1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B02 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关3 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1
2、， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )4 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵5 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A= B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题6 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A=3，B =4，则5
3、A-2B=_7 设 =(1，-1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_8 设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) *=_9 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则 B=_10 设 线性相关，则 a=_11 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则k=_， B=_ 12 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A= 求13 -2B；14 AB-BA15
4、 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关16 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关17 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=2+3= ，求方程组 AX=b 的通解18 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ S)18 设 0 为 A 的特征值19 证明：AT 与 A 特征值相等；20 求 A2，A 2+2A+3E 的特征值；2
5、1 若A0，求 A-1，A *，E-A -1 的特征值22 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化22 设 A= 有三个线性无关的特征向量23 求 a；24 求 A 的特征向量；25 求可逆矩阵 P，使得 p-1AP 为对角阵25 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A2+2A=O，r(A)=226 求 A 的全部特征值；27 当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?考研数学二（线性代数）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P
6、s，Q 1，Q t，使得 B=PsP1AQ1，而 P1，P s，Q 1，Q t，都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若 A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m，线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关；(B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证
7、1， 2， m线性无关；(C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1= ， 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，
8、A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以 A=B=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 (B)【知识模块】 线性代数部分二、填空题6 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A-2B=(5，5 1，5 2)-(2，2 1，2 2)=(5-2，3 1，3 2)，得 5A-2B=5-2，3 1，3 2=95-2， 1， 2 =9(5 ， 1， 2-2， 1， 2)=63【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 3 n-
9、1【试题解析】 T=3，A 2=T T=3T=3A，则 An=3n-1A=3n-1【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 576【试题解析】 因为(-2A) *=(-2)2A*=4A*，所以(-2A)*= 4A*=4 3A 2=649=576【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 【试题解析】 由 A-1=6A+BA，得 A-1B=6E+B，于是(A -1-E)B=6E，B=6(A -1-E)-1=【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 53【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 1，0【试题解析】 令
10、 A= ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以AB=O 且方程组有非零解，故A=0，解得 k=1因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)2【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 -2B=(-2) 3B=-8 ；【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答
11、案】 令 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，即(k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0，因为 1， 2， 3 线性无关，所以有而 ，由克拉默法则得k1=k2=k3=0，所以 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关故1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示
12、，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 AX+,其中 为Ax=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，=(2+3)=(1+2)=3-1= ，=12( 1+2)= ，所以方程组 AX=b 的通解为(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 1， 2， S 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s 线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 因为E-A
13、 T=(E-A) T= E-A ，所以 AT 与 A 的特征值相等【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 因为 A=0(0)， 所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)， 于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为A= 12 n0，所以 00，由 A=0 得 0= 由A*A=A 得 A*= ，又(E-A -1)= 于是 A-1，A *，E-A -1 的特征值分别为【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=
14、2X，因为 , 正交，所以 A2=T T=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OE-A)=r(A)1，所以 n-r(0E-A)n-l【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由E-A= =(+2)(-1)2=0 得矩阵 A 的特征值为1=-2， 2-3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E-A)=1，由 E-A= 得 a=-1【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0，由 2E+A=-得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 1= 将 =1 代入(AE-A)X=0，即(E-A)X=0，由 E-A= 得 =1 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 令 P= ，则 P-1AP=【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 由 A2+2A=O 得 r(A)+r(a+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或-2，因为A 是实对称矩阵且 f(A)=2，所以 1=0， 2=3=-2【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k-2 ，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分
