1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A，B 是 n 阶可逆方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(AB)=A2 一 B2（D）(kA) -1=kA-1(k0)2 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A 不可逆，且 E 一 A 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O3 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则|A *|=
2、( )（A）|A|（B） |A-1|（C） |A-1|（D）|A n|4 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)*= ( )（A）|A| n-1A（B） |A|n+1A（C） |A|n-2A（D）|A| n+2A5 A 是 n 阶矩阵，|A|=3则 |(A*)*|= ( )（A）3 (n-1)2（B） 3n2-1（C） 3nn2 一 n（D）3 n-16 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=|A|E（B） A*TA*=|A*|E（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=一 E7 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成
3、立的是 ( )（A）(A+A -1)2=A2+2AA-1+(A-1)2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E28 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵； A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（A）l（B） 2（C） 3（D）49 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（A）|AB|=0（B） |BA|=0（C） |AB|
4、=|BA|（D）|BA|BA|=|BA|BA|10 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）t=6 时， P 的秩必为 1（B） t=6 时，P 的秩必为 2（C） t6 时， P 的秩必为 1（D）t6 时，P 的秩必为 211 设 若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定二、填空题12 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，行列式|B|=2 ，则行列式13 已知 ABB=A，其中 则 A=_14 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，且|A|0，则 |AB|=_15 设 =1，
5、 2，3 ， A=T，则 An=_16 设 则 Bn=_17 设 n2 为正整数，则 An-2An-1=_18 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=一 2，|B|=3 ，则|B|A -1|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 A，B 是 3 阶方阵，AO，AB=O，证明： B 不可逆20 设 A 是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明 B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系21 已知 1=1，一 1，1 T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，一 4T，若 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不
6、唯一，求 t 及 的表达式22 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若AB=E，证明：B 的列向量组线性无关23 设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=r()=r ，证明：(I)与()等价24 求齐次线性方程组 的基础解系25 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式26 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解26 已知线性方程组 27 a，b 为何值时，方程组有解；28 方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；29 方程组有解时，求出方程组的全部解30 已知方程组 及
7、方程组()的通解为 k 1一1，1，1，0 T+k22，一 1，0，1 T+一 2，一 3，0，0 T，k 1，k 2 为任意常数 求方程组(I)，( )的公共解31 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量32 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量，试证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量33 设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 x 都有 AX=0，证明：A=O34 设线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解35 已知由两个四元一次方程组成的齐次线性方程组的通解为 X=k 11，0，2，3T+k2
8、0，1，一 1，1 T， 求原方程组考研数学二（线性代数）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 中，(A 2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一 A，A+B不可逆；(C) 中，若 ABBA，则 BA 一 ABO；(D) 中， 不一定等于 kA-1 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因 A3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E， E 3 一 A3=(EA)(A2+A+E)=E， 故 A2-A+E 及 A2+A+E 均可逆，(
9、C)正确由以上两式知，E-A，E+A 也均可逆，故 (A)，(B)不成立(D) 不成立，例 有 但 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=|A|E，两边取行列式，得|A|A *|=|A|n 若|A|0 ，|A *|=|A|n-1=|An-1|； 若|A|=0，则|A *|=0，故选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=|A|E，得 A *(A*)*=|A*|E，(A *)*=|A*|(A*)-1，其中 故 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因|A|=3，A 可逆，则 A *(A*)*=|A*|E， 所以 |
10、(A *)*|=|A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 是正交矩阵，则有 ，A *(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A-1，A 与 A*以及 A 与 B 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选
11、 (B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么|A*|=|AT|，也即 |A|2=|A|，即|A|(|A|一 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 |A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320， 故|A|=1因此，A 可逆 并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知 A 是正交矩阵，故 ，正确， 错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 (B)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 mn，则有
12、 r(AB)r(A)nn+1，可知等式 |BA|BA|=|BA|BA|也不一定成立，故(D) 错误 综上，正确的选项是 (A)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： AmsBsn=O r(A)+r(B)s； A msBsn=O 组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量 对于本题， PQ=O r(P)+r(Q)3 1r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=11r(P)2 r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错； 当 t6 时，r(Q)=2 1r(P)1 r(P)=1故选(C)【知识模块】 线性代数11
13、 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1，得 r(A)=3，则|A|=0，即 得 a=1或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，|A|=|B|=2 ，且又123=|A|=2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 |A+E|=(1+1)(2+1)(3+1)=12， |(2B) *|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0
14、【试题解析】 由题知|A E|=|AAAT|=|A(E-AT)|=|A|(E-A)T|=|A|E-A| 又由于AAT=ATA=E，可知|A| 2=1又由|A|0，可知|A|=1又 A 为奇数阶矩阵，故 |E 一A|=|一(AE)|=一|AE|， 从而有|AE|=一|AE|，可知|AE|=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 因 故 A n=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)(T)( T)=3n-1A【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 因 故 B n=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)( T)=14n-1B【知识模块】 线性代数17 【正确答案
15、】 O【试题解析】 因 故 A n=2An-1，A n一 2An-1=O【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 因|A|=一 2，|B|=3，故【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故|B T|=0，即|B|=0，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 记 Eij 为初等矩阵 则 B=EijA，|B|=|E ijA|=|Eij|A|=一|A|0，故 B 可逆，且 B -1=(EijA)-1=A-1Eij-1=A-1Eij，故 B 的逆矩
16、阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得 由条件知 从而 t=4，此时，增广矩阵可化为 其通解为k 为任意常数所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3，k 为任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 nr(B)r(AB)=r(E)=n r(B)=n，则 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设(I)的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r. 因为(I)可由() 线性表示，即 1， 2， r 可由1，
17、2， r 线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r. 又 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，即 () 也可由(I)线性表示，得证【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 系数矩阵 则方程组的解为 令 得方程组的基础解系 1=一1，1，0，0，0 T， 2=一 1，0，一 1，0，1 T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 其增广矩阵为线性方程组有解解得 =1，其通解为 k 为任意常数.【知识模块】 线性代数26 【正确答案】
18、 方程组改写为 则有 当 时，方程组无解； 当 1 且 时，方程组有唯一解； 当 =1 时，方程组有无穷多解，且 解为 通解为 k 为任意常数.【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 a=1，b=3 时，r(A)=r(A|b)，方程组有解【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 导出组基础解系为： 1=1，一 2，1，0，0 T， 2=1，一2，0，1，0 T， 3=5，一 6，0，0，1 T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组通解：非齐次特解为 =一 2，3，0，0，0 T，故通解为k11+k22+k33+，k 1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】
19、线性代数30 【正确答案】 将方程组()的通解 k 1一 1，1，1，0 T+k22，一 1，0，1 T+一2，一 3，0，0 T=一 2 一 k1+-2k2，一 3+k1 一 k2， k1，k 2T 代入方程组(I) ，得 化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入( )的通解，得方程组(I) ，()的公共解为： 一 2-(2k2+6)42k2，一 3+2k2+6一 k2，2k 2+6，k 2T=一 8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由|E 一 A|=( 一 1)(2+4+5)=0，得 A 的实特征值 =1解(E 一A)x=0 得其对应的特征向量
20、 其中 k 为不为零的常数【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 (- 1)x1+(2)x2=0 因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则矛盾故 x1+x2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 方法一 由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由 得 a11=a21=anq=0 类似地，分别取 X为 e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T， ，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=O 方法二 因对任何 X 均有
21、AX=0，故有Aei=0，i=1，2，n，合并成分块阵，得 Ae1，Ae 2，Ae n=Ae1，e 2，e n=AE=A=O 方法三 因对任何 X 均有 AX=0，故方程基础解系向量个数为 n 又 r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数 )，故有 r(A)=0，即A=O【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组 当 一 2 且 2 时，方程组有唯一零解； 当 =2 时，方程组有无穷多解，其解为 k11，一 1，0，0 T+k21，0，一 1，0 T+k31，0， 0，一 1T，k 1，k 2，k 3 为任意常数； 当 =一 2 时，方程组为 其通解为k1，1 ，1，1 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 以原方程组的基础解系作新的方程组系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量的转置 设 即 求：得的基础解系为 1=-2，1，1，0 T， 2=一 3，一1，0，1 T故原方程组为 【知识模块】 线性代数
