1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 一 2)2 已知向量组(I) 1， 2， 3， 4 线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1-2， 2-3， 3 一 4， 4-1（C） 1+2， 2-3， 3+4， 4-1（D） 1+2， 2-3， 3 一 4， 4 一 13 设向量组
2、 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52534 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2 一4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 xOy 平面上 n 个不同的点为 Mi(xi，y i)，i=1，2，n(n3)，记 则 M1，M 2，M n 共线的充要条件是 r(A)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4
3、6 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则 ( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 和 r1 的关系依 C 而定7 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关8 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) 9 设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组为AX
4、=b， 对应的齐次线性方程组为AX=0， 则 ( )（A）有无穷多解 仅有零解（B） 有无穷多解 有无穷多解（C） 仅有零解 有唯一解（D）有非零解 有无穷多解10 设矩阵 Amn 的秩 r(A)=r(A|b)=mn，则下列说法错误的是 ( )（A）AX=0 必有无穷多解（B） AX=b 必无解（C） AX=b 必有无穷多解（D）存在可逆矩阵 P，使 AP=Em O11 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=-2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的三个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值范围为 ( )（A）a5（B） a一 4（C） a一 3（D）a一 3
5、且 a一 4（E）D二、填空题12 设 则 A-1=_13 已知 A2 一 2A+E=O，则(A+B) -1=_14 设 则(A -1)*=_15 设 则 B-1=_16 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 则 r(AB)=_17 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，则(B-2E) -1=_18 设 1=1， 0，一 1，2 T， 2=2，-1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，一1，一 5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 已知矩阵 与 相似
6、19 求 x 与 y；20 求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P21 设矩阵 问 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角矩阵22 设矩阵 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，A 是对角矩阵22 已知 =1，1，一 1T 是矩阵 的一个特征向量23 确定参数 a，b 及 对应的特征值 ；24 A 是否相似于对角矩阵，说明理由25 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位矩阵计算行列式|A 一 3E 的值26 计算行列式27 计算28 设 3 阶矩阵 A 满
7、足|A B|=|A+B|=|A+2E|=0，试计算|A *+3E|29 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，|A|0，求|A+E|30 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且 求线性方程组 AX=b的解31 设向量组 证明：向量组1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(唯一零解)32 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表出式的系数全不为零，证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关33 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关
8、向量组，若A1，A 2，A s 线性相关，证明：A 不可逆33 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证：34 A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积；35 存在常数 ，使得 Ak=k-1A考研数学二（线性代数）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显然(A)不正确由 n 一 r(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成下面讨论 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而k1 可能不是通解如果
9、1=一 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此排除(B)，(C)由于 12，必有 1 一20可见(D)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因(A)( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0； (B)( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0； (C)( 1+2)一( 2-3)一( 3+4)+(4-1)=0，故均线性相关，而 故 1+2， 2-3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+3 一 1=0
10、；(B) 1+2+2+3 一( 1+22+3)=0； (D)一 19(1+2+3)+2(2132+223)+5(31+5253)=0，故(A) ，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关对 (C)，若存在数 k1，k 2，k 3使得 k 1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0，整理得：(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0 因 1， 2， 3 线性无关，得 又式只有零解，从而知原向量组线性无关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2
11、， 3， 4， 5) 方法一 因 r( 1， 2， 3， 4)=4，故 方法二 易知1， 2， 3 线性无关， 4=2+3， 5=1+2，故 r( 1， 2， 3， 4， 5)=3【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因 且 Mi(xi，y i)，i=1，2，n(n3)是 n 个不同的点，A 中至少有一个 2 阶子式不为零，r(A)2又 n 个点共线，A 中任一 3 阶子式为零，故 r(A)3故 r(A)=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因 C 是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积， A 右边乘 C，相当于对A 作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩，所以
12、r(A)=r(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关 AX=0 有唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次方程组的特解，(D)中两个齐次方程组的解 1与 22 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系， 仍是特解【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 (C) ，(D) 中 式均有可能无解(A)，(B)中 式有无穷多解，记为k11+kn-rn-r+，则式有解 k11+k22+kn-rn-r，故(A)不正确，选
13、(B)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 因 r(A)=r(|A|b)=mn AX=b 必有无穷多解【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 因 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2，得 A 2 一 2A=A(A 一 2E)=3E， 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因 A2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E，故 【知识模块】 线性代数14 【正确答
14、案】 【试题解析】 因(A -1)(A-1)*=|A-1|E， 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 可逆，故 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=O 再在等式两边同时加上 6B 可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，也即 (A 一 3B)(B 一 2E)=6E，进一步有 (A 一 3E)(B 一 2E)=E可知 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 3【试题解析】 由 故
15、不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，一 1故 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 分别求出 A 的对应于特征值 1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因 =一 1是二重特征值，为使 A 相似于对角矩阵，要求 r(E 一 A)=r(一 EA)=1. 故当 k=0 时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A 当 k=0
16、时， 故当k=0 时，存在可逆矩阵 使得 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2E 一 A 的秩应为 1 解得x=2，y=一 2，故 因 故3=6 当 =2 时， 解得当 =6 时， 解得 令则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即 即 解得 =一 1，a=一3，b=0 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 a=一 3，b=0 时，由 知 =一 1 是 A 的三重特征值，但 当 =一 1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似
17、于对角矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一3E 的特征值为一 1，1，3，2n3，故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 故原式=(a 2+b2+c2+d2)2(负号舍去，取 b=c=d=0，原式=a 4，可知结果取“+”)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 方法一 把 Dn 按第一行展开，得 把递推公式改写成 D n 一 Dn-1=(Dn-1 一 Dn-2)， 继续用递推关系递推，得 Dn 一 Dn-1=(Dn-1-aDn-2)=2
18、(Dn-2-Dn-3)= n-2(D2-D1)， 而 D 2=(+)2 一，D 1=+， D n 一 Dn-1=n-2(D2-D1)=n， 式递推得 D n=Dn-1+n=(Dn-2+n-1)+n = n+n-1+n-22+ n-1+n 除了将式变形得 式外，还可将式改写成 D n 一 Dn-1=(Dn-1 一 n-2)， 由式递推可得 D n 一 Dn-1=n， 一 得 ( 一 )Dn=n+1-n+1， 当 一 0 时，有方法二 把原行列式表示成如下形式 再利用“拆项”性质，将 Dn 表示成 2n 个 n 阶行列式之和，可以看出 Dn 中第 i 列的第 2 子列和第i+1 列的第 1 子列成
19、正比，因此 2n 个行列式中只有 n+1 个不为零，即各列都选第 1子列，或者由第 i 列起(i=n，n 一 1，1) 以后都选第 2 子列，而前 i 一 1 列都选第 1 子列，最后得 D n=n+n-1+n-22+ n-1+n【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由|AE|=|A+E|=|A+2E|=0 可知 =1，一 1，一 2 均满足特征方程|E 一 A|=0，又由于 A 为 3 阶矩阵，可知 1，一 1，一 2 为 A 的 3 个特征值可知|A|=2，因此 A*+3E=|A|A-1+3E=2A-1+3E 有特征值 21 -1+3=5，2(一 1)-1+3=1，2(一 2)-1+3
20、=2， 故|A *+3E|=512=10【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因 1， 2， n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 其中 Ai是 b 代换 A 中第 i 列所得矩阵，则 |A 1|=|A|，|A i|=0，i=2，3，n 故 AX=b 的唯一解为 X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x11+x22+xss=0 成立 有非零解(唯一零解) 【知识模块】 线性代数32
21、 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中存在 s 个向量 1， 2， i-1， i+1， s， 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k s，k 使得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 = 11+22+ ii+ ss， 其中 i0，i=1，2，s代入式，得 (k1+k1)1+(k2+k2)2+(ki-1+ki-1)i-1+kii+(ki+1+ki+1)i+1+(ks+ks)s=0， 因已知1， 2， s 线性无关，从而有 ki=0， i0，故 k=0，从而由式得k1，k 2，k i-1，k i+1，k s 均为
22、0，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0， 其中 =k11+k22+kss，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的数k1，k 2，k s，有 =k 11+k22+kss0 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而|A|=0，即 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 将 A 以列分块，则 r(A)=r(E1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为 i=1， 2， nT(i0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 j=bji(j=1，2，n，j=i 时，取bi=1)，则 【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 记 =i=a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则 A=T，A k=(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T 记T=a1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k-1T=k-1A【知识模块】 线性代数
