1、考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题，一(8)设 A=(1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，若(1，0， 1，0)是方程组 Ax=0 的个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为( )（A） 1,3（B） 1,2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 42 (2010 年试题，8) 设 A 为四阶实对称矩阵，且 A2+A=0，若 A 的秩为 3,则 A 相似于( )（A）（B）（C）（D）3 (2008 年试题，一) 设 则在实数域
2、上与 A 合同的矩阵为( )（A）（B）（C）（D）4 (2007 年试题，一(10)设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似二、填空题5 (1997 年试题，一) 已知向量组 1=(1，2，一 1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，一4，5，一 2)的秩为 2，则 t=_6 (2001 年试题，一) 设方程 有无穷多个解，则 a=_7 (2002 年试题，一) 矩阵 的非零特征值是_.8 (2008 年试题，二(14)设三阶矩阵 A 的特征值是 ，2，3 若行列式2A =一48，则 =_.9 (2009 年试题，
3、二(14)设 ， 为三维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于则 T=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1999 年试题，十二) 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1)T， 3=(3，2，一 1，p+2) T， 4=(一 2，一 6，10，p) T (1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用 1， 2， 3,4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组11 (2003 年试题，十二) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2b+3c
4、=0l 2：bx+2cy+3a=0l 3：cx+2xy+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=012 (2004 年试题，三(8)设有齐次线性方程组试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解13 (2012 年试题，三) 设 (1)计算行列式A ；(2)当实数a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解14 (2010 年试题，22) 设 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解，(I)求 ，a；( )求方程组 Ax=b 的通解15 (2009 年试题，三(22) 设 (I)求满足A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；() 对(I)中的任意
5、向量 2， 3，证明1， 2， 3 线性无关16 (2008 年试题，22) 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中(I)证明行列式A=(n+1)a n；()a 为何值时，方程组有唯一解?求 x1；()a 为何值时，方程组有无穷多解? 求通解17 (2006 年试题，22) 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA=2；()求 a，b 的值及方程组的通解18 (2000 年试题，十二) 设 A=T，= T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y19 (1997 年试题，四) 取何值时，方程组 无解?有唯一解或有无穷多解?并在有
6、无穷多解时写出方程组的通解20 (2002 年试题，十二) 已知四阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解21 (2001 年试题，十二) 已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t4， 4=4+t1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 23， 4，卢 4 也是Ax=0 的一个基础解系22 (2007 年试题，23) 设线性方程组 （1）与方程 x1+x2+x3=a-1(2)有公共解，
7、求 a 的值及所有公共解23 (2005 年试题，23) 已知三阶矩阵 A 的第一行是 (a，b，C)，a，b，C 不全为零，矩阵 B= (k 为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解24 若 rA=1，则 Ax=0 的同解方程组是 ax1+bx2+cx3=0 且满足 ，若c0，方程组的通解是 t1(c，0，一 0)T+t2(0，c，一 b)T，其中 t1，t 2 为任意常数若c=0，方程组的通解是 t1(1，2，0) T+t2(0，0，1) T，其中 t1，t 2 为任意常数25 (2010 年试题，23) 设 1707 正交矩阵 Q 使 QTTAQ 为对角阵，若Q 的第一列为
8、 求 a,Q.26 (2004 年试题，三(9)设矩阵 的特征方程有一个二重根，求口的值，并讨论 A 是否可相似对角化27 (2003 年试题，十一) 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A27 (2011 年试题，23) 设 A 为三阶实矩阵，A 的秩为 2，且28 求 A 的特征值与特征向量；29 求矩阵 A30 (2007 年试题，24) 设三阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，又1=(1，一 1， 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A2 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵 (I)验证 1 是矩阵
9、 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B31 (2006 年试题，23) 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解(I)求 A 的特征值与特征向量；() 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A32 (2012 年试题，三) 已知 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为2，(1)求实数 的值；(2)求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形33 (2011 年试题，二) 二次型(x 1，x 2，x 3)=x12+3x23+x32+2x1
10、x3+2x1x3+2x2x3，则厂的正惯性指数为_34 (2009 年试题，23) 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x3 一 2x2x3 (I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Ax=0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r(A)=3，于是r(A*)=1，故 A*X=0 基础解系含 3 个线
11、性无关的解向量，又 A*A=AE=0 且 r(A)=3，所以 A 的列向量组中含 A*x=0 的基础解系，因为(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的基础解系，所以 1+3=0，故 1， 2， 3 或 2， 3， 4 线性无关，显然2， 3， 4 为 A*x=0 的一个基础解系，选 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 为矩阵 A 的特征值，因 A2+A=0，故 2+=0，进而 =一 1 或0，即矩阵 A 的特征值为一 1 或 0又因为 A 是四阶对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 A-A，r(A)=r(A)=3从而 A=故 A 相似于,即正确答案为 D【知识
12、模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 因为，则矩阵 A 的特征值为一 1 和 3同理，计算四个选项的特征值发现，D 选项矩阵的特征值和矩阵 A 的特征值一致，即它们有相同的秩和正惯性指数，且它们都是对称矩阵，所以它们合同故应选 D则 A=C+3E，由E一 C=0 得 C 的特征值为 1=一 3， 2=3=0，则 A 的特征值为 0，3，3矩阵 B的特征值为 1，1，0，显然 A 与 B 不相似矩阵 A 与矩阵 B 的正、负惯性系数均为 2，0，即 A 与 B 合同故应选 B评注相似矩阵具有如下性质若 AB，则EA=E 一 B，即矩阵 A，B 具有相同的特征值； 即矩阵
13、 A，B 具有相同的迹；r(A)=r(B)，即矩阵 A，B 具有相同的秩； A=B两矩阵合同的充分必要条件：实对称矩阵二次型X TAx 与 XTBX 有相同的正负惯性指数【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 令则 A=C+3E 由E-C=0 得 C 的特征值为 1=一 3， 2=3=0，则 A 的特征值为 0，3，3B 的特征值为 1，1，0 显然 A 与 B 不相似.A 与 B 的正、负惯性指数均为 2，0，即 A 与 B 合同故应选 B【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 由题设可知，矩阵 的秩也为 2，从而的秩为 2，因此 3 一 t=0，即 t=3或者，由矩阵秩的定义知矩阵的任一 3 阶子式为 0，因而 ，同样可解出t=3【试题解析】 对于 n 阶方阵 A 来说，若 r(A)0，不符合题意；若 2=a 一 2=0，即 a=2，则 1=20， 3=30，符合题意；若 3=a+1=0，即 a=一 1，则 1=一 12=一 3【知识模块】 二次型
