1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 =( ，0，0， )，矩阵 A=I 一 T，B=I+2 T，其中 I 为 n阶单位矩阵，则 AB=（A）0（B）一 I（C） I（D）I+ T2 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，若 a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 等于3 设有向量组 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2，
2、3（B） 1， 2， 4（C） 2， 2， 5（D） 1， 2， 4， 54 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1 一 3 2+23，3 1+52 一 5 35 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，b 为任一 m 维列向量，则（A）线性方程组 Ax=b 必无解（B）线性方程组 Ax=b 必有唯一解（C）线性方程组 Ax=b 必有无穷多解（D）A 的任意 m 个列向量都线性无关6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若
3、 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量7 设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是（A）r(A)=r(B)（B） |A|=|B|（C） A 与 B 有相同的特征多项式 （D）A、B 有相同的特征值 1， n，且 1， ， n 互不相同二、填空题8 9 设 n(n3)阶方阵 A= 的秩为 n 一 1，则 a=_10 =_11 设 3 阶方阵 A 按列分块为 A=1 2 3，已知秩(A)=3，则 3 阶
4、方阵B=1+22+321+(2 一 a)2+33 31+32的秩=_12 若齐次线性方程组 存在非零解，则a=_13 已知线性方程组 无解，则 a=_14 设 1=(1， 0，一 2)T 和 2 一(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量 =(0，一 3，一 10)T，则 A=_15 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x2 一 2x 1x3+4x2x3 为正定二次型，则 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，不计算行列式
5、D，证明 D 能被 13 整除17 设 4 阶方阵 A 满足 A(EC 一 1B)TCT=E，化简上述关系式并求 A18 设 A*为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵，|A|= ，求|(3A) 一 1 一 2A *|的值19 已知三阶方阵 A 的行列式|A|=2，矩阵 B= ，其中 Aij 为 A 的(i，j)元素的代数余子式(i、j=1 ，2，3)，求 AB20 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 AB =En证明：B 的列向量组线性无关21 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，
6、a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组() 与向量组 ()等价？当 a 为何值时，向量组()与()不等价？22 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s 也为 AX =0 的一个基础解系23 设矩阵 X=(xij)33 为未知矩阵，问a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解？并在有解时，求出其全部解24 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2
7、， 3=3，对应的特征向量依次为(1)将 用 1， 2， 3 线性表出；(2)求 An(n 为正整数 )25 设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D= 相似，证明：矩阵 C=(A 一 1E)(A 一2E)(A 一 3E)=026 设 A 为 3 阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A 一 2A 2 一 A3=0，令矩阵 P= A A2 (1) 求矩阵 B，使 AP=PB； (2)证明 A 相似于对角矩阵27 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值28 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 2x 22
8、+bx32 一 4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a0)经正交变换 化成了标准形 f=2y12+2y22 一 7y 32，求 a、b 的值和正交矩阵 P29 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量，记 求二元函数 f(x，y)=(x2+ y20)的最大值，并求最大值点30 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)二次型 f(x1，x 2，x n)= (1)记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形
9、式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A 一 1；(2)二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同？说明理由31 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为 ()求矩阵 A；() 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3阶单位矩阵考研数学二（线性代数）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T= AB=(I 一 T)(I+2T)=I+2T 一 T一 2T(T)=I+T 一 T=I，故(C)正确【知识模块】 线性代数2 【
10、正确答案】 A【试题解析】 由已知的 A*=AT，即 得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为|A|中元素 aij 的代数余子式于是由行列式按行展开法则得|A|= =3a1120，再由 A*= AT 两端取行列式，得|A|=|A|2， |A|=1，故得 3112=l，【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可以通过矩阵 A=1T 2T 3T 4T 5T的初等行变换得(B)正确，或用排除法：因 3=31+2， 5=21+2，故(A)、(C)、(D)都是线性相关组，故只有(B)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (C) 组中 3 个向量用线性
11、无关向量组 1， 2， 3 线性表示的系数矩阵A= 的秩为 3，故(C)组线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 注意增广矩阵只有 m 行，其秩不会大于 m，故由 m=r(A)rA|bm， r(A)=r(A|b)=mn，所以，Ax=b 有无穷多解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*D 知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0，故 A 的余子式Mij0，而 Mij 为 A 的 n 一 1 阶子式，故 r(A)n 一 1，又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n，故 r(A)=n 一 1因此， Ax=0 的基础解系所含向量个数为
12、n 一 r(A)=n 一(n 一 1) =1，只有(B)正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 当 n 阶方阵有 n 个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵故在选项(D)的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P 一 1AP=D，Q 一 1BQ=D，其中D=diag(1， 2， n)为对角矩阵，故有 P 一 1AP=Q 一 1BQ， QP 一 1APQ 一1=B，(PQ 一 1)一 1A(PQ 一 1)=B，记矩阵 M=PQ 一 1，则 M 可逆，且使 M 一1AM=B，所以在选项(D) 的条件下，A 与 B 必相似【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 1 一
13、 a+a2 一 a3+a4 一 a5【试题解析】 先把第 2、3、4、5 行都加到第 1 行，再按第 1 行展开，得 D5=1 一aD4，一般地有 Dn= 1 一 aD n 一 1(n2)，并应用此递推公式.【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 r(A)=n 一 1， |A|=1+(n 一 1)a(1 一 a)n 一 1=0， 或a=1，而当 a=1 时有 r(A)=1n 一 1，故必有 a=【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 可利用分块对角阵求逆法，得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 B= 1， 2， 3 因 A 为满秩方阵，故【知识
14、模块】 线性代数12 【正确答案】 由条件知方程组系数矩阵 A 的秩小于 3，而由 A 的初等变换：【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一 1【试题解析】 当 a3 且 a一 1 时有唯一解；当 a=3 时，秩(A)= =23，有无穷多解；当 a=一 1 时，秩(A)=2，秩 =3，故无解【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (0，一 6，一 20) T【试题解析】 因 =21 一 2，故 也是 A 的属于特征值 2 的特征向量，所以，A=2=(0，一 6，一 20) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 21【试题解析】 由 A= 的各阶顺序主子式均大于 0，即 1=10
15、，2= =4 一 20， 3=|A|=一 4(+2)( 一 1) 0， 一 21【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 将第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第4 列，则所得行列式的第 4 列各元素有公因子 13【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A(C 一 B) T= E，A=(C 一 B) T一 1=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 矩阵 B 可看成是由 A*互换 1、3 两列所得到的，故有【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 B
16、 按列分块为 B=1 2 n，设有一组数 x1，x 2，x n，使x11+x22+xnn=0，即 BX=0，其中 X=x1，x 2，x nT，两端左乘 A，得ABX=0，即 X=0故 1， 2， n 线性无关n=秩(E n)=秩(AB) 秩(B)n ，B 的列线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由于行列式| 1， 2， 3|= a+1，故当 a一 1 时，秩 1， 2， 3=3方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)有解(且有唯一解) ，所以向量组()可由向景组() 线性表示；又由行列式| 1， 2， 3|=60，同理可知向量组()可由()线性表示故当 a一 1 时，
17、()与( )等价当 a=一 1 时，由于秩 1， 2， 3秩1， 2， 3|1，故方程组 x11+x22+x33=1 无解，即 1 不能由向量组()线性表示，所以()与()不等价若 ()与()等价，则秩 (I)一秩()，而秩()一 3，故秩(1) 一 3， |1， 2， 3|=a+10， a一 1；反之，若 a一 1，则()和()都是线性无关组，而 1， 2， 3， i 线性相关(4 个 3 维向量必线性相关)， i 可由1， 2， 3 线性表示(i=12，3)，同理知 j 可由 1， 2， 3 线性表示(j=1，2，3)，故()与() 等价，综上可知， ()与()等价 a一 1【知识模块】
18、线性代数22 【正确答案】 由 Ax=0 的解的线性组合都是解知， 1， 2， s 都是 Ax=0 的解向量由于已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，所以，只要 1， 2， s 线性无关，就可作为基础解系，否则不能作为基础解系由于 1， 2， s 由线性无关向量组 1， 2， s 线性表示的系数矩阵为 s 阶方阵故 1， 2， ， s 线性无关 |P|=t1s+(一 1)1+st2s0，即当 t1 ，t 2 满足 t1s+(一 1)1+st2s0(s 为偶数时，t 1t2；s 为奇数时，t 1一 t2)时， 1， 2， s 也是 Ax=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数23 【正确答
19、案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=rA|B a=1，b=2 ，c=1 ，于是由上题知 Ax=B 有解a=1，b=2，c=1此时，对矩阵 D 作初等行变换：于是若将矩阵B 按列分块为 B=b1，b 2，b 3，则得方程组 Ax=b1 的通解为： 1=(1 一 l，一 l，l)T；方程组 Ax=b2 的通解为： 2=(2 一 m，2 一 m，m) T；方程组 Ax=b3 的通解为：3=(l 一 n，一 1 一 n，n) T，所以，矩阵方程 Ax=B 的通解为 x=1， 2， 3=其中 l，m，n 为任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 =x11+x22+x33，得
20、线性方程组 解此方程组得 x1=2，x 2=一 2，x 3=1，故 =21 一 2 2+3(2)A n=An(21 一 2 2+3)=2An1 一 2A n2+An3，由于 Ai=ii，A ni=ini，i=1 ，2，3 故 A n= 21n1 一 22n2+3n3=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由条件知，存在可逆矩阵 P，使 A=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1) AP=A A A 2=A A2 A3=A A2 3A 一 2A2(2)由(1)有 AP=PB，因 P 可逆，得P 一 1AP=B，即 A 与 B 相似，易求出 B 的特征值为 0，1，一 3，故 A 的特
21、征值亦为 0，1，一 3，A 33 有 3 个互不相同特征值，因此 A 相似于对角阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆，于是有 0，|A|0由题设，有 A*=，两端左乘 A 并利用 AA*=|A|E，得|A|=A ，或 A=，解得 a=2， b=1 或 b=一 2，将 a=2 代入矩阵 A 得|A|=4，于是得 = ，所以，a=2，b=1，=1；或 a=2，b= 一 2，=4【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 a=4，b=一 2；P=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 在 x=1，y= 一 1 处取到【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)f
22、(X)=(x 1， x 2 ，x n)因秩(A)=n，故 A 可逆，且 A 一 1= A*，从而(A 一 1)T=(AT)一 1=A 一 1，故 A 一 1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(X)的矩阵为(2)因为(A 一 1)TAA 一 1= (AT)一1E=A 一 1，所以 A 与 A 一 1 合同，于是 g(X)与 f(X)有相同的规范形【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 () 由条件知，A 的特征值为 1， 1，0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量，设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则 x，得 x1+x3=0，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1， 0，一 1)T、(0，1，0) T得正交矩阵 Q= ，则有 Q TAQ = diag(1，1，0)，故 A=Qdiag(1，1，0)Q T= ()A+E 的特征值为2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
