1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A+B = A+B（B）若 AB=0，则 A=O 或 B=O（C） A-B= A -B（D）AB=AB2 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1， 1+2为 ( )（A）m+n（B） m-n（C） -(m+n)（D）n-m3 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时
2、，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=04 设 A，B，A+B，A -1+B-1 皆为可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -15 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (A-B)*=A*-B*（D）(A+B) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(ka) *等于( )（A）kA *（B） knA*（C） kn-1A*（D）k n(n-1)A*7 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则
3、下列成立的是( )（A）A=O（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=O（D）若 A 可逆，则 A=E8 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mN，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E mO)9 设 P1= ，P 2= ，若 P1mAP0n=则 m，n 可取( )（A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=210 设，则 B-1 为( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P
4、2A-1（D）P 2A-1P1二、填空题11 设 D= ，则 A31+A32+A33=_12 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A= E-3A=0，则B -1+2E=_13 设 A 为三阶正交阵，且A0，B-A=-4，则E-AB T=_14 设 A 为 n 阶矩阵，且A=a0，则(kA) * =_15 设 A，B 都是三阶矩阵，A= ，且满足(A *)-1B=ABA+2A2，则B=_16 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 A= ，则 B=_17 =_.18 设 A= ，B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=O，则 t=_19 设 A= ，BO 为三
5、阶矩阵，且 BA=O，则 r(B)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=021 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A022 计算 D2n=23 计算 (ai0，i=1，2，n)24 设 D= ，求 Ak1+Ak2+Akn25 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B=2，求考研数学二（线性代数）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显
6、然不对，设 A= ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB=O，所以 AB=0 ，(B) 不对，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 3， 2， 1， 1+2 = 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2 =- 2， 2， 3， 1- 1， 2， 3， 2 =- 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =n-m. 选 (D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n)，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是AB
7、=0 ，选(B) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) -1B(A-1+B-1)=(A+B)A-1-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=AB(AB) -1=ABB -1A-1=BB -1.A A -1=B*A*，所以选 (B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n-1 阶子式，所以(kA) *=kn-1A*，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】
8、 因为 A2=A，所以 A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=E ，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)=r(A)=mn，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n= 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3两列对调，P 1= =E12，P 2= =E13，且Eij2=E，P 1mAP2=P1AP2n，则 m=3，n=5 ，即选(B)【知识模块】 线性代数10 【正
9、确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以 B-1=P2-1P1-1A-1 或 B-1=P1-1P2-1A-1，注意到 Eij-1=Eij，于是 B-1=P2P1A-1 或 B-1=P1P2A-1，选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A33【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 60【试题解析】 因为E-A=E-2A=E-3A=0 ，所以 A 的三个特征值为，1，又 AB，所以 B 的特征值为 ，1，从而 B-1 的
10、特征值为 1，2，3，则 B-1+2E 的特征值为 3， 4，5，故B -1+2E=60【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -4【试题解析】 A0 A=-1E-AB T=AA T-AB=A (A-B)T=-A-B= B-A =-4【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k n(n-1)an-1【试题解析】 因为(kA) *=k-1A*，且A *=A n-1，所以 (kA) *=k n-1A*=k n(n-1)A n-1=kn(n-1)an-1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 A=-3，A *=AA -1=-3A-1，则(A *)-1B=ABA+2A2 化为AB=A
11、BA-2A2，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或-B=3BA+6A ，则 B=-6A(E+3A)-1，E+3A= ，(E+3A) -1= 则 B=-6A(E+3A)-1=【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA-8E，得 AA-1BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A ，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)-1=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 =E13， =E12，因为 Eij-1-Eij，所以 Eij2=E，于是=E13【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r
12、(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1【试题解析】 BA=O r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得A 2=1，因为A0，所以 A=-1 由E+A =A TA+A=(A T+E)A=AA T+E=-A T+E =-(A+E) T=-E+A 得E+A =0【
13、知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 A=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 D 2n=a2D2n-2=b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=(a2-b2)n【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 D n=a1a2an-1+anDn-1=a1a2an-1+an(a1a2an-2+an-1Dn-2)=a1a2an-1+a1a2an-2an+anan-1Dn-2= +anan-1a2(1+a1)=a1a2an【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令A= ，C=(n)，A=(-1)n+1n!，则得A*=AA -1=(-1)n+1n!A-1，所以 Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B = 123=2 得 3=1，A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) -1 的特征值为，则(A+E) -1= 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为，即为 2，1，2，于是B *=4，(2B)*= 4B*=4 3B *=256，故 =(A+E) -1(2B) *=【知识模块】 线性代数
