1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32，- 3， 21)，则 P-1AP 等于( )2 设 A，B 为行阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵
2、 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C
3、） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题7 设 A= ， A0 且 A*的特征值为-1，-2，2，则a11+a22+a33=_，8 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2= ， 3= ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，-3 1，- 2)，则 P-1(A-1+2E)P=_9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_10 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方
4、阵，且A1=1+2，A 2=2+3，A 3=3+1，则A=_11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2=(a，1，1-a) T是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_12 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_13 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中 a，b 为常数15 设 A= ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解?有解时求出全部解16 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A-1=A，r(A)=r(0rn)
5、求5E+A17 设 A= 相似于对角阵求： (1)a 及可逆阵 P，使得 P-1AP=A，其中 A为对角阵； (2)A 10018 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵19 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201020 设 A= ，方程组 AX=有解但不唯一(1)求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵； (3)求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵21 设矩阵 A= (1)若 A 有一个特征值为 3，求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵22
6、设矩阵 A= 可逆，= 为 A*对应的特征向量(1)求 a，b 及 对应的 A*的特征值；(2)判断 A 可否对角化23 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1=-1+22+23，A 2=21-2-23，A 3=21-22-3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A *+2E24 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2-4E 的特征值为O，5，32求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化25 设 A= 的一个特征值为 1=2，其对应的特征向量为 1= (1)求常数 a，b，c；(2)判断 A 是否可对角化，若可对角化
7、，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由考研数学二（线性代数）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32， -3，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 P-1AP=，选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 令 A= ，显然 A，B 有相同的特征值，而r(A)r(B)所以 (A)，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是-1 为 A 的特征值；若 A 的每行
8、元素之和为-1，则 ，根据特征值特征向量的定义，-1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是XTATAX=2XTX，即( 2-1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负，得-1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 A= ，A 的两个特征
9、值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 A= ，A经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能，化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP= 于是 r(A)=，故选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 -2【试题解析】 因为A * 2=A=4，且A0，所以A =2，又AA*=AE=2E，所以 A-1= A*，从而 A-1 的特征值为 ，-1，1，根
10、据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为-2，-1，1 ，于是 a11+a22+a33=-2-1+1=-2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而 P-1A-1P= ，所以 P-1(A-1+2E)P=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 230【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即(x 1+1x2+12x3)1+(2x2+2x32)2+32x33=0，则有 x1+1x2+12x3=0， 1x3+22x3=0， 32x3=0，因为x1，x 2，x 3 只能全为零，所以 230【知识模块
11、】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A1，A 2，A 3)=(1， 2， 3) 得 P-1AP=所以【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=-1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，-a，1) T， 2=(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2-a+1-a=0，解得a=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 由E-A
12、 = =(+1)(-1)2=0 得 1=-1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(E-A)=1，解得 a=4【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0【试题解析】 由E-A =0 得 A 的特征值为 1=-2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 D= =-(a+1)(b+2)(1)当 a-1，b-2 时，因为D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当 a=-1，b-2 时，当 b-1时，方程组无解当b=
13、-1 时， 方程组的通解为 X=(k 为任意常数)(3) 当 a-1，b=-2 时，当 a=1 时方程组的通解为 X=(k 为任意常数)当 a1时，显然 r(A)=2 =3，方程组无解【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)，由 r(A)=r(AB)得 a1，b=2，c=-2，此时(A B) AX1=1 的通解为X1=k1 AX2=2 的通解为X2=k2 AX3=3 的通解为 X3=k3则 X=(X1，X 2，X 3)= ，其中 k1，k 2，k 3 为
14、任意常数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 A2=A A(E-A)=O r(A)+r(E-A)=n A 可以对角化由A2=A，得A.E-A =0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 1因为 r(A)=r 且0r n，所以 0 和 1 都为 A 的特征值，且 =1为 r 重特征值，0 为 n-r 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r重)，=5(n-r 重)，故 5E+A=5 n-r6r【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)E-A=0 1=2=1， 3=-1因为 A 相似于对角阵，所以r(E-A)=1 (E-A)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0
15、，1) T，(-E-A)X=0 基础解系为 3=(1，2，-1) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=diag(1，1，-1)(2)P -1A100P=E A100=PP-1=E【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1，而 2E-A= ，所以 x=2，y=-2由E-A=(-2)2(-6)=0得 1=2=2， 3=6 由(2E-A)X=0 得 =2对应的线性无关的特征向量为 1= ， 2= 由(6E=A)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P= ，则有 P-1AP=【知
16、识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1， 3=4=-1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a=0，b=0当 =1时，由(E-A)X=0 得 1= ， 2= 当 =-1时，由(-E-A)X=0 得 3= ， 4= 令 P= ，因为 P-1AP=所以 P-1A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)因为方程组 AX=有解但不唯一，所以 A0，从而 a=-2 或a=1当 a=-2 时，方程组有无穷多解；当 a=1 时， ，方程组无解，故 a=-2(2)由E-A=(+3)
17、(-3)=0 得 1=0， 2=3， 3=-3由(0E-A)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3E-A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 由(-3E-A)X=0 得 3=-3 对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P= ，则 P-1AP= (3)令 1= ， 2=， 3= 则 QTAQ=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)E-A=(-1)-(a+2)+2a-1 ，把 =3代入上式得 a=2，于是A= ，A 2= (2)由E-A 2=0 得 A2 的特征值为1=2=3=1， 4=9当 =1时，由(E-A 2)x=0 得 1=(1，0，0，0
18、) T， 2=(0，1，0，0)T， 3=(0，0，-1 ，1) T；当 =9时，由(9E-A 2)X=0 得 4=(0，0，1，1) T将1， 2， 3 正交规范化得 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=，将 4 规范化得 4= 令 P=(1， 2， 3， 4)=，则 PTA2P=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=，则有A =12，设 A 的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为 =4.(2)2E-A= ，因为 r(2E-A)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故
19、 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 A =B由E-A=E-B=(+5)(-1) 2=0，得 A 的特征值为-5，1，1(2)因为A =-5，所以A*的特征值为 1，-5，-5 ，故 A*+2E 的特征值为 3，-3，-3从而A *+2E=27【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)2-4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9，36 ，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *=36=A 3-1，所以A =6由=6，得 1=3， 2=2， 3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A-1 的特征值为 因为 A-1 的特征值都是单值，所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由 A1=21，得(2)由E-A=0，得 1=2=2， 3=-1由(2E-A)X=0，得1= ， 2= ，由(-E-A)X=0，得 3= 显然 A 可对角化，令 P= ，则P-1AP=【知识模块】 线性代数
