[考研类试卷]考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

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1、考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题,一(8)设 A=(1, 2, 3, 4)是四阶矩阵, A*为 A 的伴随矩阵,若(1,0, 1,0)是方程组 Ax=0 的个基础解系,则 A*x=0 的基础解系可为( )(A) 1,3(B) 1,2(C) 1, 2, 3(D) 2, 3, 42 (2010 年试题,8) 设 A 为四阶实对称矩阵,且 A2+A=0,若 A 的秩为 3,则 A 相似于( )(A)(B)(C)(D)3 (2008 年试题,一) 设 则在实数域

2、上与 A 合同的矩阵为( )(A)(B)(C)(D)4 (2007 年试题,一(10)设矩阵 则 A 与 B( )(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似二、填空题5 (1997 年试题,一) 已知向量组 1=(1,2,一 1,1), 2=(2,0,t,0), 3=(0,一4,5,一 2)的秩为 2,则 t=_6 (2001 年试题,一) 设方程 有无穷多个解,则 a=_7 (2002 年试题,一) 矩阵 的非零特征值是_.8 (2008 年试题,二(14)设三阶矩阵 A 的特征值是 ,2,3 若行列式2A =一48,则 =_.9 (2009 年试题,

3、二(14)设 , 为三维列向量, T 为 的转置若矩阵 T 相似于则 T=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1999 年试题,十二) 设向量组 1=(1,1,1,3) T, 2=(一 1,一 3,5,1)T, 3=(3,2,一 1,p+2) T, 4=(一 2,一 6,10,p) T (1)p 为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4,1,6,10) T 用 1, 2, 3,4 线性表出; (2)p 为何值时,该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组11 (2003 年试题,十二) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2b+3c

4、=0l 2:bx+2cy+3a=0l 3:cx+2xy+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=012 (2004 年试题,三(8)设有齐次线性方程组试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解13 (2012 年试题,三) 设 (1)计算行列式A ;(2)当实数a 为何值时,方程组 Ax= 有无穷多解,并求其通解14 (2010 年试题,22) 设 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解,(I)求 ,a;( )求方程组 Ax=b 的通解15 (2009 年试题,三(22) 设 (I)求满足A2=1,A 23=1 的所有向量 2, 3;() 对(I)中的任意

5、向量 2, 3,证明1, 2, 3 线性无关16 (2008 年试题,22) 设 n 元线性方程组 Ax=b,其中(I)证明行列式A=(n+1)a n;()a 为何值时,方程组有唯一解?求 x1;()a 为何值时,方程组有无穷多解? 求通解17 (2006 年试题,22) 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA=2;()求 a,b 的值及方程组的通解18 (2000 年试题,十二) 设 A=T,= T,其中 T 是 的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y19 (1997 年试题,四) 取何值时,方程组 无解?有唯一解或有无穷多解?并在有

6、无穷多解时写出方程组的通解20 (2002 年试题,十二) 已知四阶方阵 A=(1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4 均为四维列向量,其中 2, 3, 4 线性无关, 1=22 一 3如果 =1+2+3+4,求线性方程组 Ax= 的通解21 (2001 年试题,十二) 已知 1, 2, 3, 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,若 1=1+t2, 2=2+t3, 3=3+t4, 4=4+t1,讨论实数 t 满足什么关系时,1, 23, 4,卢 4 也是Ax=0 的一个基础解系22 (2007 年试题,23) 设线性方程组 (1)与方程 x1+x2+x3=a-1(2)有公共解,

7、求 a 的值及所有公共解23 (2005 年试题,23) 已知三阶矩阵 A 的第一行是 (a,b,C),a,b,C 不全为零,矩阵 B= (k 为常数),且 AB=0,求线性方程组 Ax=0 的通解24 若 rA=1,则 Ax=0 的同解方程组是 ax1+bx2+cx3=0 且满足 ,若c0,方程组的通解是 t1(c,0,一 0)T+t2(0,c,一 b)T,其中 t1,t 2 为任意常数若c=0,方程组的通解是 t1(1,2,0) T+t2(0,0,1) T,其中 t1,t 2 为任意常数25 (2010 年试题,23) 设 1707 正交矩阵 Q 使 QTTAQ 为对角阵,若Q 的第一列为

8、 求 a,Q.26 (2004 年试题,三(9)设矩阵 的特征方程有一个二重根,求口的值,并讨论 A 是否可相似对角化27 (2003 年试题,十一) 若矩阵 相似于对角矩阵 A,试确定常数 a 的值;并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A27 (2011 年试题,23) 设 A 为三阶实矩阵,A 的秩为 2,且28 求 A 的特征值与特征向量;29 求矩阵 A30 (2007 年试题,24) 设三阶对称矩阵 A 的特征值 1=1, 2=2, 3=一 2,又1=(1,一 1, 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A2 一 4A3+E,其中 E 为三阶单位矩阵 (I)验证 1 是矩阵

9、 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; ()求矩阵 B31 (2006 年试题,23) 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1=(一1,2,一 1)T, 2=(0,一 1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解(I)求 A 的特征值与特征向量;() 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ=A32 (2012 年试题,三) 已知 二次型 f(x1,x 2,x 3)=xT(ATA)x 的秩为2,(1)求实数 的值;(2)求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形33 (2011 年试题,二) 二次型(x 1,x 2,x 3)=x12+3x23+x32+2x1

10、x3+2x1x3+2x2x3,则厂的正惯性指数为_34 (2009 年试题,23) 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x3 一 2x2x3 (I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值; ()若二次型 f 的规范形为 y12+y22,求 a 的值考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Ax=0 基础解系含一个线性无关的解向量,所以 r(A)=3,于是r(A*)=1,故 A*X=0 基础解系含 3 个线

11、性无关的解向量,又 A*A=AE=0 且 r(A)=3,所以 A 的列向量组中含 A*x=0 的基础解系,因为(1,0,1,0) T 是方程组Ax=0 的基础解系,所以 1+3=0,故 1, 2, 3 或 2, 3, 4 线性无关,显然2, 3, 4 为 A*x=0 的一个基础解系,选 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 为矩阵 A 的特征值,因 A2+A=0,故 2+=0,进而 =一 1 或0,即矩阵 A 的特征值为一 1 或 0又因为 A 是四阶对称矩阵,故 A 可相似对角化,即 A-A,r(A)=r(A)=3从而 A=故 A 相似于,即正确答案为 D【知识

12、模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 因为,则矩阵 A 的特征值为一 1 和 3同理,计算四个选项的特征值发现,D 选项矩阵的特征值和矩阵 A 的特征值一致,即它们有相同的秩和正惯性指数,且它们都是对称矩阵,所以它们合同故应选 D则 A=C+3E,由E一 C=0 得 C 的特征值为 1=一 3, 2=3=0,则 A 的特征值为 0,3,3矩阵 B的特征值为 1,1,0,显然 A 与 B 不相似矩阵 A 与矩阵 B 的正、负惯性系数均为 2,0,即 A 与 B 合同故应选 B评注相似矩阵具有如下性质若 AB,则EA=E 一 B,即矩阵 A,B 具有相同的特征值; 即矩阵

13、 A,B 具有相同的迹;r(A)=r(B),即矩阵 A,B 具有相同的秩; A=B两矩阵合同的充分必要条件:实对称矩阵二次型X TAx 与 XTBX 有相同的正负惯性指数【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 令则 A=C+3E 由E-C=0 得 C 的特征值为 1=一 3, 2=3=0,则 A 的特征值为 0,3,3B 的特征值为 1,1,0 显然 A 与 B 不相似.A 与 B 的正、负惯性指数均为 2,0,即 A 与 B 合同故应选 B【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 由题设可知,矩阵 的秩也为 2,从而的秩为 2,因此 3 一 t=0,即 t=3或者,由矩阵秩的定义知矩阵的任一 3 阶子式为 0,因而 ,同样可解出t=3【试题解析】 对于 n 阶方阵 A 来说,若 r(A)0,不符合题意;若 2=a 一 2=0,即 a=2,则 1=20, 3=30,符合题意;若 3=a+1=0,即 a=一 1,则 1=一 12=一 3【知识模块】 二次型

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