1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组(I) 1， 2， s 线性无关，(II) 1， 2， s 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由(II) 1， 2， s 线性表出， i(i=1，2，t)不能由(I)1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对2 已知 n 维向量的向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s 可能线性相关的是 ( )（A） s(i=1，2，s)是 s(i=1，
2、2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） s(i=1，2，s)是 s(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） s(i=1，2，s)是 s(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） s(i=1，2，s)是 s(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量3 设 则 ( )（A）存在 aij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线
3、性相关4 A 是 mn 矩阵， r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 一阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零5 向量组(I) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组(II) 1， 2， s 其秩为 r2，且i，i=1，2，s 均可由向量组(I) 1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 一 1， 2 一 2， s 一
4、s 的秩为 r1 一 r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r16 已知 r(A)=r1，且方程组 AX=a 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+17 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2 一4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设
5、 n 阶(n3)矩阵，A= ，若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）9 设 xOy 平面上 n 个不同的点为 Mi(xi，y i)，i=1，2，n(n3)，记则 M1，M 2，M n 共线的充要条件是 r(A)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题10 已知三维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k_11 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l11， l2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，
6、l 3 应满足关系_12 已知 r(1， 2， s)=r，则 r(1， 1+2， 1+2+ s)=_13 A= ，其中 ai0，b i0，i=1 ，2，n，则 r(A)=_。14 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_15 设 Amn，B nn，C nm，其中 AB=A，BC=O ，r(A)=n，则CA B=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表示式的系数全不为零，证明： 1， 2， s， 中任意 5 个向量线性无关17 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti+
7、1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关18 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)证明：A 1，A 2，A 3 线性无关；(2)求A19 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A s 线性相关，证明：A 不可逆20 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n21 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在常数 ，使得 Ak=
8、k 一 1A22 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O 23 向量组 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为 1， 2， t=1， 2， s 1， 2， sC若1， 2， s 线性无关，证明： r( 1， 2， t)=r(C)24 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mb 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r，证明：r(a)r+m 一 s25 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A TA)=r(A)；(2)A TAX=ATb 一定有解26 设线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解2
9、7 已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为 X=k11，0，2，3 T+k20，1，一l，1 T，求原方程组28 已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1=1，0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组( )，求 ()的基础解系29 已知线性方程组(I) 及线性方程组()的基础解系 1=一3，7，2，0 T， 2=一 1，一 2，一 0，1 T 求方程组(I)和() 的公共解考研数学二（线性代数）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情
10、况举出例子即可 取 1=线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关； 取 1= 线性无关，且显然不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关 由， 知，应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A) ，(B)属初等 (行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1， 2， 3， 4= 知向量组1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A
11、)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C) 成立，(D) 显然不成立【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C) ，(D)均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r1，则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， r1 线性表出，又 i(一 1，2，s)可由(
12、I)表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1， 故 r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2 一 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 3， 4， 5=
13、1， 2， 3， 4r(1， 2， 3， 4， 5)= =3【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 A= ，其中 M(xi，y i)，i=1，2，n(n3)是 n 个不同的点，至少 A 中有一个 2 阶子式不为零r(A)2，又 n 个点共线，A 中任一 3 阶子式为零，故 r(A)3故而 r(A)=2【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1=1， 2， 3 因1， 2， 3 线性无关，故 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 线性无关的充要条件是 =
14、1 一 k0，k1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2l 1 一 l2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1， l2+2，l 3+3 线性相关甘存在不全为零的 k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0， 即 (k 1l1+k2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0 因 是任意向量， 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，故令 2l1 一 l2+3l3=0 时上式成立，故 l1，l 2，l 3 应满足 2l1 一 l2+3l3=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 r【试题解析】 因向量组 1， 2， s 和向量组 1，
15、1+2， 1+2+ s 是等价向量组，等价向量组等秩，故 r(1， 1+2， 1+2+ s)=r【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 A0，r(A)1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O， r(A)+r(A)5， r(A)2， 从而 A *=O，r(A *)=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (一 1)n【试题解析】 因 AB=A， A(B 一 E)=O，r(A)=n故 B 一 E=O，B=E，且由BC=O，得 C=O，故 CAB =E=(一 1)n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明
16、过程或演算步骤。16 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中任意 s 个向量组1， 2， i 一 1， i+1， ， s， 线性相关，则存在不全为零的 k1，k 2，k i一 1，k i+1，k s，k 使得 k 11+ki 一 1i 一 1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l 11+l22+lii+lss， 其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki 一 1+kli 一 1)i 一 1+ljii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因已知 1， 2， ， s 线性无关，从而由 kli=0，l i0，
17、故 k=0，从而由 式得 k1，k 2，k i 一 1，k i+1，k s 均为 0，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0 成立，即 k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1) =k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks 一 1+ks)s+ksts+1=0 因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 1+3， 1+
18、2=1， 2， 3=20，C 是可逆阵(2)A1， A2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得A=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0 其中 =k11+k22+kss 成立，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的 k1，k 2，k s 有 =k 11+k22+kss0， 而 A=0 。 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0， A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】
19、充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则BO，且有 AB=O 必要性若 AB=O，其中 BO，设 B=1， 2， s，则Ai=0，i=1，2，s其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)将 A 以列分块，则 r(A)=r(1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为 i=1， 2， nT(0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 j=bji(j=1，2，n，j=i 时，取bi=1)，则 A= 1， 2， n=b11，b 22，b ns=ib
20、1，b 2，b s= b1，b 2，b s。 (2)记 =i=a1，a 2，a sT，=b 1，b 2，b sT，则 A=T，A k=(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T记T=a1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k 一 1T=k 一 1A【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由得 a11=a21=am1=0 类似地，分别取 X 为e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=O【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 B= 1， 2， t=1，
21、 2， sC=ACr(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)一 s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)一(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)一(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)，即 s 一 r(A)mr(B)，得 r(B)r(A)+m 一 s=r+ms【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)设 r(A)=r1，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X=AT(AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 n 一 r
22、1 个无关解 )含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 n 一 r2 个无关解) 之中，所以 n 一 r1n 一 r21，故有 r2r1，即 r(ATA)r(A) 又当 ATAX=0 时(X 为实向量 )，必有 XTATAX=0，即(AX) TAX=0，设AX=b1，b 2，b mT，则(AX) T(AX)= b2=0，必有 b=b2=k=0，即 AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 AX=0，从而有 n 一 r(ATA)n 一 r(A)， r(A)r(ATA) 由式子 ， 得证 r(A)=r(ATA) (2)A TAX=ATb 有解r(A TA)=r(ATAA Tb) 由(1)
23、知 r(A)=r(AT)=r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA的每个列向量均可由 AT 的列向量线性表出，故 AT 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故 r(A TA)=r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组当 一 2 且 2 时，唯一零解；当 =2 时，有无穷多解，其解为 k11，一1，0，0 T+k21，0，一 1，0 T+k31，0，0，一 1
24、T；当 =一 2 时，方程为有通解 k1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 以原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量求得(II)的基础解系为1=一 2，1，1，0 T， 2=一 3，一 1，0，1 T故原方程组为【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方程组(I)的通解为得解： 1=2，一3，0 T， 2=0，1，一 1T，故方程组()的基础解系为 1=21 一 32=一 4，一3，2，5 T， 2=2 一 3=2，一 1，一 1，0 T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组()的通解
25、为 k 11+k22=k1一 3，7，2，0 T+k2一 1，一2，0，1 T=一 3k1 一 k2，7k 1 一 2k2，2k 1，k 2T 其中 k1，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组(I)得： 3(一 3k1 一 k2)一(7k 12k2)+8(2k1)+k2=一 16k1+16k13k2+3k2=0， (一 3k1 一 k2)+3(7k12k2)一 9(2k1)+7k2=一 21k1+21k17k2+7k2=0， 即方程组() 的通解均满足方程组(I) ，故()的通解 k 1一 3，7，2，0 T+k2一 1，一2，0，1 T 即是方程组(I)，()的公共解【知识模块】 线性代数
