1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、A+B、A 一 1+ B 一 1 均为 n 阶可逆方阵，则 (A 一 1+B 一 1)一 1 等于（A）A 一 1+B 一 1（B） A+B（C） A(A+B)一 1B（D）(A+B) 一 12 已知矩阵 A 相似于矩阵 B= ，则秩(A 一 2E)与秩(A 一 E)之和等于（A）2（B） 3（C） 4（D）53 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一
2、4， 4 一 1（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 14 设有任意两个 n 维向量组 1， 2， m 和 1， 2， m，若存在两组不全为零的数 1， 2， m 和 k1，k 2，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m 一 k m)m=0，则（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性无关 （D） 1+1， ， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性相关5 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A且存在 3
3、 阶方阵B0，使 AB=0，则（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1 且|B|=0（D）=1 且|B|06 设 A 县 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且 则线性方程组（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解7 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题8 9 10 设 A= 矩阵 B 满足 A2 一 AB=2B+4E，则 B=_11 设 A= ，则 (A 一 2E)一 1=_12 设
4、A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B，B=则(A 一 E) 一 1=_13 设有矩阵 则 r(AB)=_14 设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零，且秩(A)=n 一 1，则齐次线性方程组AX=0 的通解为_15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换化成了标准形 f=y22+2y32，其中 P 为正交矩阵，则=_，=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 AP=PB，其中 求 A 及 A517 设实方阵 A=(aij)44 满足： (1)a ij=Aij(i，j=1，2
5、， 3，4，其中 Aij 为 aij 的代数余子式)； (2)a 110，求|A|18 已知矩阵 A=(aij)33 的第 1 行元素分别为 a11=1， a12=2，a 13=一 1又知(A *)T=，其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A19 设向量组 1， 2， 3 线性相关，而 2， 3， 4 线性无关，问： (1) 1 能否用2， 3 线性表示？并证明之； (2) 4 能否用 1， 2， 3 线性表示？并证明之20 设 i=(i1， i2， in)T(i=1，2，r；r n) 是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组的非零解向量，试
6、判断向量组1， ， r， 的线性相关性21 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 1，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T试写出线性方程组 的通解，并说明理由22 设矩阵 A、B 的行数都是 m证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)23 已知齐次线性方程组同解，求 a， b，c 的值24 已知向量 =(1，k，1) T 是 A= 的伴随矩阵 A*的一个特征向量，试求k 的值及与 对应的特征值 25 设 3 阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，1，对应的特征向量分别为 1=(1，一 1，1)
7、T， 2=(1，0，一 1)T， 3=(1，2，一 4)T，求 A10026 设 n 阶矩阵 A0，存在某正整数 m，使 Am=0，证明： A 必不相似于对角矩阵27 设矩阵 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12(b0)(1)求a、b 的值；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P 一 1AP= 为对角矩阵28 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= 是否为正定矩阵？29 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量，记 证明： 1f(X)n，mlnf(X)= 1=f(X1)，maxf(X)= n=f(Xn
8、)30 设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 xRn，有|xTAx|cxTx (2) 若 A 正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3) 必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵31 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵 (1)计算 PTDP，其中 P= ，(E k 为 k 阶单位矩阵)；(2)利用(1)的结果判断矩阵 B 一 CTA 一 1C 是否为正定矩阵，并证明考研数学二（线性代数）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C
9、【试题解析】 因 (A 一 1+B 一 1) A(A+B)一 1B = (E+B 一 1A) (A+B)一 1B = B 一 1(B+A) (A+B)一 1B = B 一 1B = E，故(A 一 1+B 一 1)一 1= A(A+B)一 1B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B， P 一 1(A 一 2E)P=P 一1AP 一 2E=B 一 2E，即 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，故有 r(A 一 2E)=r(B 一 2E)= =3，同理知 r(A 一 E)=r(B 一 E)=1，故 r(A 一 2E) +r(A 一
10、 E) = 3+1 = 4【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 选项(C) 中 4 个向量由线性无关向量组 1， 2， 3， 4 线性表示的系数矩阵为 A= 因，r(A)=4 ，故(C)中 4 个向量线性无关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设等式，有 1(1 +1)+ m(m+m)+k1(1 一 1)+km(m 一m)=0，因 1， m，k 1，k m 不全为零，由上式知向量组1+1， ， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性相关，只有 (C)正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】
11、注意选项(D)中的方程组是 n+1 元方程组，而其系统矩阵的秩等于Ann 的秩，它最大是 n，必小于 n+1，因而该齐次线性方程组必有非零解【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 当 Ann 有 n 个互不相同特征值时，A 必相似于对角矩阵，但与对角矩阵相似的矩阵也可能存在重特征值，例如单位矩阵 E 的特征值为1=2= n=1，而对任何 n 阶可逆方阵 P，有 P 一 1EP=E 为对角矩阵所以(B)正确【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 1 一 x2 一 y2z2；【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 一 10【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B=(A
12、+2E) 一 1(A2 一 4E)=(A+2E)一 1(A+2E) (A 一 2E)=A 一 2E=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 AB 一 B 一 2A = O， (A 一 E)B 一 2(A 一 E) 一 2E = O，(A 一 E) (B一 2E) = 2E ， (A 一 E) (B 一 2E) =【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 B 是满秩方阵，所以 r(AB)=r(A)，而由 A 的初等变换：知 r(A)=2，故 r(AB)=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的基
13、础解系所含向量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，故 Ax=0 的任一非零解都可作为它的基础解系【试题解析】 由 A=(aij)nn 的元素满足 =0(i=1，2，n) 知 Ax=0 有解=(1，1，1) T，故 可作为 Ax =0 的基础解系，从而得方程组的通解为 x=k，其中 k 作为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 = 0 A= 的秩=f 的秩=2， |A|=0， =，又0=|E 一 A|=一 22， =0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 P 可逆 A5=(PBP 一 1)(PBP 一1)(PBP
14、一 1)=PB5P 一 1=PBP 一 1=A.【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a ij=Aij(i， j=1，2，3，4) AT=A* |AT|=|A*|，即|A|=|A| 3， |A|(1一|A| 2) =0， |A|取值范围为 0，1，一 1，又|A|= |A|=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由(A *)T=(Aij)知 A11=一7，A 12=5，A 13=4， |A|=a11A11+a12A12+a13A13=一 1，又 AA*=|A|E=一 E A=一(A*)一 1=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1) 1 可由 2， 3 线性表示，由 2， 3
15、 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关即可证明 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，否则，因 1 可由 2， 3 线性表示，得 4 可由 2， 3 线性表示，这与 2， 3， 4 线性无关矛盾【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 线性无关证明如下：由题设条件有b1a11+b2ai2+bnam=T1=0(i=1，2，r) ，设 k11+krr，+ k r+1=0，用 T 左乘两端并利用 Ti=0 及 Tp=|20，得 kr+1=0， k11+krr=0，又 r， r线性无关， k1=kr=0故 1， r， 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 记方程组()、() 的系
16、数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由()的基础解系可知 AB T=O 转置即得 BA T=O 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故 ()的解空间的维数为 2n 一 r(B)=2n 一 n=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系已知() 的基础解系含 n 个向量，即 2n 一 r(A)=n，故 r(A)=n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成() 的一个基础解系，因此(
17、) 的通解为 y=c 1(a11，a 12，a 1，2n )T+c2(a21，a 22，a 2，2n )T+cn(an1，a n2，a 2，2n )T 其中 c1，c 2，c n 为任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 B、X 按列分块分别为 B=b1 b2 bp，X=x 1 x2 xp，则AX=B 即 Ax 1 Ax2 Axp=b1 b2 bp，故 AX=B 有解 线性方程组Ax1=bj(j=1， 2，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得 AX=B 有解 r(A)=rA|bj(j=1，2， ，p) A 的列向量组的极大无关组也是矩阵A|b(j=1，2，p)的列向量
18、组的极大无关组 r(A)= rA b1 b2 bp=r(A|B)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方程组(ii)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(ii)有无穷多个解因为方程组(i) 与 (ii) 同解，所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于 3由此得a=2此时，方程组(i)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(一 1，一 1，1) T 是方程组(i)的一个基础解系将 x1=一 1，x 2=一 1，x 3=1 代入方程组(ii)可得 b=1，c=2 或 b=0，c=1 当 b=1，c=2 时，对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(i
19、) 与(ii)同解当 b=0，c=1 时，方程组(ii)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(i) 与(ii)的解不相同综上所述，当a=2，b=1，c=2 时，方程组(i)与(ii)同解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 已知 A*=，两端左乘 A，并利用 AA*=|A|E=4E，得 A=4，即 对比两端对应分量得 由此解得 k=1，=1 ，或 k=一 2，=4【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 1， 2， 3 线性无关，故 A 相似于对角阵，令 P=1， 2， 3，则有 P 一 1AP=P 一1=PEP 一 1=E【知识模块】 线性代数2
20、6 【正确答案】 可用反证法：设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x， A2x=Ax=2x， Amx=mx，因 Am=0，x0，得 =0，故 A 的特征值都是零，因此，若 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P 一1AP=diag(0，0，0)=0，则 A=POP 一 1=0，这与 A0 矛盾【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 1+2+3=a+2+(一 2)=1， 123=|A|= 2(一 2a 一 b 2)=一 12，解得a=1，b=2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 用 A、B 正定，故有可逆矩阵 M、N ，使 A=MTM，B=N TN，故C
21、= 可逆，故 C 为正定矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P 为正交矩阵，Y=(y 1，y n)T)，使得XTAX 1n2+ nn2n(12+ n2)=n|Y|2，由于正交变换不改变向量长度，故有|Y| 2=|X|2=XTX，上式即 XTAXnXTX，当 X0 时，X TX0，即得 f(X)=n，又 f(Xn)= =n，于是得 maxf(X)=n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1， 2， n令c=max|1|，| 2|，| n|，则存在正交变换 x=Py，使 xTAx= i12，且
22、yTy=xTx，故|x TAx|= = cyTy=cxTx(2)设 A 的特征值为1， n，则 i0(i=1，n)，于是，由 A*的特征值为 1k， nk，它们全都大于 0，可知 Ak 为正定矩阵(3)因为(A+aE) T=A+aE，所以 A+aE 对称又若A 的特征值为 1， n，则 A+aE 的特征值为 1+a， n+a若取a=max|1|+1，| n|+1)，则 i+ai+|i|+l1，所以 A+aE 正定【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)P TDP = (2)矩阵 B=CTA 一 1 C 是正定矩阵证明：由(1)的结果知 D 合同于矩阵 M= 又 D 为正定矩阵，所以 M 为正定矩阵因 M 为对称矩阵，故 B 一 CTA 一 1C 为对称矩阵，由 M 正定，知对 m 维零向量 x=(0，0 ，0) T 及任意的 n 维非零向量 y=(y1，y 2，y n)T，有x T，y T = yT(B 一 CTA 一 1C)y0 故对称矩阵 B 一 CTA 一 1C 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
