1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )2 设 A 是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为AX=b， 对应的线性齐次方程组为AX=0， 则 ( )（A）有无穷多解 仅有零解（B） 有无穷多解有无穷多解（C） 仅有零解有唯一解（D）有非零解 有无穷多解3 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n ，且 A0（B） AX=0
2、 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出4 设矩阵 Amn 的秩 r(A)=r(Ab)=mn，则下列说法错误的是 ( )（A）AX=0 必有无穷多解（B） AX=b 必无解（C） AX=b 必有无穷多解（D）存在可逆阵 P，使 AP=EmO5 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解6 设 A 是 ms 矩阵，B 是
3、sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n7 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(Ab) ，r(B)任意（B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） A0，b 可由 B 的列向量线性表出（D）B0，b 可由 A 的列向量线性表出8 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程
4、组 AX=b 的通解是 ( )9 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例二、填空题10 方程组 有解的充要条件是_11 设线性方程组12 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解 k11，2，0，一 2T+k24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2， x 3=x4 的解是_13
5、 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24， 则 Ax=的通解为_14 设 A= ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_15 已知一 2 是 A= 的特征值，其中 b0是任意常数，则x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围17 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：ABBA 有相同的特征值18 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素
6、之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和19 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵20 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 230时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关21 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量，证明：， 正交22 设矩阵 A= ，问 k 为何
7、值时，存在可逆阵 P，使得 P 一 1AP=，求出 P 及相应的对角阵23 已知 A= ，求 A 的特征值和特征向量，a 为何值时，A 相似于24 已知 =1，k，1 T 是 A 一 1 的特征向量，其中 A= ，求 k 及 所对应的特征值25 设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量， =2是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P 一 1AP= 是对角阵26 已知 =1，1，一 1T 是矩阵 A= 的一个特征向量 (1)确定参数 a，b 及 对应的特征值 ； (2)A 是否相似于对角阵，说明理由27 设矩阵 A= ，且A= 一 1， A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0 的特征向量为
8、 =一 1，一 1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值28 设 A 是三阶实对称阵， 1=一 1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A29 设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1考研数学二（线性代数）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系，仍是特解【知识模
9、块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 (C) ，(D) 中 式均有可能无解式有无穷多解，记为 k11+kn一 rn 一 r+，则式有解 k11+k22+kn 一 rn 一 r，故(A)不正确，故选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n， AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能无解) ，(C) 是必要条件，但非充分条件(b 由 1， 2， n 表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因 r(A)=r(
10、A|b)=mnAX=b 必有解【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(AT|b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举
11、例说明【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)=r(A|B)，r(b)任意(BY=0 总有解，至少有零解，其余均错)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 ai=0【试题解析
12、】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 其中 k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1，k 2，k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2，2，一 1，一 1T【试题解析】 方程组的通解为解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足及 x1=x2，x 3=x4 的解为2，2，一 1，一 1T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 ，k 1，k 2R【试题解析】 由 = 1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24，可知 1=均为 Ax=0的解 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2
13、又由于 Ax=O 有两个线性无关的解 1一 2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1一 2， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax=的通解为 ，k1，k 2R【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1 当 a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为一 1，1，0 T，因此通解为 k一 1，1，
14、0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 4【试题解析】 由E 一 A=一 2E 一 A=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B2=E=B=2， ( 2 一 1)=0，0， 故 =1，或 =一 1，B 的特征值的取值范围是1 ，一 1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 利用特征值的定义设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则AB= 式两边左乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值
15、(其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0， 0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=B A=AB=AB=0，从而 BA 也有 =0的特征值，故AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 的每行元素之和为 A，故有 即 A 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，即 即Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关 11+22， 22+33， 33+11 线性无关 11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 秩为 3，因
16、为 1， 2， 3 线性无关，=21230A= 1230，A 是可逆阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)=1， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 又 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知1，A( 1+2)，A 2(1， 2， 3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， ( 一 )T=0， 故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r
17、(E 一 A)=r(一 EA)=1，r(一 E 一 A)一 1k=0，故 k=0时，存在可逆阵 P，使得 P 一 1AP=Ak=0 时，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由题设 A 一 1=， 是 A 一 1 的对应于 的特征值，两边左乘A，得 =A，A 一 1 可逆，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2是二重特征值，故特征矩阵2E 一 A 的秩应为 1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即当 =一 1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故
18、 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A *=0，左乘 A，得 AA*=A=一 =0A即由式，式解得 0=1，代入 ，式得 b=一 3，a=c由A =一 1，a=c，有=a 一 3=一 1，得 a=c=2，故得 a=2，b= 一 3，c=2 ， 0=1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，一 1T，且取正交矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的特征值 10， 20， n0因而 A+E 的特征值分别为 1+11， 2+11， n+11，则A+E=( 2+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数
