1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1， 1+2 为 ( )（A）m+n（B） m-n（C） -(m+n)（D）n-m2 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） k*A*（C） kn-1A*（D）k n(n-1)A*3 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当
2、 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=24 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定5 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C
3、） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关6 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n7 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解8 设 A 为 n 阶矩阵，
4、下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=r（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等9 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） An 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A
5、)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 A= ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP= 】，于是 r(A)=r ，故选(D)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX 1y12+2y22+3y32，其中 Q 为正交矩阵取Y= ，则 f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而 A=O，选(A)【知识模块】 线性代数部分二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+
6、A32+A33+0A34+0A35【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而 P-1A-1P= ，所以 P-1(A-1+2E)P=【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 0【试题解析】 由E-A =0 得 A 的特征值为 1=-2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6
7、E-A)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 得A*=AA -1=(-1)n+1n!A-1，所以 Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，故A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)l，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 因为 r(A)=n-1，所以 r(A*)=1，于是 A*= (b1bn)，【知识模块】 线性代
8、数部分17 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关，令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关，+ 1，+ 2，+ t 线性无关。【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 (1)a1 时，r(A)=r( )=4，唯一解为 (2)a=1，b=-1 时，r(A)r( )，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1 时，通解为 X=k1(1，-2，1，0)T+k2(1，-2 ，0，1) T+(-1， 1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】
9、 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)*b=A*AX=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n-1因为 r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，而 A*A=0，所以 A 的列向量组1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量由 A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系因为 A*b=0，所以 b 可由2， ， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)=r( )=n-1
10、【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATTX=0 为同解方程组即可若 AX0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0 (AX0)T(AX0)=0 AX0=0，所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以 A=0，从而 a=-2 或a=1【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 由E-A=(+3)(-3)=0 得 1=0， 2=3， 3=-3由(0E-A)X=0得 1=0 对应的线性无关的
11、特征向量为 1= 由(3E-A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 由(-3E-A)X=0 得 3=-3 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 A =B由E-A=E-B =(+5)(-1)2=0，得 A 的特征值为-5，1，1【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 因为A=-5，所以 A*的特征值为 1，-5，-5，故 A*+2E 的特征值为 3，-
12、3 ，-3 从而A *+2E=27【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A ，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B， 而A*=AA -1，B *=BB -1， 于是由 P-1AP=B，得(P -1AP)-1=B-1，即 P-1A-1P=B-1， 故 P-1 AA -1P=AB -1 或 P-1A*P=B*，于是 A*B *【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故 APBP 【知识
13、模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则x11+x2A2+xnAn=0 x12+x23+xn-1n=0x1A2+x2A3+xn-1An=0 x13+x24+xn-2n-2=0x1n=0 因为 an0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，令P=(1， 2， n)，则 p-1AP= =B，则 A 与 B 相似，由E-B=0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)=n-1，所以 AX=0 的基础解系只含有
14、一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为kn(k0)【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22-2y32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=-2由A= 123=-2 得 A*的特征值为 1=2=-2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=-2 的特征向量令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x1+x2=0 故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数部分
