1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A*，且|A|=a0，则|A *|=（A）n（B）（C） an 一 1（D）a n2 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有|AB|0（B）当 mn 时，必有|AB|=0（C）当 nm 时，必有|AB|0（D）当 nm 时，必有|AB|=03 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为 r1，则（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系不定
2、4 若向量组 1， 2， 3 线性无关，向量组 1， 2， 4 线性相关，则（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 4 必不可由 1， 2， 3 线性表示5 设非齐次线性方程组 Ax=b 有两个不同解 1 和 2，其导出组的一个基础解系为1， 2，c 1，c 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解为（A）c 11+c2(1+2)+ (1 一 2)（B） c11+ c2(1 一 2)+ (1+2)（C） c11+c2(1+2)+ (1 一 2)（D）c 11+c2(1 一 2)+ (1+2)
3、6 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且秩(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=7 与矩阵 D= 相似的矩阵是8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22 一 4x32 一 4x1x2 一 2x 2x3 的标准形为（A）2y 12 一 y22 一 3y 32（B）一 2y12 一 y22 一 3y32（C）一 2y12+y22（D）2y 12+y22+3y32二、填空题9 矩阵 的非零特征值是_10 方程 的实根是_11 设 A= ，n2 为正整数，则
4、 An 一 2An 一 1=_12 设 A、B 为 3 阶方阵 且 A 一 1BA=6A+BA，则矩阵B=_13 设 ，B=P 一 1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B20042A2_14 设 4 阶方阵 A= 2 3 4，B= 2 3 4，其中 ， ， 2， 3， 4 都是 4 维列向量，且|A|=4，|B|=1 ，则|A+B|=_15 若向量组 1=线性相关，则 =_16 设 其中a1，a 2，a 3，a 4，a 5 是两两不同的一组常数，则线性方程组 ATX=B 的解是_17 设向量 =(1，0，一 1)T，矩阵 A=T，a 为常数，n 为正整数，则行列式|aE 一An|=_三、
5、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 证明：19 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，|A|+|B|=0， 证明：|A+B|=0 20 将 n 阶可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B， (1) 证明：B 可逆； (2)求 AB 一 121 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明：向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式22 问 a、b 为何值时，线性方程组 无解、有唯一解、有无穷多解？并求有无穷多解时的通解23 已知线性方程组 (1)a、b 为何值时，方程组有解？(2)当方程组有解时，求出方程组的导出组的一个
6、基础解系(3)当方程组有解时，求出方程组的全部解24 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明：25 已知 的一个特征向量(1)试确定a，b 的值及特征向量 所对应的特征值；(2)问 A 能否相似于对角阵？说明理由26 设 A= ，问当 k 取何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 成为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵27 设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A 一 B，A 有 n 个互不相同的特征值1， 2， n，证明： (1)i一 1(i=1，2，n)； (2) AB=BA； (3)A 的特征向量都是 B 的特征向量； (4)B 可相似对角化28 设
7、 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵29 设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=(x1+a1 x2)2+(一 2 +a2x3)2+(xn 一 1+an 一 1 xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n)为实数，试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型30 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：矩阵 A+B 的特征值全大于 a+b31 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22 一 2x
8、 32+2bx1x3(b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵考研数学二（线性代数）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=|A|E 两端取行列式，得|A|A *|=|A|n 一 1， |A*|=|A|n 一 1=an 一1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 当 mn 时，r(AB)r(A)nm ，注意 AB 为 m 阶方阵，故|AB|=0
9、【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 利用可逆方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变，得 r(AC)=r(A)，而r1=r，故 (C)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，故由向量线性相关定理即知 4 可由 1， 2， 3 线性表示，(C) 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因 1， 1 一 2 是与基础解系 1， 2 等价的线性无关向量组，故1， 1 一 2 也是 Ax=0 的基础解系，又由(A1+A2)= (1+2)是Ax=b 的一个解，由解的结构即知(B)正确【
10、知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由 Ax=b 的解的结构知关键在于求出 Ax =0 的基础解系，由于 Ax=0的基础解系所含解向量个数为 4 一秩(A)=4 一 3=1，因此 Ax=0 的任意一个非零解都可作为 Ax=0 的基础解系，易知 =21 一( 2+3)=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，故 可作为 Ax=0 的基础解系，所以，Ax=b 的通解为 x=t+ c只有选项(C)正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D 相似 A 的特征值为 1=2=1， 3=2，且 A 的对应于 2 重特征值 1 的线性无关特征向
11、量的个数为 2后一条件即方程组(E 一 A)x=0的基础解系含 2 个向量，即 3 一 r(E 一 A)=2，或 r(E 一 A)=1，经验证，只有备选项(C)中的矩阵满足上述要求【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 f 既不正定(因 f(0，0，1)=一 40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故(D)、(B)都不对，又 f 的秩为 3，故(C)不对，只有 (A)正确或用配方法【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 4.【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 t=6【试题解析】 将第 2、3 列都加到第 1 列，并提出第 1 列的公因子，得 D=(t 一
12、 6)(t2+3)；【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 A 2=2A，故 An 一 2A n 一 1=An 一 2(A2 一 2A)=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 用 A 一 1 右乘题给等式两端，再用 A 左乘两端，得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2= A4= (A2)2= E，A 2004= (A4)501= E501= E，故 B20042A2=P 一 1A2004P 一 2A2=E 一 2A 2=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 40.【试题解析】 |A+B|=|+ 2 2 23 24|=8|+
13、 2 3 4|=8(| 2 3 4|+| 2 3 4|)=8(4+1)=40【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 或 =1【试题解析】 3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性相关 行列式| 1 2 3|=( 一 1)或 =1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1，0，0，0，0) T【试题解析】 由于方程组的系数行列式|A T|=|A|= (ai 一 aj)0，故方程组有唯一解，利用 Gramer 法则 (或用观察法)易求出这个唯一解为 x=(1，0，0，0，0)T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【试题解析】 A n=(T)(T)( T)=(T)(
14、 T)T=2n 一 1T=E 一 An= |aE 一 An|=a(a一 2 n 一 1)2 一 22(n 一 1)= a2(n 一 2n).【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 (1)先按第 1 行展开，并将(1，2) 元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn 一 1 一 abDn 一 2 Dn 一 aDn 一 1=b(Dn 一 1 一 aD n 一 2) Dn 一aDn 一 1=bn 一 2(D2 一 aD 1)=bn，对称地有 Dn 一 bDn 一 1=an解方程组亦可用数学归纳法证明(2)先把第 2 列的 x
15、倍加到第 1 列，再把第 3 列的 x2 倍加到第 1 列，最后把第 n列的 xn 一 1 倍加到第 1 列，然后按第 1 列展开【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由条件得|A| 2=1，|B| 2=1 |A|=+1，|B|=1 ，又|A|= 一|B| |A|B|=一 1，故|A+B|=|AE+EB|=|AB 2+A2B|=|A(B+A)B|=|A|B+A|B|=一|A+B| |A+B|=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)|B|=一|A|0 B 可逆(2)将 n 阶单位矩阵对换第 i 行与 j 行后所得的初等阵记为 Eij，则 B=EijA，故 AB 一 1= A(Ei
16、jA)一 1=AA 一 1Eij 一 1=Eij 一 1=Eij【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， n，则向量组 1， 2， n 线性无关|A|0，而 ATA= 1， 2， n= 两端取行列式，得|A| 2=D，故 1， n 线性无关 D0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 a1 时有唯一解；当 a=1 且 b一 1 时，无解；当 a=1 且 b=一1 时，通解为 x1=一 1+c1+c2， x 2=1 一 2c 1 一 2c2，x 3=c1，x 4=c2 (c1，c 2 为任意常数)或【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)a=1，b=3； (
17、2) 1=(1，一 2，1 ，0，0) T， 2=(1，一2，0，1，0) T， 3=(5，一 6，0，0，1) T； (3)( 一 2，3，0，0，0) T+c1(1， 一 2，1 ，0，0) T+c2(1，一 2，0， 1，0) T+c3 (5， 一 6，0 ， 0，1) T，其中 c1，c 2，c 3 为任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当秩(A)=n 时，|A *|=|A|n 一 10，故秩(A *)=n当秩(A)=n 一 1 时，|A|=0 且 A 中至少有某个元素的代数余子式不等于零， A*0，=秩(A *)1，再由A*A=|A|E=0 知，A 的列向量均为方程组
18、A*x=0 的解向量， n 一秩(A *)秩(A)=n一 1， 秩(A *)1，综合前已证过的秩(A *)1，得秩(A *)=1若秩(A)n 一 2，则 A的每个元素的代数余子式都为零， A*=0， 秩 (A*)=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由(E 一 A)=解得 a=一3，b=0 ，= 一 1(2)A= 的特征值为 1=2=3=一 1，但矩阵一E 一 A= 的秩为 2，从而与 =一 1 对应的线性无关特征向量(即 A的线性无关特征向量)只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵或用反证法：若 A 与对角阵 D 相似，则 D 的主对线元素就是 A 的全部特征值，即 D=一 E
19、，于是若存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=D=一 E，则 A=P(一 E)一 1=一 E，这与 A一 E 发生矛盾【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由|E 一 A|=(+1)2( 一 1)=0，得 A 的全部特征值为 1 一 2=一 1， 3=1故 A 可对角化 A的属于 2 重特征值 1=2=一 1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(一 E 一 A)x=0的基础解系含 2 个向量 3 一 r(一 E 一 A)= k=0当k=0 时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为1=(一 1，2， 0)T， 2=(1，0，2) T， 3=(1，0，1
20、) T，故令 P=1， 2， 3=，则有 P 一 1AP=diag(一 1，一 1，1)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)即证|一 E 一 A|0，或|E+A|0 或 E+A 可逆，这可由 AB=A 一B A+E)(EB)= E， A+E 可逆，且(A+E) 一 1=E 一 B(2)由(1)的(A+E) *=E 一B， (A+E)(EB)=(EB)(A+E)，即 A 一 AB+E 一 B=A+E 一 BA 一B AB=BA(3)设 x 为 A 的属于特征值 i 的特征向量，则 Ax=ix，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(Bx)=i(Bx)，若 Bx0，则 Bx 亦为 A
21、 的属于 i 的特征向量，因属于 i 的特征子空间是一维的，故存在常数 ，使 Bx=x，因此 x 也是 B 的特征向量；若 Bx=0，则 Bx=0x，x 也是 B 的属于特征值 0 的特征向量(4)由条件知A 有 n 个线性无关的特征向量，于是由(3)知 B 也有 n 个线性无关的特征向量，故B 相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)1 当 b0 时， = 一 1 一(n 一 1)b 一(1 一 b)n 一 1，故 A 的特征值为 1=1+(n 一 1)b， 2= n= 1 一 b对于 1=1+(n 一 1)b，设对应的一个特征向量为 1，则1=1+(n 一 1)b1
22、解得 1=(1，1，1) T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k1= k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数对于 2= n=1一 b，解齐次线性方程组(1 一 b)E 一 Ax=0，由解得基础解系为 2=(1，一 1，0，0) T， 3=(1，0，一 1，0) T， n=(1，0，0，一 1)T故属于 2= n 的全部特征向量为 k22+k33+knn，其中k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数2 当 b=0 时，A=E ，A 的特征值为1=2= n=1，任意 n 维非零列向量均是特征向量(2)1 当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1 2 n，则有 P
23、一 1AP=diag(1+(N 一 1)b，1 一b，1 一 b)2 当 b=0 时，A=E ，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P 一 1AP=E【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 1+(一 1)n+1a1a2an0【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 为 A+B 的任一特征值，则有 X0，使(A+B)X=X (A+B)X一(a+b)X=X 一(a+b)X (A 一 aE)+(B 一 bE)X= 一(a+b)X ，故 一(a+b)为(A一 aE)+(B 一 bE)的特征值，由条件易知 A 一 aE 及 B 一 bE 均正定，故(A 一 aE)+(B 一 bE)正定，因而它的特征值 一(a+b)0， a+b，即 A+B 的任一特征值A 都大于 a+b设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X1，设 A、B 的最小特征值分别为 1 和 1，有s= 1+1a+b故 A+B 的特征值全大于a+b【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)f 的矩阵为 A= ，由 1+2+3=a+2+(一 2)=1，及123=|A|=2(一 2a 一 b2)=一 12，解得 a=1，b=2 (2)正交矩阵下，f 的标准形为 f=2y12+2y22 一 3y 32【知识模块】 线性代数
