 ABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(E 一 ABT)=E 一 BAT 一 ABT+BATABT故若要求 CTC=E 一 BAT 一 ABT+BBT，则 BATABT 一 BBT=O，B(A TA 一 1)BT=O，即 (ATA 一 1)BBT=O 因为 BO，所以 BBTO故 CTC=E 一 BAT 一 ABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 注意到当 B 有一个 t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 O，因此 r(
17、A)+r(B)故 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当AB=O 时，r(AB)=0r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n， 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量组 1， 2， n， 1， 2， n 线性表出的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n
18、) r(1， 2， n)+r(1， 2， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 充分性 a=O，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设即A=O【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT，即 AA *=AAT=AE 两边取行列式，得A 2=A n，得A 2(A n 一 2 一 1)=0 因 A 是非零阵，设 aij0，则A按第 i 行展开有 A= 0，故A 0，从而由A 2(A一 1)=0，得 A=1，故 AA*=AAT=AE
19、=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵AA T=E，则A=1 若A=1，则 AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij； 若A =一 1，则 AA*=AE=一 E，A(一 A*)=E，而已知 AAT=E，从而有一 A*=AT，即 aij=一Aij 充分性 A=1 且 aij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=AE=E，A 是正交阵，A= 一 1，且 aij=一 Aij 时，一 A*=AT，AA *= AE=一 E，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 当 k2 时，(T)k=()(T)( T)=(T)(T) T=O，故 An=E+nT (3)A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数
