1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2为( )（A）0（B） 54（C） -2（D）-242 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） r125 26 求 PTCP；27 证明：D-BA -1BT 为止定矩阵考研数学二（线性代数）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素
2、之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A 有特征值-1， 于是 2E+A2 的特征值为 18， 3，于是2E+A 2=54 ，选(B)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)n0(因为 C 可逆，所以当 X0时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1+B-1与 A*+B*都是正定矩阵，选(D)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令 ，则 f=y12-y22；若令，则 f=y12-9y22；
3、(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数部分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) -1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E=【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，
4、所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2a1+ 2-3， 2+3)=(1， 2， 3) 因为1， 2， 3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+2-3， 2+3 线性相关，所以，解得 a=5【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 -1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) )3，于是 r(A)2=0，得 a=-1 或a=3当 a=3 时，因为 r(A)=r( )=2，因为 r(A)r( )，所以方程组无解，于是 a=-1【知识模块】 线性代数
5、部分11 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 2，3【试题解析】 由 A=得 解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 【试题解析】 令 1= ， 3=3，正交规范化的向量组为【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 A-2E= 因为A-2E=-10，所以 X=(A-2E)-1A，【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 E k
6、-Ak=(E-A)(E+A+A2+Ak-1)，又 Ek-Ak=E， 所以(E-A) -1=E+A+A2+Ak-1【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即-(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，所以有，该方程组系数行列式 Dn=1+(-1)n+1，n 为奇数x1=xn=0 1+2， 2+3， n+1 线性无关【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 向量 为零向量 (反证法)不妨设 0，令k11+k22+knn+k0=0，上式两边左乘 T 得 k
7、1T1+k2T2+knTn+k0T=0 因为 1， 2， ， n 与 正交，所以 k0T=0，即 k0 2=0，从而 k0=0，于是klal+k22+knn=0，再由 1， 2， n 线性无关，得 k1=k2=kn=0，故1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 ，原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T+(2，-1，0)(k 为任意常数)；当 a=2 时，方程组无解；当 a=-2 时， ，原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部
8、分19 【正确答案】 令 x11+x22+x33+x44=(*)(1)当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2r( )=3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a一 1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k 得 1= n-1=0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有
9、n-1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为 A2= =E，所以A 可逆且 A-1=A【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 A= =-2=-，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为-1【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由E-A= =(+1)(-1)2 得 1=-1， 2=3=1，因为A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E-A)=1，由 E-A=得 x+y=0【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 f(x 1
10、，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32=(x1+x2+x3)2-(x2+x3)2-4x32，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX y12-y22-4y32【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10， 20， n0 ，因此 A+E 的 特征值为1+11， 2+11， n+11，故A+E=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 C= 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D，【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以为正定矩阵，故 A 与 D-BA-1BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数部分
