1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是 ( ) （A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n2 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 Ax=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1-2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)3
2、设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)4 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时线性齐次方程组 ABX=0
3、 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解5 设 A 为 m竹阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题6 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_7 设 为非零向量，A= ， 为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 A 为 b 阶矩阵，若 Ak-10，而 Ak=0证明：向量组
4、 ，A ，A -1 线性无关9 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表不；(2)设1= ， 2= ， 1= ， 2= ，求出可由两组向量同时线性表示的向量10 设向量组 1， 2， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2 正交证明： 1， 2 线性相关11 设齐次线性方程组 其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解12 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O
5、，求方程组 AX=0 的通解13 a，b 取何值时，方程组 有解?14 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解15 设( ) 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1= ， 2+3= ， 4= ，r(B)=2 (1)求方程组()的基础解系； (2)求方程组( )BX=0 的基础解系； (3)()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解16 设( ) (1)求()，( )的基础解系；(2)求()，() 的公共解17 () 问 a，b，c 取何值时，()，() 为同解方程组?18 证明线性方程组
6、()有解的充分必要条件是方程组()是同解方程组19 设( ) 的一个基础解系为，写出() 的通解并说明理由20 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组21 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n(1)证明： =n：(2) 设1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明：1， 2， r， 1， 2， s 线性无关22 设 A 为 n 阶矩阵A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=023 证明：r(AB)m
7、inr(A) ，r(B)24 证明：r(A)=r(A TA)25 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个考研数学二（线性代数）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】
8、线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n-1， 2-1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n-r(A)n-r(B)，从而 r(A)r(B)，(1) 为正确的命题；显然 (2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A
9、)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 2，1【试题解析】 A ，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又B0于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 k(-3 ，1，2) T【试题解析】
10、AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是方程组 AX=0 的通解为 k(-3，1，2) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 令 l 0+l1A+l k-1Ak-1=0 (*) (*)式两边同时左乘 Ak-1 得 l0A-1=0，因为 A-10，所以 l0=0；(*)式两边同时左乘 Ak-2 得 l1Ak-1=0，因为 Ak-10，所以l1=0，依次类推可得 l2=lk-1=0，所以 ，A，A k-1 线性无关【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l
11、 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=-l11-l22令=k11+k22=-l11-l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2 都不全为零，所以 0(2)令 k11+k22+l11+l22=0，A=( 1， 2， 1， 2)=所以 =k1-3k2=-k1+02【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 令 A= ，因为 1， 2， n-1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n-1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，
12、所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D= =a+(n-1)b(a-b)n-1(1)当 ab，a(1-n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，其通解为X=k1(-1，1， 0，0) T+k2(-1，0，1，0) T+kn-1(-1，0，0，1)T(k1，k 2， ，k n-1 为任意常数)；(3)令 A= ，当 a=(1-n)b 时，r(A)=n-1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1 ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A
13、)+r(b)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k1 +k2 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9时，r(B)=1， 1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 C (C 为任意常数)；当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由 A ，得通解为 k1 +k2 (k1，k 2 为任意常数) 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)a1 时，r(A)= =4，唯一解为 x1= ，x 2= ，x
14、3= x4=0；(2)a=1，b=1 时，r(A)r(A)，因此方程组无解；(3)a=1 ，b=1 时，通解为 X=k1(1，-2，1，0) T+k22(1，-2 ，0，1) T+(-1，1，0，0) T(k1， k2 为任意常数)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 方程组 X=0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 r(A)+r(B)N，所以方程组 =0 有非零解，故方程组 AX=0与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)方程组() 的基础解系为 1= ， 2= (2)因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解
15、向量， 4-1= ， 2+3-21=为方程组() 的基础解系；(3) 方程组()的通解为 k11+k22= ，方程组()的通解为 令 -k1=k2，取k2=k1，则方程组()与方程组 ()的公共解为 k(-1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)A 1= ()的基础解系为 1= ， 2= A2= ()的基础解系为 1= ， 2= (2)()的通解为 k11+k22= ，()的通解为l11+l22= 令 k11+k22=l11+l22 () ，()的公共解为(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为()，() 同解，所以它
16、们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，1 可由 1， 2， 3 唯一线性表出，=-2 1+2+a3 a=-1， 2 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 2=1+2-3 b=-2， 3 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 3=31+2+3 c=4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A= =(1， 2， n)，b=方程组()可写为 AX=b，方程组()、( )可分别写为ATY=0 及 Y=0若方程组 () 有解，则 r(A)=r(Ab)，从而 r(AT)= ，又因为( )的解一定为 ()的解，所以 ()与()同解；反之，若 ()与(m) 同解，则r
17、(AT)= ，从而 r(A)=r(Ab)，故方程组() 有解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 A= ，则()可写为AX=0，令 其中 1=， n= 则()可写为 BY=0，因为 1， 2， n 为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A 1，A 2，A n=0A(1， 2， n)=O ABT=O ABT=0 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系，通解为 k11T，k 22T，k nnT(k1，k 2kn 为任意常数)【知识模块】 线性代数2
18、0 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， n-r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0，不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， n-r， 0 线性无关，若1， 2， n-r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n-r，k 0，使得k11，k 22，k nn-r+k00=0，若 k0=0，则 k11，k 22，k n-rn-r=0，因为1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0，从而 1， 2， n-r， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可
19、由 1， 2， n-r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， n-r， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n-r(AB)n-r+1，r(AB)r-1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0同解【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)因为 n=r(CA+DB)= =n；(2)因为=n，所以方程组 X=0 只有零解，从而方程组 AX=0 与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A
20、)n，从而A=0，于是 A*b=A*AX=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n-1因为r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量由A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系因为 A*b=0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n-1n，即方程组 AX=b 有无穷多个
21、解【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量， 因为BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n-r(AB)n-r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)，所以 r(AB)minr(A)，r(B)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可若 AX0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 X
22、0TATAX0=0 (AX0)T(AX0)=0 AX0=0，所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n-r个线性无关的解向量，设为 1， 2， n-r， 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解，令 0=0， 1=1+0， 2=2+0， n-r=n-r+0，显然 0， 1， 2， n-r 为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+kn-rn-r=0，即 (k 0+k1+kn-r)0+k11+k22+kn-rn-r=0， 上式两边左乘 A 得(k
23、0+k1+kn-r)b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+kn-r=0，于是 k 11+k22+kn-rn-r=0，注意到1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0，故 0， 1， 2， n-r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设1， 2， n-r+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解，令 1=2-1， 2=3-1， n-r+1=n-r+2-1，根据定义，易证 1， 2， n-r+1 线性无关，又1， 2， ， n-r+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的，所以AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个【知识模块】 线性代数
