1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b02 设 n 维列向量组() ： 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组()：1， m 线性无关的充分必要条件为（A）向量组() 可由向量组 () 线性表示（B）向量组()可由向量组()线性表示（C）向量组()与向量组()等价（D）矩阵 A=1， m与矩阵 B=1， m等价3 设 A、B 都是 n 阶非零矩
2、阵，且 AB =0，则 A 和 B 的秩（A）必有一个等于零（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n4 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+ k22+ kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关5 设 A 为 mb 矩阵，则齐次线性
3、方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是 A 的（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关（D）行向量组线性相关6 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）二、填空题7 8 方程 =0 的全部根是_9 设 BO，满足 BA=O，则 t=_10 设
4、 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为|A|=2，|B|= 一 3，A *为 A 的伴随矩阵，则行列式|2A *B 一 1|=_11 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一T，B=E+ T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_12 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵 A 一 2 1+2， 1 一 2，= 1， 2，若行列式|A|=6，则|B|=_ 13 若向量组() ： 1=(1，0，0) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，1，1) T 可由向量组()：1， 2， 3， 4 线性表示，则向量组()的秩为_14 若 3 阶非零方阵 B
5、的每一列都是方程组 的解，则=_，|B|=_ 15 设可逆方阵 A 有特征值 A，则(A *)2+E 必有一个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 矩阵 B 满足 AB =A+2B，求 B17 设 (1)求 An(n=2，3，)；(2)若方阵 B 满足A2+AB 一 A=E，求 B18 设 是 n 维非零列向量，矩阵 A=E 一 T证明： (1)A 2=A 的充要条件是T=1； (2)当 T=1 时，A 不可逆19 设 1=(1， 1，1) ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t) (1)问 t 为何值时，向量组1， 2， 3 线性无关？ (2)当 t 为
6、何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关？ (3)当1， 2， 3 线性相关时，将 1 表示为 1 和 2 的线性组合20 设 4 元线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k1(0，1 ，1，0)+k 2(一 1，2，2，1)(1)求线性方程组 ()的基础解系；(2)问线性方程组( )和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由21 设有线性方程组 (1)证明：当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，此方程组无解；(2)设 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)时，方程组有解 1=(一1，1，1) T， 2=(1，1，一 1)T，写出此方程
7、组的通解22 已知(1 ，一 1，1，一 1)T 是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部分23 设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，一 1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A32A2+4E，试求 B 一 1 的特征值与特征向量24 设 有 3 个线性无关的特征向量，求 x 与 y 满足的关系25 下列矩阵是否相似于对角矩阵？为什么？26 设矩阵 ，B=P 一 1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵27 设 A 为三阶矩阵， 1
8、， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 () 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B； () 求矩阵 A 的特征值； () 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵28 设矩阵 A= 相似于对角矩阵(1) 求 a 的值；(2) 求一个正交变换，将二次型 f(x1， x2，x 3)=xTAx 化为标准形，其中 x=(x1，x 2，x 3)T29 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B230 设实对称矩阵 A 满足 A23A+ 2E=0，证明：A 为正定矩阵31 已知齐次线性方程组= 有非零解
9、，且矩阵 A=是正定矩阵(1)求 a 的值；(2)求当 XTX=2 时，X TAX 的最大值，其中 X=(x1，x 2，x 3)TR3考研数学二（线性代数）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知 0=|A*|=|A|2， 0=|A|=(a+2b)(a 一 b)2， (a=一 2b 或a=b，若 a=b，则 A*=0，与 r(A*)=1 矛盾，故必有 ab 且 a+2b=0【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 已知 r(A)=m，而()线性无关 r()=r(B)=m ，利用：同型矩阵 A
10、与 B 等价 r(A)=r(B)，即知只有(D)正确，注意，秩相同的向量组未必等价，例如，向量组(): 两个向量组的秩都是 2，但()与() 却不等价，故本题的选项 (A)、(B)及(C)都不对【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(A)=n，则 A 可逆，用 A 一 1 左乘 AB =O 两端，得 B=O，这与BO 矛盾，故 r(A)n，同理知 r(B)n，故(B)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 反例：向量组 1=(1，1) ， 2=(0，0)线性相关，但对于不全为零的常数 k1=1，k 2=2，却有 k11+k220故(B)不对【知识模块
11、】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1 2 n，则方程组 Ax=0 的向量形式是x11+x22+xnn=0，由此可知 Ax=0 仅有零解 x11+x22+xnn=0，仅在x1=x2=xn=0 时成立 向量组 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 Ax=0 的解空间是 Bx=0 的解空间的子空间，从而有 n 一 r(A)n 一 r(B)， r(A)r(B)当 Ax=0 与 Bx=0 同解时，还有 r(B)r(A)，从而有 r(A)=r(B)，因此，与正确【知识模块】 线性代
12、数二、填空题7 【正确答案】 x 4；【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 利用范德蒙行列式的结果，得 D=(2 一 1)(3 一 1)(x 一 1)(3 一 2)(x一 2)(x 一 3)；【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 一 3【试题解析】 由 BA=O 及 BO， |A|=0， t=一 3【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 |2A *B 一 1|=2n|A*|B 一 1|=2n|A|n 一 1|B|一 1=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 1【试题解析】 T=22，E=AB=(E 一 T)(E+ T)=E+ T 一 T 一
13、(T)T=E+( 一 1 一 2a)T， 一 1 一 2a=0， a=一 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 2【试题解析】 A=2 1+2， 1 一 2=1， 2 ，两端取行列式，得|A|=|B|(一 3)，因|A|=6，得 |B|=一 2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由条件知 3=r()r()3， r( )=3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 =1，|B|=0【试题解析】 由条件知方程组有非零解，故其系数行列式=5( 一 1)一 0，故 =1又由条件知 AB=0，若|B|0，则B 可逆，用 B 一 1 右乘 AB=0 两端得 A=0，这与 A0 矛盾，故|B
14、|=0 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 ，故(A *)2+E 有特征值【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 B=(A 一 2E)一 1A=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)A 2=4E A2m=(A2)m= 4mE，A 2m+1= A2mA=4mA(m=1，2，)(2)A 一 1= ，AB=E+A A2，两端左乘 A 一 1，得B=A 一 1+E 一 A=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)A 2=A (E=T)(E 一 T)=E 一 T E 一 2T+(T)T=E一 T (T 一 1)T=
15、0(注意 T0) T=1(2) 当 T=1 时，A 2=A，若 A 可逆，用 A 一 1 左乘 A2=A 两端，得 A=E，代入 A 的定义式，得 T=0，这与 T0 矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由行列式|( 1， 2， 3)T|=t=5，知当 t5 时， 1， 2， 3 线性无关，当 t=5 时， 1， 2， 3 线性相关当 t=5 时，由解方程组 x12+x22=3，得 3=一1+22【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)由系数矩阵的初等行变换：A=(x3，x 4 任意)，令x3=1， x4=0，得 1=(0，0，1，0) T；令 x3=0，x 4=1，得 2=
16、(一 1，1，0，1) T，则1， 2 就是()的一个基础解系(2)若 x 是( )和()的公共解，则存在常数1， 2， 3， 4，使 由此得1， 2， 3， 4 满足齐次线性方程组 解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为 1=C， 2=C， 3=一 C， 4=C，其中 C 为任意常数故() 和 ()有非零公共解，全部非零公共解为 C(0，0，1，0) T+C(一1，1，0，1) T=C(一 1，1，1，1) T，其中 C 为任意非零常数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)此时，增广矩阵的行列式是一个 4 阶范德蒙行列式，不等于零，故 r =4，而 r(A)3故方程组无解；(2)
17、r(A)=r =23，方程组有无穷多解，导出组 Ax=0 的基础解系含 3 一 r(A)=3 一 2=1 个解向量可取其基础解系为 1 一2=(一 2，0，一 2)T故此方程组的通解为 x=1+c(1 一 2)=(一 1，1，1) T+c(一2，0，2) T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 将解向量 x=(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =对方程组的增广矩阵施行初等行变换：因 r(A)= =24，故方程组有无穷多解，全部解为 x=( ，1，0，0) T+k1(1，一 3，1，0) T +k2(一 1，一 2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数(2)当 时，由于 x
18、2=x3，即 故此时，方程组的解为 x= (一 2，1，一 1，2) T=(一 1，0，0，1) T当 =时，由于 x2=x3，即 1 一 3k 1 一 2k 2=k1，解得 k2= 一 2k1 故此时全部解为 x=(，1，0，0) T +k1(1， 一 3，1，0) T +( 一 2k 1)(一 1， 一 2，0，2) T=(一 1，0，0，1) T +k1 (3，1，1， 一 4) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 B=f(A) ，其中 f(x)=x32x2+4由 A1=21，两端左乘 A，得A21=2A1，将 A1=21 代入，得 A21=221=41，类似可得A31=231=
19、81， B1=(A32A2+4E)1=A31 一 2A21+41=231 一22 21+41=(2322 2+4)1=f(2)1=41，类似可得 B2=f(一 1)2=2，B 1=f(0)3=43，所以， B 的特征值为 4，1，4，对应特征向量分别为 1， 2， 3因为1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 P= 1 2 3可逆，且有 P 一 1BP= 为对角矩阵，两端取逆矩阵，得 P 一 1B 一 1P= ，由此知 B 一 1 的特征值为，对应特征向量分别为 1， 2， 3【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 的特征值为 0=2=1， 3=一 1，由题设条件 A 有 3 个线性无关特征
20、向量，知 A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个 齐次线性方程组(E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3 一 r(E 一 A)=2x+y=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)是，因该方阵的特征值 1=1， 2=2， 3=3 互不相同；(2)因 A的特征值为 1 一 2=3=4=1，但 r(E 一 A)=2， A 的线性无关特征向量只有 2 个(或用反证法)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=7，A 的对应于特征值 1 的线性无关特征向量可取为 1=(一 1，1， 0) T， 2=(一 1，0，1) T；对应于特
21、征值 7 的特征向量可取为 3=(1，1，1) T由 A 的特征值得 A*的特征值为 7，7，1， B 的特征值为7，7，1， B+2E 的特征值为 9，9，3，且对应特征向量分别可取为 P 一 11=(1，一 1，0) T，P 一 12=(一 1，一 1，1) T，P 一 13=(0， 1，1) T，故对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1(1，一 1，0) T+k2(一 1，一 1，1) T，对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(0，1，1) T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 () 由题设条件，有 A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(1+2+3， 22+3，2
22、 2+33)=(1， 2， 3) 所以， ()因为 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 C=(1， 2， 3)可逆，所以由AC=CB，得 C 一 1AC=B，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值，由|E 一 B|= =( 一 1)2( 一 4)=0 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1 一 2=1， 3=4( )对应于 1=2=1，解齐次线性方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T；对应于 3=4，解齐次线性方程组(4E 一 B)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T令矩阵 Q=
23、 (1， 2， 3)=则有 Q 一 1BQ= 因 Q 一 1BQ=Q 一 1C 一 1ACQ=(CQ)一1A(CQ)，记矩阵 P= CQ=(1， 2， 3) =(一 1+2，一 21+3， 2+3)则有 P 一 1AP=Q 一 1BQ=diag(1，1，4)，为对角矩阵，故 P 为所求的可逆矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)A 的特征值为 6，6，一 2，故由 A 可相似对角化知矩阵 6E 一A= 的秩为 1， a=0(2)f= x TAx=(xTAx)T=xTATx= (xTAx + xTATx)= ，故 f 的矩阵为 (A+AT)= = B，计算可得 B 的特征值为 1=
24、6， 2=一 3， 3=7，对应的特征向量分别可取为 1=(0，0，1) T， 2=(1，一 1，0) T， 1=(1，1，0) T，故有正交矩阵使得 P 一1BP=PTBP=diag(6，一 3，7)，所以，在正交变换 下，可化 f 成标准形 f=6y12 一 3y22+7y32【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 A 正定，故存在正交阵 P，使 P 一 1AP=PTAP=且 i0(i=1，2，n) ，故【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，则存在 X0，使 AX=X，于是(A 23A+2E)X=(23+2)X=0， 2 一 3+2=0 =1 或 =2
25、，因此 A 的特征值均大于0，故 A 正定【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式 =a(a+1) (a 一 3)=0, a 的取值范围为：0，一 1，3，再由矩阵 A 正定，得 a=3；(2)可求得 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A=10，且 T=1)对二次型 XTAX，存在正交变换X=AX，使 XTAX 1y12+2y22+3y3210(y12+y22+y32)，当XTX=YTY=y12+y22+y32=2 时，有 XTAX102=20，又 X0= 满足 X0TX0=2，且X0TAX0= =2T(A)=2T(10)=20(T)=20，综上可知=20【知识模块】 线性代数
