[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷24及答案与解析.doc

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1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是正交矩阵,则 ( )(A)A *(A*)T=AE(B) (A*)TA*=A *E(C) A*(A*)T=E(D)(A *)TA*=一 E2 设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下列等式中,不一定成立的是 ( )(A)(A+A 一 1)2=A2+2A4 一 1+(A 一 1)2(B) (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2(C) (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2(D)(A+E) 2=A2+2AE+E23 设 A 为 3 阶非零矩阵,且满足 aij=Aij(i,j=

2、1,2,3),其中 Aij 为 aij 的代数余子式,则下列结论: A 是可逆矩阵; A 是对称矩阵; A 是不可逆矩阵; A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)44 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则下列命题中:若 A 可逆,则 B 可逆;若 A+B 可逆,则 B 可逆;若 B 可逆,则 A+B 可逆;AE 恒可逆正确的个数为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)45 设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,且 mn,则必有 ( )(A)AB=0(B) BA =0(C) AB =BA(D)BABA= BABA6 已知 Q= ,P 为

3、 3 阶非零矩阵,且满足 PQ=O,则 ( )(A)t=6 时 P 的秩必为 1(B) t=6 时 P 的秩必为 2(C) t6 时 P 的秩必为 1(D)t6 时 P 的秩必为 27 设 n 阶矩阵 A,B 等价,则下列说法中,不一定成立的是 ( )(A)A0,则B0(B)如果 A 可逆,则存在可逆矩阵 P,使得 PB=E(C)如果 AE,则B 0(D)存在可逆矩阵 P 与 Q,使得 PAQ=B8 设 A,B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB=O,则 A 和 B 的秩 ( )(A)必有一个等于零(B)都小于 72(C)一个小于 n,一个等于 n(D)都等于 n9 设 A= ,若 r(A*)=1

4、,则 a= ( )(A)1(B) 3(C) 1 或 3(D)无法确定二、填空题10 设 =1, 2,3 ,=1, ,A= T,则 An=_11 设 B= ,则 Bn=_12 设 A= ,n2 为正整数,则 An 一 2An 一 1=_13 A,B 均为 n 阶矩阵,A=一 2,B=3,则BA 一1=_14 设 A= ,则 A 一 1=_15 已知 A2 一 2A+E=O,则(A+E) 一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简

5、PQ;(2)证明:矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA 一 1b17 设(2EC 一 1B)AT=C 一 1,其中 E 是 4 阶单位矩阵,A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵, 求 A18 设 A= ,求 An19 已知 A= ,求 An20 设有两个非零矩阵 A=a1,a 2,a nT,B=b 1,b 2,b nT (1)计算 ABT 与ATB; (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT); (3)设 C=E 一 ABT,其中 E 为 n 阶单位阵证明:C TC=E 一 BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=121 证明:若 A 为 mn 矩阵,B 为 np 矩阵,则有 r(AB)r

6、(A)+r(B)一 n特别地,当 AB=O 时,有 r(A)+r(B)n22 证明:r(A+B)r(A)+r(B)23 设 A,B 是 n 阶矩阵,证明:AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹,记成 trA,即 trA= aij)24 设 A 是 n 阶实矩阵,证明:tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O25 证明:方阵 A 是正交矩阵,即 AAT=E 的充分必要条件是: (1)A 的列向量组组成标准正交向量组,即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组,即 26 证明:n3 的非零实方阵 A,若它的每个元素等于自己的代数余子式,则 A 是正交矩阵27 证明

7、:方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A=1,且若A=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若A=一 1则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 128 设 =a1,a 2,a nTO,=b 1,b 2,b nTO,且 T=0,A=E+ T,试计算: (1)A; (2)An;(3)A 一 129 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵,E 是四阶单位阵,B= ,且E+AB 是不可逆的对称阵,求 A考研数学二(线性代数)模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 正交阵,则有 A 一 1=AT= ,A *(A

8、*)T=AA T(AA T)TA 2ATA=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知: (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2, 因此, (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB,也即A,B 的乘积可交换 由于 A 与 A 一 1,A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的,故(A),(C),(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i,j=1,2,3)及伴随矩阵的定义可知:A *=AT,那么A *=A T,也即A 2=A,即A (A 一

9、1)=0 又由于 A 为非零矩阵,不妨设 a110,则 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320,故A=1因此,A 可逆 并且 AAT=AA*=AE=E,可知 A 是正交矩阵可知,正确,错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵,故正确的只有两个,选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A 一 E)B=A,可知当 A 可逆时,AEB0,故B 0 ,因此 B 可逆,可知是正确的当 A+B 可逆时, AB= AB0,故B0,因此 B 可逆,可知是正确的类似地,当 B 可逆时,A 可逆,故AB=AB0,因此 AB 可逆,故A+

10、B 也可逆,可知 是正确的最后,由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O,也即(AE)B 一(AE)=E,进一步有(AE)(B 一 E)=E,故 AE 恒可逆可知也是正确的综上,四个命题都是正确的,故选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 mn,则有 r(AB)r(A)nm,可知矩阵 AB 不满秩,因此(A)正确由于 BA 是 n 阶矩阵,是否满秩无法确定,故不一定有BA =0,故(B)错误 由于 A,B 不为方阵,因此没有等式 AB=A B=BA 事实上,由上面的讨论过程可知,当 BA 满秩时,有 AB=0BA ,故(C) 不正确 BABA= BA nBA=BA

11、 n+1,可知,等式BABA= BABA也不一定成立,故(D)错误 综上,唯一正确的选项是(A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点,其基本结论为: AmsBsn=Or(A)+r(B)s; A msBsn=O组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量 对于本题, PQ=Or(P)+r(Q)31r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时,r(Q)=11r(P)2r(P)=1 或 2,则(A) 和(B)都错; 当 t6 时,r(Q)=21r(P)1r(P)=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩

12、相同 当 A 可逆时,有 r(A)=n,因此有r(B)=n,也即 B 是可逆的,故 B 一 1B=E,可见(B)中命题成立A E 的充要条件也是 r(A)=n,此时也有 r(B)=n,故B0,可见 (C)中命题也是成立的 矩阵A,B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q,使得 PAQ=B,可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上,当 A0 时,我们也只能得到 r(B)=n,也即B0,不一定有B 0故选(A)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 ab=or(A)+r(B)n;又 AO,BO,即 r(A)1,r(B)1,则r(A)n, r(B)n

13、【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得,R(A)=3 则A=0 ,即得 a=1 或 3,且此时均满足 r(A)=3,故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 3 N 一 1A【试题解析】 A= T= , A n=Tn=(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n 一 1A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 14 n 一 1B【试题解析】 因 B= 1,2,3= T,故 B n=(T)n=(T)(T)( T)=(T)( T)=14n 一 1B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 O【试题解析】 A 2= =2A, A

14、n=2n 一 1A,A n 一 2An 一1=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一【试题解析】 A=一 2,B=3,B A 一 1=B nA 一 1=3 n 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E,B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2得 A 2 一 2A=A(A 一 2E)=3E,【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (3EA)【试题解析】 A 2 一 2A+E=O,(A+E)(A 一 3E)=一 4E, (A+E) 一 1=一(3E 一 A)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)PQ

15、= (2)由 (1)得P Q= PQ=A 2(b 一 TA 一 1) Q=A(b 一 TA 一1)Q 可逆 Q0 TA 一 1b【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (2E 一 C 一 1B)AT=CA=(2C B)T一 1= 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对 A 分块为,则 B=3E+J,于是 Bn=(3E+J)n=3nE+Cn13n 一 1+Cn23n 一 2+Jn,【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)AB T= , AT=a1b1+a2b2+anbn (2)因 ABT各行(或列 )是第 1 行(列)的倍数,又 A,B

16、皆为非零矩阵,故 r(ABT)=1 (3)由于CTC=(E 一 ABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(E 一 ABT)=E 一 BAT 一 ABT+BATABT故若要求 CTC=E 一 BAT 一 ABT+BBT,则 BATABT 一 BBT=O,B(A TA 一 1)BT=O,即 (ATA 一 1)BBT=O 因为 BO,所以 BBTO故 CTC=E 一 BAT 一 ABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 注意到当 B 有一个 t1 阶子式不为 0,A 有一个 t2 阶子式不为 0 时, 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 O,因此 r(

17、A)+r(B)故 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地,当AB=O 时,r(AB)=0r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A=1, 2, n,B= 1, 2, n,则 A+B=1+1, 2+2, n+n, 由于 A+B 的列向量组 1+1, 2+2, n+n都是由向量组 1, 2, n, 1, 2, n 线性表出的,故 r(1+1, 2+2, n+n)r(1, 2, n, 1, 2, n) r(1, 2, n, 1, 2, n)r(1, 2, n)+r(1, 2, n), 故 r(A+B)=r(1+1, 2+2, n+n) r(1, 2, n, 1, 2, n

18、) r(1, 2, n)+r(1, 2, n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 充分性 a=O,显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0,设即A=O【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题设,a ij=Aij,则 A*=AT,即 AA *=AAT=AE 两边取行列式,得A 2=A n,得A 2(A n 一 2 一 1)=0 因 A 是非零阵,设 aij0,则A按第 i 行展开有 A= 0,故A 0,从而由A 2(A一 1)=0,得 A=1,故 AA*=AAT=AE

19、=E,A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵AA T=E,则A=1 若A=1,则 AA*=AE=E,而已知 AAT=E,从而有 AT=A*,即 aij=Aij; 若A =一 1,则 AA*=AE=一 E,A(一 A*)=E,而已知 AAT=E,从而有一 A*=AT,即 aij=一Aij 充分性 A=1 且 aij=Aij,则 A*=AT,AA *=AAT=AE=E,A 是正交阵,A= 一 1,且 aij=一 Aij 时,一 A*=AT,AA *= AE=一 E,即 AAT=E,A 是正交阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 当 k2 时,(T)k=()(T)( T)=(T)(T) T=O,故 An=E+nT (3)A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数

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