1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则成立（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B2 n 维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充要条件是（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k m，使 k11+k22+kmm=0 （B） 1， 2， m 中的任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 （D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3 向量组 1， 2， m 线性相关的充分条件是（A） 1， 2，
2、m 均不为零向量（B）矩阵 1 2， m的秩为 m（C） 1， 2， m 中任意一个向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示（D） 1， 2， m 中有一部分向量线性相关4 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m 一 1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m 一 1，则（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示5 设 1=(1，0 ，2) T 及 2=(0，1，一 1)T 都是线性
3、方程组 Ax=0 的解，则其系数矩阵A=6 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0，必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解二、填空题7 8 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_9 设 则秩(AB)=_10 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则 A 的伴随矩阵 A*的秩为_11 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵，则(A
4、 一 E) 一 1=_12 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 A11=1，b=(1 ，0 ，0) T，则线性方程组 Ax=b 的解是_13 设 =(1， 2，3) ，= ，矩阵 A=T，则 An(n=2，3，)=_14 向量组 1=(1，一 a，1，1) T， 2=(1，1，一 a，1) T， 3=(1，1，1，一 a)T 的秩为_15 若方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足的条件是_16 设可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则 必有一个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A 为 n 阶方阵且 AAT=E，|A|0，求|A+E|1
5、8 设矩阵 A 的伴随矩阵 矩阵 B 满足 ABA 一 1=BA 一1+3E，求 B19 设 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P n 线性无关 |P|020 为何值时，线性方程组 有解？并求其全部解21 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解情况下，求出其全部解22 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b 一 2，a+ 2b)T， =(1，3，一 3)T，试讨论当 a，b 为何值时， () 不能由 1， 2， 3 线性表示；() 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，
6、并求出表示式； () 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求表示式23 设 为可逆方阵 A 的特征值，且 x 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为A 一 1 的特征值，且 x 为对应的特征向量；(3) 为 A*的特征值，且 x 为对应的特征向量24 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同特征值，x 1，x 2 分别是属于 1， 2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量25 已知矩阵 A= 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2 重特征值，试求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 成为对角矩阵26 设 已知线性方程组 Ax= 有解但解不唯一试求
7、：(1)a 的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵27 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A28 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出 f 的矩阵 A，求出A 的特征值，并指出曲面 f(x1，x 2，x 3)=1 的名称29 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A=(a ij)nn 为正定矩阵，
8、令bij=aijcicj(i，j=1，2，n) ，矩阵 B=(bij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵30 设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1，x 2，x n)T，证明：二次型 f(x1，x 2，x n)=为正定二次型31 已知矩阵 相似于对角矩阵 (1)求 a 的值；(2) 利用正交变换将二次型 XTBX 化为标准形，并写出所用的正交变换；(3)指出曲面 XTBX=1 表示何种曲面考研数学二（线性代数）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 可看作 A 作下列初等行变换得到的：先将 A 的第 1 行加到第
9、 3 行对应初等矩阵为 P2，再将所得矩阵的 1、2 两行互换 对应初等矩阵为 P1，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得 B=P1P2A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 利用： 1， ， m 线性相关 其中存在一个向量可由其余 m 一 1个向量线性表示【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 部分组线性相关，则整体组线性相关，故(D)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由条件，存在常数 k1，k m 一 1，k m，使 =k11+kk 一 1m 一1+kmm(*)若 m 可由()线性表示： m=11+ m 一 1m 一 1，代入(*)
10、式，得 可由( )线性表示，与题设矛盾，故 m 不能由()线性表示且(*)式中的 km0(否则 km=0，则 可由() 线性表示 )， 可见m 可由() 线性表示，故只有(B)正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知 Ax=0 至少有两个线性无关解，因此其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3 一 r(A)2， r(A)1，故只有(A)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若 x 满足 Ax=0，两端左乘 AT，得 ATAx=0，故 Ax=0 的解都是ATAx=0 的解；若 x 满足 ATAx=0，两端左乘 xT，得 (xTAT) (Ax)=0
11、，即(Ax) T(Ax)=0，或|Ax| 2=0，得 Ax=0，所以 ATAx=0 的解也都是 Ax=0 的解因此()与()同解，只有选项(A) 正确【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 a 2 一 a 3b2；【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 28【试题解析】 可以直接计算亦可利用行列式按第 4 行展开的方法，得所求值等于下列行列式(它的前 4 行与给定行列式的前 4 行完全相同)的值：【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满秩方阵，故秩(AB)=秩(A)=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 r(A 44)=2 A 中
12、 3 阶子式、即每个元素的余子式均为零 A*=O，故r(A*)=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (A 一 E)【试题解析】 O = A 2+A 一 4E 一 (A 一 E)(A + 2E) + 2E 一 4E = (A 一 E)(A + 2E) 一 2E， (A 一 E)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A=，又 A 一 1=AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A 一 1b=ATb=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3 n 一 1 或用数学归纳法【试题解析】 A n=(T)(T)( T)(T)=T(
13、T)( T)=T3一 1=3n 一 1T=3n一 1 或用数学归纳法【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对下列矩阵作初等变换： 1 2 3=，由阶梯形矩阵可见，r=( 1， 2， 3)=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵 B 及方程组 Ax=b 有解判定定理知，方程组有解 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 |A+E|=|A+AA T|=|A(E+AT)|=
14、|A|(E+AT)T|=|A|E+A|=|A|A+E| (1 一|A|)|A+E|=0，又 1 一|A|0 |A+E|=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由|A *|=|A|n 一 1，有|A| 3=8，得|A|=2用 A 右乘题设等式两端，用A*左乘两端，并利用 A*A= |A|E=2E，得 2B=A *B+ 6E B=6(2E 一 A*)一 1=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 n 个 n 维列向量 P1，P 2，P n 线性无关 行列式|P1，P 2， ，P n|0，而 P1，P 2，P n=P1， 2， n，两端取行列式，得|P 1，P n|=|P|1， n|，又由已
15、知条件知行列式| 1， n|0，故行列式|P 1，P n|0 |P|0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 当 1 时无解；当 =1 时，通解为 x1=1 一 c，x 2=一 1+2c，x 3=c (c 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)当 k一 1 且 k4 时，有唯一解：(2)当 k=一 1 时，方程组无解；(3)当 k=4 时，有无穷多解，通解为 x=(0，4，0) T+c(一 3，一 1，1) T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当
16、 a=0，b 为任意常数时，有 可知 r(A) ，故方程组(*)无解， 不能由1， 2， 3 线性表示(2)当 a0，且 ab 时，r(A)= =3，方程组(*)有唯一解：x1=1 一 ，x 2= ，x 3=0故此时 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示为：(3)当 a=b0 时，对 施行初等行变换：可知 r(A)= =2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x 1=1 一 ，x 2= +c，x 3=c，其中 c 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 = 2+c3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 若 =0，则有|0E 一 A|=0，即( 一 1)n|
17、A|=0， |A|=0，这与 A 可逆矛盾，故必有 0；由 Ax=x 两端右乘 A 一 1，得 A 一 1x=x，两端同乘为 A 一 1 的一个特征值，且 x 为对应的特征向量；因 A 一1=|A|A*，代入 A 一 1x= 为 A*的一个特征值，且 x为对应的特征向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 用反证法：若 x1+x2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量则有A(x1+x2)=0 (x1+x2)，即 Ax1+Ax2=0x1+0x2，因 Axi=ix1(i=1，2)，得( 1 一 0)x1+(2 一 0)x2=0，由于属于不同特征值的特征向量 x1 与 x2 线性无关，得 1 一
18、0=0=2 一 0， 1=2，这与 12 发生矛盾【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 r(2E 一 A)=1， x=2，y= 一 2；A 的特征值为 2，2，6【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 a=一 2， QTAQ=Q 一 1AQ=【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量由 r(A)=2 知|A|=0，所以 A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向
19、量为 = (x1，x 2，x 3)T，则有iT=0(i=1， 2)，即 解得此方程组的基础解系为 =(一1，1，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(一 1，1，1) T(k 为任意非零常数)(2)令矩阵 P=1， 2，则有【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A= ； 1=2=一 1， 3=5；双叶双曲面【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由 bji=bij，知 B 对称若 x1，x 2，x n 不全为 0，则c1x1，c 2x2，c nxn 不全为零，此时，(x 1， x 2 ，x n)B(x1，x 2，x n)T=aij(cixi)(cjxj)0，故 B 正定【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由于 两端取行列式，得 由于 A 正定，故|A|0，且 A 一 1 正定，故对于任意 X0，XR n，有 XTA 一 1X0故 f(x1， x 2 ，x n)=正定【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)由 B 相似于对角阵，知对应于 B 的二重特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个， r(6E 一 B)=1， a=0；(2) 二次型 f=XTBX 的矩阵为 A=可使PTAP= ，故 f 在正交变换 X=PY 下化成的标准形为 f=6y12+7y22 一 3y32；(3)单叶双曲面【知识模块】 线性代数
