1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A*)*)为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B3 设 其中 A 可逆，则 B 等于 ( )（A）A 一 1P1P2（B） P1A 一 1P2（C） P1P2A 一 1（D）P 2A 一 1P14 A 是 n 阶矩阵，则 ( )（A）(一 2)nA n（B） (4A) n（C） (一 2)2nA * n（D）4
2、A n5 A 是 n 阶矩阵，则 = ( )（A）(一 2)nA * n（B） 2nA * n（C） (一 2)nA n 一 1（D）2 nA n 一 16 设 A= ，则(P 一 1)2016A(Q2011)一 1= ( )7 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2， 3，线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出 其中正确结论的个数为
3、( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 一 2， 1 一 22+3， (1 一 3)， 1+32 一 43，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）19 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 一 2)二、填空题10 设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) *=_11 设 A= ，则 (A*)一 1=_12 设 A= ，则(A 一
4、1)*=_13 设 A= ，B=(E+A) 一 1(E 一 A)，则(E+B) 一 1=_14 已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= ，则 AB=_15 设 B= ，则 B 一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A 一 117 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(A E)一 118 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A 一
5、 1 和(A+B) 一 119 设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明： E+BA 也可逆，并求(E+BA) 一120 设 A=E 一 T， 是非零列向量，证明：(1)A 2=A 的充要条件是 T=1；(2)当T=1时，A 不可逆21 设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆22 已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明： B 不可逆23 设 A=(aij)nn，且 aij=0，i=1，2，n，求 r(A*)及 A*24 已知 n 阶矩阵25 设矩阵 A 的伴随阵 A*= ，且 ABA 一 1=BA 一 1+3E，求 B。26 设
6、矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 求 B27 设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B可逆，并推导 A 一 1 和 B 一 1 的关系28 设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A 一 1 的每行元素之和均为 29 (1)A，B 为 n 阶方阵，证明：考研数学二（线性代数）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于(A *)*=A n 一 2A，由于 A 不满秩，故A=0 于是(A *)*=O，r(A
7、 *)*)=0，故应选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 (C)成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B *=(AP2P1)*=P*P*A*=P1P2A*【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 =(一 2)2nA *A =4 nA n=(4A) n【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 =(一 1)nA *一2I=2 nA *=2 nA n 一 1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试
8、题解析】 易知 P2=E，故 P 一 1=P，进一步有 (P 一 1)2016=P2016=(P2)1008=E由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 第 2 列的 2 011 倍加到第 1 列，计算可知应选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的令 1= ，则 1， 2， 3 性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知 是错误的 由 1， 1+2，
9、2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4，可知 r( 1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)， r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)，故当 r(1， 1 +2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1 一 2)=A1 一 A2=b 一 b=0，
10、A( 122+3)=A12A2+A3=b2b+b=0， (b 一 b)=0， A(1+32 一 43)=A1+3A24A3=b+3b4b=0，因此这 4 个向量都是 Ax=0的解，故选(A) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n 一 r(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， a：是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=一 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20
11、因此要排除(B)，(C)由于 12，必有 1 一 20可见(D)正确【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 5 n 一 1【试题解析】 (2A)(2A) *=2AE，(2A) *=2A (2A) 一 1， (2A)*= 2A(2A) 一 1=2 nA A 一 1 = 2n 一 15A 一 1=(2 n 一 15)nA 一 1 = 5 n 一 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 (A *)一 1=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) 一 1(E 一 A)=(E+A)
12、一 1(E+A+E 一 A)=(E+A)一 12E，故【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E B+B2 一 B3)=E 一 B4=E，故 A=E+B 可逆，且 A 一 1=(E+B)一 1=EB+B2 一 B3 又【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 AB=A+B，即 ABAB=O，AB 一 AB+E=E，A(B E)一(BE)=E，即 (A 一
13、E)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) 一 1=BE【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=一 B2 式右乘(一 B2)一 1，得 A(A+B)(一 B2)一 1=E，得 A 可逆，且 A 一 1=(A+B)(一 B2)一 1 式左乘(一B2)一 1，得(一 B2)一 1A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) 一 1=(一 B2)一 1A【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (E+BA)=B(B 一 1+A)=B(E+AB)B 一 1，因 B，E+AB 可逆，故E+BA 可逆，且 (E+BA)一 1=B(E+AB)B
14、一 1一 1=B(E+AB)一 1B 一 1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)A 2=(E 一 T)2=E 一 2T+(T)2=E 一(2 一 T)T=A2 一T=1，即 T=21=1 (2) T=1，A 2 一 A=A(AE)=O，AE，AX=0 有非零解，故A=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 E+BA= (E+BA) T=E+A TBT= E+AB=0，故 E+BA也不可逆【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故B T=0，即B =0 ，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答
15、案】 aij=0，i=1，2，n，可知A=0，r(A)n 一 1，当 r(A)=n一 1 时，有 r(A*)=1，r(A) n 一 1，r(A *)=0，故有 r(A*)1 r(A *)=1 时，A *=T，其中 ， 为任意非零向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AA *=AE =E，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设 (AE)BA 一 1=3E， (AE)B=3A A 一 1(AE)B=3E， (E一 A 一 1)B=3E (E 一 )B=3E 其中A *=8=A 3，A=2，从而得(2E 一A*)B=6E，B=6(2EA *)一 1
16、，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 两边左乘 A，右乘 A 一 1，得AB=2AB 一 8E，(A E 一2A)B=一 8E，B=一 8(A E 一 2A)一 1=一 8【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 记 Eij 为初等阵 则B=EijA，B=E ijA=E ijA=一A0，故 B 可逆，且 B 一 1=(EijA)一1=A 一 1Eij 一 1=A 一 1Eij故知 B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)将 A 中各列加到第一列，得若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0。 (2)令 A=1， 2， n，A 一 1=1， 2， n，E=e1，e 2，e n，由 A 一 1A=E，得 A 一 11， 2， n=e1，e 2，e n， A一 1j=ej，j=1，n， A 一 11+A 一 12+A 一 1n=e1+e2+en，【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
