1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（A）必有一个等于零（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n2 设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A*)*)为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B4 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C）
2、P1P2A-1（D）P 2A-1P15 A 是 n 阶矩阵，则 ( )（A）(一 2)n|A*|n（B） 2n|A*|n（C） (2)n|A|n-1（D）2 n|A|n-16 A 是 n 阶矩阵，则 ( )（A）(一 2)n|A|n（B） (4|A|)n（C） (一 2)2n|A*|n（D）|4A| n7 已知 A 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，且 A3=E，则 ( ) 8 设 则(P -1)100A(Q99)-1= ( ) 9 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论中： 如果 4 不能由1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2，
3、 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出 正确的个数为 ( )（A）0（B） l（C） 2（D）310 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 一 2， 1 一 22+3，(1 一 3)， 1+3243，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）111 设向量组(I) 1， 2， r 可由向量组() 1， 2， s 线性表示，则 ( )（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）
4、当 rs 时，向量组(I)必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组(I)必线性相关二、填空题12 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_13 已知 则 A-1=_14 设 A，B 均是 3 阶矩阵，其中|A|=2，|B|=-3 ，A *，B *分别是矩阵 A，B 的伴随矩阵，则15 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 则B=_16 设 A 是 n 阶矩阵，且|A|=5，则|(2A) *|=_17 设 则(A *)-1=_18 已知 A，B 均是
5、3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 则 AB=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (1)A，B 为 n 阶方阵，证明 (2)计算19 设有矩阵 Amn，B nm，且 Em+AB 可逆20 验证 En+BA 也可逆，且(E n+BA)-1=EnB(Em+AB)-1A；21 设 其中利用上题证明 P 可逆，并求 P-122 设 A 是主对角元素为 0 的 4 阶实对称矩阵，E 是 4 阶单位矩阵，且 E+AB 是不可逆的对称矩阵，求 A23 (1)设 问 k 满足什么条件时，kE+A 是正定
6、矩阵； (2)A是 n 阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数 k，使得 kE+A 是正定矩阵24 设 证明 A=E+B 可逆，并求 A-125 设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明 E+BA 也可逆，并求(E+BA) -126 设 A=E 一 T， 是非零列向量，证明：(1)A 2=A 的充要条件是考 T=1；(2)当T=1 时，A 不可逆27 设 A，B 都是 n 阶对称矩阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆28 设 A=(aij)nn，且 i=1，2，n，求 r(A*)及 A*29 已知 n 阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和第 i 行元素的代数余子
7、式之和 i=1，2，n 及主对角线元素的代数余子式之和30 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA-1=BA-1+3E，求 B31 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1， 讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性32 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A=0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关32 已知 问 a 为何值时，33 向量组 1， 2， 3， 4 线性相关；34 向量组 1， 2， 3， 4 线性无关；35 4 能由 1， 2， 3
8、 线性表出，并写出它的表出式考研数学二（线性代数）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB=O r(A)+r(B)n又 A0，BO，即 r(A)1，r(B)1，则 r(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 由于(A *)*=|A|n-2A，由于 A 不满秩，故|A|=0于是(A *)*=O，r(A *)*)=0，故应选 A.【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第三行(A 左边乘 P2)再将第一、二行对换(P 2A 左边乘 P1)得到，故 C 成立
9、【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，所以 B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 记 则 故 又 A100=A3331=(A3)33A=EA=A 所以得答案选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 易知 p2=E，故 P-1=P，进一步有 (P -1)100=P100=(P2)50=E利用归纳法易证 则 故由于右边乘初等矩阵等于作相应的初等列
10、变换，故计算结果应为将 A 第 2 列的 99 倍加到第 1 列，计算可知应选 (B)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的 令 则 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知是错误的 由向量组等价 1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4， 可知 r( 1， 1+
11、2， 2+3)=r(1， 2， 3)，r(4， 1+4， 2+a4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)， 故当 r(1， 1+2， 2+3)=r(1， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)， 因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1 一 2)=A1 一 A2=bb=0， A( 1 一22+3)=A1 一 2A2+A3=b2b+b=0， A(1+3243)=A1+3A24A3=b+3b4b=0，因此这 4 个向量都是
12、Ax=0 的解，故选(A)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组()线性表示，则 rs”的逆否命题即知【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正定 A 的顺序主子式大于 0，即 解得取公共部分，知 t 的取值范围是【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以 又 于是 则 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 A *=|A|A-1，则|A *|=|A|3|A|=|A|2，同理，|B|=|B| 2 【知识模块】 线性代数15 【正确答案
13、】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6(E-A)-1A=diag(3，2，1)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2 n2-n5n-1【试题解析】 由(2A)(2A) *=|2A|E，(2A) *=|2A|(2A)-1，得 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 (1) (2)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (E n+BA)En-B(Em+AB
14、)-1A =En+BAB(Em+AB)-1A-BAB(Em+AB)-1A =En+BA 一 B(Em+AB)(Em+AB)-1A=En 故 (E n+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 其中 X=x1，x 2，x nT，Y=y 1，y 2，y nT 因由上题知 P=E+XYT 可逆，且 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 则 因(E+AB)T=E+AB，故有 B=c=d=e=0 又 E+AB 不可逆，有得 从而得 其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因 A=AT，(kE+A) T=kET+AT=kE+A，故 k
15、E+A 是实对称矩阵 方法一 由 知 A 有特征值1=0， 2=3=3，则 kE+A 有特征值 k，k+3 ，k+3， k+A 正定 k0 方法二 综上，k0 (2) 因 A=AT，又(kE+A) T=kET+AT=kE+A，故 kE+A 是实对称矩阵设 A 有特征值 1， 2， n，且 12 n，则 kE+A 有特征值k+1，k+ n，且 k+1k+2k+ n 存在大于零的实数 k，使得 kE+A 的特征值全部大于零，kE+A 正定【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 E 和任意矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E 一 B+B2一 B3)=E 一 B4=E， 故
16、 A=E+B 可逆，且 A -1=(E+B)-1=EB+B2 一 B3 又 即得 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 E+BA=B(B -1+A)=B(E+AB)B-1，因 B，E+AB 可逆，故 E+BA 可逆，且 (E+BA) -1=B(E+AB)B-1-1=B(E+AB)-1B-1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)A 2=(E 一 T)2=E-2T+(T)2=E 一(2 一 T)T=A2 一 T=1，即 T=21=1 (2) T=1，A 2-A=A(A-E)=O，AE ，AX=0 有非零解，故|A|=0，即A 不可逆【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 |E+BA
17、|=|(E+BA) T|=|E+AT BT|=|E+AB|=0，故 E+BA 也不可逆【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 i=1，2，n，可知|A|=0，r(A)n1，当 r(A)=n 一1 时，有 r(A*)=1，当 r(A)*)=0，故有 r(A*)1 r(A *)=1 时，A *=T，其中 ， 为任意非零列向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 AA *=|A|E=E， 由 A*可知： 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由题设知(AE)BA -1=3E，两端右边乘 A，得(AE)B=3A，两端左边乘 A-1，得 A-1(A-E)B=3
18、E，即(E 一 A-1)B=3E，则 其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，从而得 (2E 一 A*)B=6E，B=6(2E 一 A*)-1， 故 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 方法一 设 x11+x22+xnn=0，即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0 因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数行列式 当 s 为奇数时，|A|=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， s 线性无关； 当 s 为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关 方法二显然 因为1， 2， s 线性无关，则 r( 1， 2， s)minr(1，
19、 2， s)，r(K)=r(K) r(K)=s |K|=1+(一 1)s+10，即 s 为奇数时，r( 1， 2， s)=s，则向量组 1， 2， s 线性无关； r(K) |K|=1+(一 1)s+1=0，即 s 为偶数时，r(1， 2， s)1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 等式两端左边乘 A，得则 k11+k1， t=0 由1， 2， t 线性无关，得 所以 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 故a=4 或=12 时， 1， 2， 3， 4 线性相关【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 a4 且 a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出 得出它的表出式为 4=1+3.【知识模块】 线性代数
