1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则成立（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E2 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(I m，0)的形式3 设 n(n3)阶矩阵 若 r(A)=n 一 1，则 a 必为（A）1（B）（C）一 1（D）4
2、设 方阵 P33O，而 PQ=O，（A）t=6 时，必有秩 (P)=1（B） t=6 时，必有秩(P)=2 （C） t6 时，必有秩 (P)=1（D）t6 时，必有秩(P)=25 设矩阵 Amn 的秩为 r，对于非齐次线性方程组 Ax=b，（A）当 r=m 时，Ax=b 必有解（B）当 r=n 时，Ax=b 必有唯一解（C）当 m=n 时，Ax=b 必有唯一解（D）当 rn 时，A=b 必有无穷多解6 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（A）E 一 A=E 一 B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵 （D）对任意常数 t，tE 一 A 与 t
3、E 一 B 都相似二、填空题7 8 设 A= 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA=2BA 一 8E ，则矩阵B=_9 设 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则秩(A) =_10 设矩阵 Ai= 则 B 的伴随矩阵 B*=_11 设向量组 1=(2，1，1，1)， 2=(2，1，a ，a)， 3=(3，2，1，a)，4=(4， 3，2， 1)线性相关，且 a1，则 a=_12 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，A 的特征值为 ，则行列式|B 一 1 一E|=_13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤。14 计算下列 n 阶行列式：15 设 B 是元素全为 1 的 n 阶方阵(n2)，证明：(E 一 B) 一 1=E 一16 设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A*，且 A*=AT证明|A|017 设 3 阶矩阵 A 可逆，且 A 一 1= A*为 A 的伴随矩阵，求(A *)一 118 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足(A *)一 1BA*=BA*+8A， 其中 A*为 A的伴随矩阵，求矩阵 B19 设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 AkX=0 有解向量 ，但 Ak 一10证明：向量组 ，A， A k 一 1 线性无关20 设有向量组() ： 1
5、=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2)T， 3=(3，3，3+a ，3) T， 4=(4，4，4， 4+a) T问 a 取何值时，() 线性相关？当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出21 设向量 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)，=(1，1，b+3，5)，问：a，b 为何值时， 不能用1， 2， 3， 4 线性表示； a，b 为何值时， 能用 1， 2， 3， 4 线性表示，并写出该表达式22 设有 3 维列向量问 取何值时(1) 可由 1， 2， 3
6、 线性表示，且表达式唯一？(2) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一？(3) 不能由 1， 2， 3 线性表示？23 已知齐次线性方程组 其中0，试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系24 设矩阵 A= ，|A|= 一 1，A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为0，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T求 a，b，c 和 0 的值25 设矩阵 相似(1)求 a，b 的值；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B26 设 A 为 3 阶矩阵，|A|=6，|A+E|=|
7、A 一 2E|=|A+3E|=0，试判断矩阵(2A) *是否相似于对角矩阵，其中(2A) *是 (2A)的伴随矩阵27 设 =(1， 2， n)T 是 Rn 中的非零向量，方阵 A=T (1)证明：对正整数m，存在常数 t，使 Am=tm 一 1A，并求出 t； (2) 求一个可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=为对角矩阵28 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E +ATA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵29 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量，记 求三元函数f(x1，x 2，x 3
8、)=3x12+2x22+3x32+2x1x3 在 x12+x22+x32=1 条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点30 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明： AB 为正定矩阵考研数学二（线性代数）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当同阶方阵 P、Q 满足 PQ=E 时，有 QP=E故 E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=0 知 A 的每一列都是方程组 Bx=0 的解向量，r(B)=m 说明方程组 Bx=0 的基础
9、解系至少含 m 个向量，即 mr(B)m， r(B)=0， B=0，故选项(C)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 0=|A|=1+(n 一 1)a 一 1(1 一 a)n 一 1， a=1 或 a=若 a=1，则 r(A)=1，与 r(A) =n 一 1 矛盾， 时，A 的左上角的n 一 1 阶子式非零，有 r(A)=n 一 1故(B)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 当 t6 时，秩(Q)=2，且由 P=O 知 Q 的每一列都是方程组 PX =0 的解，故 PX =0 至少有 2 个线性无关的解， 基础解系所含向量个数 3 一秩(
10、P)2，秩(P)1；又 PO，有秩 (P)1，故此时必有秩(P)=1 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 选项(A) 的正确性注意增广矩阵只有 m 行，其秩不会大于 m，故由m=r(A)rA|bm， r(A)=r(A|b)=mn，所以，Ax=b 有无穷多解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B，故 P 一 1(tE 一 A)P 一 1tEP 一 P 一 1AP=tE 一 B，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，故选项(D) 正确，实际上，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与
11、 f(B)必相似【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 一 360.【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j(j=2，3，4， 5)，再将第 j 列的(一 1)倍加到第1 列，得上三角行列式，D=5!(一 3)=一 360；【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 4(A+E) 一 1=【试题解析】 两端右乘 A 一 1，得 A*B=2B 一 8A 一 1，两端左乘 A 并利用AA*=|A|=一 2E，得一 2B=2AB 一 8E，【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 将 A 的第 1 行的 倍加到第 i 行(1=2 ，3，n) 所得矩阵仅有第 1 行非零， 秩(A)
12、=1或由 A=，其中 = (1， 2， n)T，= (b1，b 2，b n)，及 A0，得 1r(A)=r()r()=1， r(A)=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 |B| B 一 1=|A1|A2 一 1|【试题解析】 B *=|B| B 一 1=|A1|A2 一 1|【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4 为行向量组构成 4 阶方阵 A，则有|A|=(a 一 1)(2a 一 1)=0，又 a1，故 a= 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 24【试题解析】 B 的特征值为 ，B 一 1 的特征值为 2，3，4，5，B 一 1一 E 的特征值为
13、1，2，3，4，由特征值的性质得|B 一 1 一 E|=1234=24 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵 A= 的秩为 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，则得上三角行列式 (2)(一 1)n 一 1(n 一 1)xn 一 2先将第 2 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=3 ， ，n)，再按第 1 列展开，并把 (2，1)元素的余子式的第2，3，n 一 1 列都加到第 1 列，则得上三角行
14、列式【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由(E 一 B)(E 一 B) 一 1 其中 B2= nB【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 AA T=AAT=|A|E，若|A|=0 ，则得 AAT=0，其(i ，i)元素为aik=0(i，k=1 ，2，n) A=0，这与 A0 矛盾【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (A *)一 1= =|A 一 1|(A 一 1)一 1= 或利用(A*)一 1=(A)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (A *)一 1= =A，给题设方程两端右乘(A *)一 1=A，得AB=B+8A2， (A 一 E)B=8A*， B=8(A 一 E)一
15、1A2=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设有一组数 1， 2， k，使 1+2A+ kAk 一 1=0 两端左乘 Ak 一 1得 1Ak 一 1=0因 Ak 一 10，得 1=0类似可得 2= k=0故，A， Ak 一 1 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， 3， 4，由|A|=0 或由初等行变换，可得：当a=0 或 a=一 10 时，( )线性相关当 a=0 时， 1 为()的一个极大无关组，且2=21， 3=31， 441；当 a=一 10 时，对 A 施行初等行变换：A，可知 2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a=一 1，b0
16、 时， 不能用 1， 2， 3， 4 线性表示；当 a一1 时，有唯一的线性表示： 当 a=一 1，b=0 时，有 =(一 2c1+c2)1+(1+c1 一 2c2)2+c13+c24(c1，c 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)0 且 一 3；(2)=1；(3)=一 3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方程组的系数行列式|A|=b n 一 1 ，故当|A|0，即 b0且 b+ 0 时，方程组只有零解当 b=0 或 b+ =0 时，方程组有非零解当 b=0 时，设 a10，由系统矩阵 A 的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：由此得方程组的用自由未知量表
17、示的通解为：x 2=x1，x 3=x1，x n=x1 (x1 任意)，令自由未知量 x1=1，则方程组的基础解系可取为 =(1，1，1) T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 已知 A*=0，两端左乘 A，并利用 AA*=|A|E=一 E，得一=0A，即由此解得 0=1，b=一 3，a=c再由|A|= 一 1 和 a=c，有 =a 一3=一 1， a=c=2因此 a=2，b= 一 3，c=2 ， 0=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由条件有|E 一 A|=|E 一 B|，即( 一 2)2 一(3+a)+3a 一 3=(一 a)2( 一 b)得 a=5，b=6亦可直接利用
18、特征值的性质，得，解得 a=5，b=6(2)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由条件有，|一 E 一 A|= (一 1)3|E+A|=0，|2E 一 A|一( 一 1)3|一2E+A|=0，|一 3E 一 A|= (一 1)3|3E+A|=0， A 有特征值一 1，2，一 3，从而是 A的全部特征值，A 一 1 的全部特征值为一 1， 而(2A) *=|2A|(2A)一 1=23|A|A 一 1= 24A 一 1， (2A)*=24A 一 1 的全部特征值为一 24 ，12，一 8，因 3 阶方阵(2A)*有 3 个互不相同特征值，故(2A) *可相似对角化【知识模块】 线性代数27
19、【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m 一 1 一 T=一( T)m 一 1(T)=tm 一 1A，其中 t=秩(A)=1，因实对称矩阵 A 的非零特征值的个数等于它的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有n 一 1 重特征值 1=2= n 一 1=0设 10，由 0E得属于特征值 0 的特征值可取为： 1=由特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 0+0+0+ n=T，由 A=(T)=(T)=n=n 及 0，得与 n 对应特征向量为 ，令 P=1 2 n 一 1 ，则有 P 一 1AP=diag(0，0，0， ai2)为对角阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 B
20、 T=B，对任意 n 维非零列向量 X，有 XTX0，(AX) T(AX)0，故对 X0 有 XTBX=XT(E+ATA)X=XTX+ (AX)T(AX)0，因此，对称阵 B 正定【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 f 的最小值= =f(0，1，0)=2，f 的最大值=【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因 A、B 正定，有 AT=A，B T=B，故(AB) T=BTAT=BA=AB，即AB 也是对称矩阵，因 A 正定，由第 10 题，存在正定阵 S，使 A=S2，于是 S 一1(AB)S=S 一 1SSBS=SBS=STBS，由于 B 正定，故与 B 合同的矩阵 STBS 正定，故STBS 的特征值全都大于零，而 S 一 1(AB)S=STBS，说明 AB 与 STBS 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故 AB 的特征值(即 STBS 的特征值)全都大于零，因而对称阵 AB 正定【知识模块】 线性代数
