1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E 一 A=EB（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都
2、相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似3 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量4 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能5 A 是 nn 矩阵，则 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 ( )（A）
3、A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，均有 r(iE-A)=n-ri（D）A 是实对称矩阵6 下列矩阵中能相似于对角矩阵的矩阵是 ( ) 7 已知 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1，一 2， 3（B） 1， 2+3， 223（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1 一 2， 38 下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( ) 9 设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（A）A，B 有相同
4、的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的正、负惯性指数（D）A，B 均是可逆矩阵10 实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f 的矩阵和一 f 的矩阵合同，则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=011 49设 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+432 一 4x1x2+4x1x38x2x3，则 f(x1，x 2，x 3)的规范形是 ( )（A）z 12+z22+z32（B） z12+z22 一 z32（C） z12 一 z22（D） 1212 设 A=E-2XXT，
5、其中 X=x1，x 2，x nT，且 XTX=1，则 A 不是 ( )（A）对称矩阵（B）可逆矩阵（C）正交矩阵（D）正定矩阵二、填空题13 已知 =a，1，1 T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，那么a=_14 已知 则 r(AE)+r(2E+A)=_15 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_16 已知 =1，3，2 T，=1，一 1，一 2T，A=E 一 T，则 A 的最大特征值为_17 若实对称矩阵 A 与矩阵 合同，则二次型 xTAx 的规范形为_18 行列式 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、19 (1)设 1， 2， n 是 n 阶矩阵 A 的互异特征值， 1， 2， n 是 A 的分别对应于这些特征值的特征向量，证明 1， 2， n 线性无关； (2)设 A，B 为 n阶方阵，B0，若方程|A 一 B|=0 的全部根 1， 2， n 互异， i 分别是方程组(AiB)x=0 的非零解，i=1，2，n证明 1， 2， n 线性无关20 设 若 3 阶矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，n 是正整数，求 Xn21 设 A 为 n 阶正定矩阵， 1， 2， n 为 n 维非零列向量，且满足 iTA-1j=0(ij；i，j=1，2， n)试证：向量组 1， 2， n 线性无关22
7、设 1， 2， ， n 是 n 个 n 维向量，且已知 1x1+2x2+ nxn=0 (*) 只有零解问方程组 ( 1+2)x1+(2+3)x2+( n-1+n)xn-1+(n+1)xn=0 (*) 何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解22 已知 是 Ax=b 的一个特解， 1， 2， n-r 是对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系证明：23 ，+ 1，+ 2，+ n-r，是 Ax=b 的 n-r+1 个线性无关解向量；24 方程组 Ax=b 的任一解均可由 ，+ 1，+ n-r 线性表出25 设 A=T，B= T，其中 T 是 的转置求满足2B2A2C=A4C+B4C
8、 的所有矩阵 C25 已知齐次线性方程组(I)为 齐次线性方程组()的基础解系为 26 求方程组(I)的基础解系；27 求方程组(I)与()的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I) ，()的基础解系线性表示27 设28 将上述关系式表示成矩阵形式；29 当 时，求 x100，y 100；30 当 时，求 x10031 设 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=2=一 2， 3=2，对应的特征向量分别是 已知 =3，11，11 T证明 是 A100。的特征向量，并求对应的特征值32 设 A 是 3 阶矩阵，满足 A 1=一 1，A 2=1+22，A 3=1+32+3， 其中1=0， 1，
9、1 T， 2=1，0，1 T， 3=1，1，0 T 证明 A 相似于对角矩阵 A，求A，并求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A32 设 3 阶矩阵33 t 为何值时，矩阵 A，B 等价，说明理由；34 t 为何值时，矩阵 A，C 相似，说明理由考研数学二（线性代数）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知
10、识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 tE 一 B=tE 一 P-1AP=P-1(tE)PP-1AP=P-1(tE 一 A)P， 即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A) ：E 一 A=E 一 B A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A) 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当
11、 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)*=O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2=一 2，其中 1， 20此时有 A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2
12、不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 因此 为 A 的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：r(A)=1， =0 是三重特征值【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，有 r(iE 一 A)=n 一 ri，即对应 ri 重特征值 i 有 ri 个线性无关
13、特征向量(共 n 个线性无关特征向量) (A)，(D) 是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角矩阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有二个线性无关特征向量对 C 而言，因 可有两个线性无关特征向量，故 C 可相似于对角矩阵，而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(E 一 D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 若 P=1， 2， 3，则有 AP=PA，即
14、 即 A 1，A 2，A 3=11， 22， 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3 线性无关 若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故 (A)正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一 23 仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 2 一 23 线性无关，故(B) 正确 关于(C)，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2， 3 谁在前谁在后均正确即(C) 正确 由于
15、1， 2 是不同特征值的特征向量，因此1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D) 错误【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2 一 x22+x32=y12+y22 一 y32，故选 B.【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是充分条件， A，B 实对称，且 i 相同，则 A，B 合同，但反之不成立(B) 是必要条件但不充分，A，B 合同，有可逆矩阵 C，C TAC=B r(A)=r(B)，反之不成立(D) 既不充分，又不必要(C) 是两矩阵合同的充要条件【知识模块】 线性代数
16、10 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 f 的矩阵与一 f 的矩阵合同，故有p=p1，q=q 1，从而有 r=p+q=p+p 1=2p，s=pq=p 一 p1=0， 故选(C) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 方法一 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 =(x12x2+2x3)2， 得 f 的规范形为f=z12 方法二 f 对应的矩阵为 知1=9， 2=3=0 f 的标准形为 f=9y1
17、2，规范形为 f=z12，故应选(D) 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2XXT)T=E 一 2XXT=A，A 是对称矩阵； A 2=(E 一 2XXT)2=E 一 4XXT+4XXTXXT=E，A 是可逆矩阵； A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A是正交矩阵； AX=(E 一 2XXT)X=-X，X0，=一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定矩阵【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 一 1【试题解析】 是矩阵 A-1 属于特征值 的特征向量，由定义 A-1=0，于是=0A，即 即 解得【知识模块】 线性代数14 【正确答案
18、 3【试题解析】 存在可逆矩阵 P，使得 则 故 r(AE)+r(A+2E)=1+2=3【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3， 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3是可逆矩阵，故 A=1， 2， 31， 2， 3-1=E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中tr(T)=T=一 6故 A=E-T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代
19、数17 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 若 A，B 合同，则二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的规范形由矩阵 B的特征多项式 得矩阵B 的特征值 1=0， 2=30， 3=10故 XTAx 的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 行列式 Dn+1 与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1 化为范德蒙德行列式计算将行列式 Dn+1 的第 n+1 行依次与相邻上 1 行进行交换，经过 n 次交换后，换到了第 1 行完全类似，D n+1 的第 n 行经过 n 一 1 次相邻两行交换，换到第 2 行如此继续进行，共进行了次行交换
20、后，D n+1 化为范德蒙德行列式 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 (1)用数学归纳法 由于特征向量 10，故 1 线性无关； 假设前 k 一 1 个向量 1， 2， k-1 线性无关，以下证明 1， 2， k 线性无关k 个互异特征 值 1， 2， k 对应着特征向量 1， 2， k 现设存在一组数 1， 2， k，使得 11+22+ kk=0 (*) 在(*)式两端左边乘 A，有1A1+2A2+ kAk=0，即 111+222+ kkk=0； (*) 又在(*)式两端同时乘k，有 1k1+2k2+ kkk=0 (*) 用(*) 式
21、减去(*)式，得 1(1 一 k)1+2(2k)2+ k-1(k-1 一 k)k-1=0 由归纳假设 1， 2， k-1 线性无关，故 1(1k)=2(2 一 k)= k-1(k-1 一 k)=0， 又 ik0(i=1，2，k 一 1)，故1=2= k-1=0 代回(*) 式，于是 kk=0，由 0，有 k=0，于是 1， 2， k线性无关，即 A 的 n 个互异特征值对应的特征向量 1， 2， n 线性无关证毕 (2)由|B|0，在|A 一 B|=0 两边乘|B -1|，有 |B -1A 一 E|=0，即|E 一 B-1A|=0， 于是 1， 2， n 是矩阵 B-1A 的 n 个互异特征值
22、 又由(A iB)x=0，两端左边乘 B-1，有(B -1AiE)x=0，即( iEB-1A)x=0，故 1， 2， n 为 B-1A 的对应于1， 2， n 的特征向量，由 (1)知， 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 AX+2B=BA+2X 得 AX 一 2X=BA 一 2B，即 (A 一 2E)X=B(A一 2E) 又 A-2E 为可逆矩阵.故 X=(A 一 2E)-1B(A 一 2E)， Xn=(A 一 2E)-1B(A 一 2E)n=(A 一 2E)-1Bn(A 一 2E) 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设存在数 k1，k 2，k
23、n，使得 k 11+k22+knn=0 上式两端左边乘 iTA-1，由 iTA-1j=0(ij；i，j=1，2，n)，可得 k iiTA-1i=0(i=1，2，n) 因 A 为正定矩阵，则 A-1 也为正定矩阵，且 i0，故 iTA-1i0于是，k i=0(i=1，2，n)所以向量组 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 1x1+2x2+ nxn=0 只有零解 r(1， 2， n)=n 1， 2， ， n 线性无关 记为 B=AC，其中 r(A)=r(1， 2， n)=n 当 n=2k+1 时，|C|=20，r(B)=r(A)=n ，方程组(*)只有零解 当 n=2
24、k 时，|C|=0 ，C 中有，n=1阶子式 Cn-1,n-1=10，因 r(A)=n，故 r(B)=r(C)=n1方程组(*)有非零解，其基础解系由一个非零解组成 因( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一+( 2k-1+2k)一( 2k+1)=0，方程组(*)有通解 t1，一 1，1，一 1，1，一 1T，其中 t 是任意常数 或因A 可逆，ACx=Bx=0 和 Cx=0 同解， r(B)=r(C)=2k 一 1，Bx=0 有通解 t1，一 1，1，一 1，一 1T，t 是任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A(+ i)=A=b，i=0 ，1，2，n 一
25、 r(其中 0=0)，故+i， i=0，1，2，n 一 r 均 是 Ax=b 的解向量 设存在数 k0，k 1，k 2，k n-r使得 k 0+k1(+1)+k2(+2)+kn-r(+n-r)=0 (*) (*)式两端左边乘 A，得 k0A+k1A(+1)+k2A(+2)+kn-rA(+n-r)=0， 整理得(k 0+k1+kn-r)b=0，其中b0故 k 0+k1+kn-r=0， (*) 代入(*) 式，得 k 11+k22+kn-rn-r=0 因1， 2， n-r 是对应齐次方程组的基础解系，故线性无关，得ki=0， i=1，2，n-r代入 (*)式，得 k0=0从而有 ，+ 1，+ 2，
26、 n-r是 Ax=b 的 n-r+1 个线性无关解向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 *为 Ax=b 的任一解，则 *=+11+22+ n-rn-r， 且 *=+11+22+ n-rn-r， =+ 1(1+-)+2(2+ 一 )+ n-r(n-r+-) =(1 一12 一一 n-r)+1(1+)+2(2+)+ n-r(n-r+)， 故 Ax=b 的任一个解 *均可由向量组 ，+ 1，+ 2，+ n-r 线性表出【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设得 又由于 A2=TT=(T)T=2A，A 4=8A代入原方程，得 16AC=8AC+16C+，8(A一 2E)C=y，
27、其中 E 是 3 阶单位矩阵，令 C=x1，x 2，x 3T，代入上式，得非齐次线性方程组 解其对应的齐次线性方程组，得通解=k1，2，1 T(k 为任意常数)显然，非齐次线性方程组的一个特解为因此，所求方程的解为 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对齐次线性方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得 其同解方程组为 由此解得方程组(I)的基础解系为 1=2，一 1，1，0 T， 2=一1，1，0，1 T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由上题解得方程组(I)的基础解系 1， 2于是，方程组(I)的通解为 k 11+k22=k12，一 1，1，0 T+k2一
28、1，1，0，1 T(k1，k 2 为任意常数) 由题设知，方程组() 的基础解系为 1， 2，其通解为 11+22=1一 1，1，2，4T+21， 0，1，1 T(1， 2 为任意常数) 为求方程组(I)与() 的公共解，令它们的通解相等，即 k 12，一 1，1，0 T+k2一 1，1，0，1 T=1一 1，1，2，4T+21， 0，1，1 T 从而得到关于 k1，k 2， 1， 2 的方程组 对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得 由此可得，k 1=k2=2， 1=0所以，令 k1=k2=k，方程组(I)，()的非零公共解是 k2，一 1，1，0 T+k一1，1，0，1 T=k1，0，1，1
29、 T(k 为任意非零常数) 并且方程组(I)，()的非零公共解分别由方程组(I)，( )的基础解系线性表示为 k(i+2)和 k2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 表示成矩阵形式为【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由递推关系得 设 求 A 的特征值，特征向量 得 1=5， 2=一 1 当 1=5 时，由 得 当2=一 1 时，由 得 故当时，记 且 0=1，则 知x100=5100，y 100=25100【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 当 时，即 将 0 由 1， 2 线性表出， 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 将 用 1， 2， 3
30、线性表出，设 =x11+x22+x33,即解方程组 将增广矩阵作初等行变换： 解得x 1，x 2，x 3T=1，一 2，3 T，即 =1-22+33 因 Ai=ii，故A100i=100i， i=1，2，3 故 A100=A100(1 一 22+33)=(一 2)1001 一 2(-2)1002+321003 =2100(1 一 22+33)=2100 得知 是 A100 的特征向量，且对应的特征值为 2100【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由题设条件，合并得 A 1， 2， 3=一 1， 1+22， 1+32+3 其中 Q 可逆， 则有 AQ=QB，Q -1AQ=B，即 AB，所以
31、 A 和 B 有相同的特征值 故 A，B 有特征值 1=一 1， 2=2， 3=1， 1， 2， 3 互不相同故当 1=一 1 时，( 1E-B)X=0， 当 22 时，( 2E-B)X=0， 当 3=1时，( 3E-B)X=0， 故有使得 则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 显然，当 t=0 时，有 r(A)=r(B)=2，【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 则 C 有三个不同的特征值 1=1， 2=2， 3=3，且存在可逆矩阵 P，使得 当 t=2时，A 有与 C 一样的三个不同的特征值故当 t=2 时，有可逆矩阵 Q，使得 Q -1AQ=A=P-1CP 从而有 (QP -1)-1A(QP-1)=C，即 A C【知识模块】 线性代数
