1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 其中 abc d，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B）存在 BO，使 AB=O（C） ATA=0（D）AA T=02 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有 l AB I0（D）当 nm 时，必有AB=03 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则 ( )（A）rr 1（B） rr 1（C）
2、 r=r1（D）r 和 r1 的关系依 C 而定4 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价5 要使 1= 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )6 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=一
3、 2 且B=0（B） =一 2 且B =0（C） =1 且B =0（D）=1 且BO7 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 3 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出8 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关9 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组
4、(I)AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）(II)的解是(I)的解，(I)的解也是( )的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 (II)的解，(II) 的解也不是(I) 的解（D）(I)的解是(II)的解，但(III)的解不是(I)的解二、填空题10 已知向量组 等秩，则 x=_11 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程租 AX=0的通解是_。12 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a=_13 设 A=(aij
5、)nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)A=0，A 110，则 A*X=0 的通解是_14 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_15 方程组 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知线性方程组 (1)a，b 为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解17 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 18 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，一 1
6、，2，0 T记 a=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1，2，5 问：(1) 4 能否由1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由； (2)4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由19 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解20 设 Amn，r(A)=m ，B n(n 一 m)，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=21 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵
7、A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解22 设三元线性方程组有通解 求原方程组23 已知方程组(I) 及方程组(II) 的通解为 k 1一 1，1，1，0T+k22，一 1，0，1 T+一 2，一 3，0，0 T求方程组(I)，(II)的公共解24 已知方程组是同解方程组，试确定参数 a，b，c 25 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A 一 1 的特征值； (2)为 A 的伴随矩阵 A*的特征值26 设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0
8、，AA T=2E，A 0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值27 求矩阵 A= 的实特征值及对应的特征向量28 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量，试证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量29 已知矩阵 A= 相似。 (1)求 x 与 y；(2)求一个满足P 一 1AP=B 的可逆矩阵 P考研数学二（线性代数）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A= ，abcd，知 r(A)=3r(AA T)=r(
9、A)=3，AA T0 ，故AA T=0 是错误的，其余(A)，(B)，(C)正确，自证【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 A mnBnm 是 m 阶方阵，当 mn 时， r(AB)r(A)nm，故AB=0 (B) 成立显然(A)错误【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=r(B)，因 C 是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A 右乘C，相当于对 A 作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价r( 1， m)=r(1， ， s)， 1， 2， m 线性无关(已
10、知 1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因一 2，1，1 1=0，则一 2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，A =( 一 1)2=0，=1， 又 AO，故 B 不可逆，故 =1，且B =0 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置) 有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线
11、性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关AX=0 有唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3= 知 r(1， 2， 3)=2，由题设：r( 1， 2， 3)=2 因 1， 2， 3=故 x=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 由 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之
12、和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ai11+a i21+a in1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 A= ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n 一 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 A=0，A 110，r(A)=n 一 1，r(A *)=1，A*X=0 有 n 一 1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A*A=AE=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解
13、向量，又 A110，故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n 一 1 个线性无关解向量，设为：2， 3， n，故通解为 k22+k33+knn，或者由已知方程 A*X=0，即知A11x1+A21x2+An1xn=0，故方程的通解是：【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1=1，一 1，0，0，0 T， 2=1，0，一 1，0，0T， 3=1，0，0，一 1，0 T， 4=1，0，0，0，一 1T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k1，1，1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 Ab= (1
14、)a=1，b=3 时，r(A)=r(Ab)，方程组有解； (2) 导出组基础解系为： 1=1，一2，1，0，0 T， 2=1，一 2，0，1，0 T， 3=5，一 6，0，0，1 T； (3) 方程组通解：非齐次特解为 =一 2，3，0，0，0 T，故通解为 k11+k22+k33+。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 对应齐次方程有解 = 1 一 2=一 2，2，2 T 或一 1，1，1 T，故对应齐次方程至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(A b)2，从而 r(A)=r(Ab)=2 ，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一 3，2，0T 将 1， 2 代入第
15、一个方程，得 一 3a+2b=2，一 a 一 2c=2，解得 a=一 22c，b=一 23c，c 为任意常数，可以验证：当 a=一 22c，b=一 23c，c 任意时r(A)r(Ab)=2 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1) 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程的通解2，1， 0，1 T+k1，一 1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4， 故 4=一(k+2)1 一(一 k+1)22k3+5 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程的基础解系只有一个非零向量，故 r(4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41
16、=3，且由对应齐次方程的通解知 1 一 2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)3，若 4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 1=22 一 3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3，且对应齐次方程 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T，又 =1+2+3+4，即1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程有特解=1，1，
17、1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0 T+1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， n 一 m，因已知 AB=O，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m 知， 1， 2， n 一 m 是AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， n 一m 线性表出，且表出法唯一，即 =x11+x22+xn 一 mn 一 m=1， 2， n 一 m=B，即存在唯一的 ，使 B=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+
18、，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)一( 2+3)=1 一 3=一 1，3，2 T， 1=(1+2)一( 2+3)=1 一3=2， 3，1 T 因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = (3+1)=0，1，0 T故 AX=b 的通解为 k1一 1，3，2 T+k22，一 3，1T+0，1，0 T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解一 9k，一 5k，3k T，即 a=一9k，b= 一 5k， c=3k，k 是任意常数，=1，一
19、1，3 T 是非齐次方程解，代入得 d=一 b=5k，故原方程是 9x1+5x2 一 3x3=一 5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将方程组(II)的通解 k 1一 1，1， 1，0 T+k22，一 1，0，1 T+一2，一 3，0，0 T=一 2 一 k1+2k2，一 3+k1 一 k2，k 1，k 2T 代入方程组(I) ，得化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入()的通解，得方程组 (I)， ()的公共解为： 一 2 一(2k 2+6)+2k2，一 3+2k2+6 一k2，2k 2+6，k 2T=一 8，k 2+3，2k 3+6，k 2T【知识模块】 线性代数24 【正确答
20、案】 对方程组(I)，因增广矩阵为 知其通解为 k 一 1，2，一 1，1 T+1，2，一 1，0 T=1 一 k，2+2k，一 1 一 k，k T将通解代入方程组(II)，r(B)=r(B)=3故方程组(I)和( )是同解方程组【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)设 A 对应于特征值 的特征向量为 x，则【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由3E+A=0 ，得 =一 3 为 A 的特征值由AAT=2E，A0，得A=一 4，则 A*的一个特征值为 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 一 E=(1 一 )(2+4+5)=0，得 A 的实特征值 =1解(A E)x=0 得其对应的特征向量 x= ，其中 K 为不为零的常数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 反证法假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 ( 1)x1+( 一 2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则 1=2矛盾【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数
