1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1=(1， 1，一 1)T， 2=(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是 ( )（A）(1 ，一 1，3) T。（B） (2，1，一 3)T。（C） (2，2，一 5)T。（D）(2 ，一 2，6) T。2 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 则自由变量可取为x 4，x 5； x3，x 5；x 1，x 5； x 2， x3。那么正确的共有( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。3
2、 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1,2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是( )（A） 1+2。（B） k1。（C） k(1+2)。（D）k( 1 一 2)。4 设 1,2,3,4 是四维非零列向量组， A=(1,2,3,4)，A *为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )（A） 1,2,3。（B） 1+2， 2+3， 1+3。（C） 2,3,4。（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。5 设 1， 2,3， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0
3、的基础解系还可以是( )（A） 1 一 2， 2+3， 3 一 4， 4+1。（B） 1+2， 2+3+4， 1 一 2+3。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。（D） 1+2， 2 一 3， 3+4， 4+1。6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在。（B）仅含一个非零解向量。（C）含有两个线性无关的解向量。（D）含有三个线性无关的解向量。7 设 A 是 mn 矩阵，AT 是 A 的转置，若 1， 2, t 为方程组 ATx=0 的基础解系，则
4、 r(A)=( )（A）t。（B） nt。（C） mt。（D）nm。8 已知四阶方阵 A=(1,2,3,4)， 1,2,3,4 均为四维列向量，冥中 1,2 线性无关，若 1+22 一 3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么Ax= 的通解为( )（A）（B）（C）（D）9 设 1,2,3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )（A）（B）（C）（D）10 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b
5、的两个不同的解， 1,2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（A）k 11+k2(1+2)+（B） k11+k2(1 一 2)+（C） k11+k2(1+2)+（D）k 11+k2(1 一 2)+二、填空题11 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。12 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=(2，0，0 ，0) T，3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 Ax=b 的通解是_。13 设(1 ，1，1) T，(2，2
6、，3) T 均为线性方程组 的解向量，则该线性方程组的通解为_。14 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2,1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中15 当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；16 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。16 设17 计算行列式A；18 当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。19 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C。20 设线性方程组
7、为 问 k1 与 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解 ?有无穷多解时，求其通解。21 已知线性方程组 问：a、b 为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。22 设 1， k 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k1+k2+ks=1。证明 x=k11+k22+kss 也是方程组的解。23 设 1,2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t1+t2， 2=t2+t23， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么条件时， 12， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。考研数学二（线性方程组）模
8、拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解。由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1， 2 线性表示，也即方程组 x11+x22= 必有解，而可见第二个方程组无解，即(2， 2，一 5)T 不能由 1， 2 线性表示。所以应选 B。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 17,一 r(A)=53=2，故应当有两个自由变
9、量。由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与r(A)不相等，故 x4，x 5 不是自由变量。同理， x3，x 5 不能是自由变量。而 x1，x 5与 x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0。所以应选 B。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是秩为 n 一 1 的忍阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k(1 一 2)。选 D。此
10、题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1=0，则选项 B 不正确；若 1=一 20，则1+2=0，此时选项 C 不正确。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩，r(A)=41=3，则其伴随矩阵 A*的秩 r(A*)=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。又 A*(1,2,3,4)=A*A= AE=D，所以向量 1,2,3,4都是方程组 A*x=0 的解。将(1，0，2，0) T。代入方程组 AX=0 可得 1+23=0，这说明 1 可由向量组 2,
11、3,4 线性表出，而向量组 1,2,3,4 的秩等于 3，所以向量组 2,3,4 必线性无关。所以选 c。事实上，由 1+23=0 可知向量组 1,2,3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B 中的向量都能被 1,2,3 线性表出，说明向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件知 Ax=0 的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项 B 中仅三个解向量，个数不合要求，故排除 B 项。选项 A 和 C 中，都有四个解向量，但因
12、为( 1 2)+(2+3)一( 2 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0 说明选项 A、C 中的解向量组均线性相关，因而排除 A 项和 C 项。用排除法可知选 D。或者直接地，由( 1+2， 2 一 3， 3+4， 4+1)=(1， 2,3， 4) 因为 知 1+2， 2 一2， 3+4， 4+1 线性无关，又因 1+2， 2 一 3， 3+4， 4+1 均是 Ax=0 的解，且解向量个数为 4，所以选 D。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 可知，A *中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少
13、有一个 n1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n 一 1。又因Ac=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r(A)n ，从而 r(A)=n 一1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 r(A T)+t 等于 AT 的列数，即 r(AT)+t=m，所以 r(AT)=mt=r(A)。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+22 一 3= 知 即，1=(1，2，一 1，0) T 是 Ax= 的解。同理 2=(1，1，1，1) T， 3=(2，3，1，2) T 均是 Ax=
14、 的解，则 1=1 一 2=(0，1，一 2，一 1)T， 2=3 一 2=(1，2，0，1) T 是导出组 Ax=0 的解，并且它们线性无关。于是 Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，则 n 一 r(A)2，即 r(A)2，又因为 1,2 线性无关，故 r(A)=r(1,2,3,4)2。所以必有 r(A)=2，从而 n 一 r(A)=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系。所以应选B。【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知 21 一( 2+3)=(2，3，4，5) T是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。【知识模块】 线性方程
15、组10 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。对于选项 D，虽然 1 一 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。事实上，对于选项 B，由于 1， 1 一 2 与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故1， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确。【知识模块】 线性方程组二、填空题11 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，
16、5，8) T，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=O，且 r(A*)=1。再由A*A=AE=O 可知，A 的列向量为 A*x=0 的解，因此 A*x=0 的通解是A*x(1， 4，7) T+k2(2，5，8) T。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 ( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T，k 为任意常数【试题解析】 由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4 一 r(A)=1个解向量。又因为 ( 1+2+23)一(3 1+2)=2(3 一 1)=(0，一 4，一 6，一 8)T 是Ax=0 的解，所以其基础解系为(
17、0，2，3，4) T，由 A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，可知 (1+2+23)是方程组 Ax=b 的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T。【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k(1，1，2) T+(1，1，1) T，kR【试题解析】 该线性方程组的系数矩阵为 。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵 A 不满秩，也即 r(A)3，又因为 A 的一个二阶子式所以 r(A)2.故 r(A)=2.因此导出组 Ax=0 的基础解系中含有 1 个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3) T 一(1，1，1)
18、T=(1，1，2) T 是 Ax=0的解，即 Ax=0 的基础解系。故原方程组的通解为 k(1，1，2) T+(1，1，1)T，kR。【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 1+k1(2 一 1)+k2(2 一 1)，k 1， k2 为任意常数【试题解析】 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 一1， 3 一 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr(A)=2，故 2 一1， 3 一 1 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1(2 一 1)+k2(2 一 1)，k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组三、解答题
19、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A =D n=(n+1)an。当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为所以由克拉默法则得【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，0) T+k(1，0 ，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 对方程组系数矩阵的增广矩
20、阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a4=0 且一 a 一 a2=0，即 a=一 1。当 a=一 1 时，可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次方程的特解为(0，一 1，0，0) T，故其通解为(0，一 1，0，0)T+k(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 令 则 由 ACCA=B 得 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当 a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为 即(其中 c
21、1，c 2 为任意常数) 。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 当 k21 时，r(A)=3r(B)=4，方程组无解； 当 k2=1 时，r(A)=r(B)=34，方程组有无穷多解，且综上，当 k12 时，方程组有唯一解；当 k1=2 且 k21 时，方程组无解；当 k1=2 且k2=1 时，方程组有无穷多解，且通解为式(*) 。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有Ai=b(i=1，s)。 因为 k1+k2+ks=1，所以 Ax=A(k 11+k22+kss) =k1A1
22、+k2A2+ksAs， =b(k 1+ks)=b， 由此可见 x 也是方程组的解。【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 i(i=1，2，s)是 1,2， ， s 的线性组合，且1,2， ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i(i=1， 2， ，s)均为 Ax=0 的解。从 1,2， s 是 As=0 的基础解系知 s=nr(A)。以下分析 12， s 线性无关的条件：设 k12+k22+kss=0，即 (t1k1+t2k2)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)2+(t2kt-1+t1ks)s=0，由于 1,2， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 当 t1s+(一 1)s+1t2s0 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0。因此当 s 为偶数且 t1t2，或当 s 为奇数且 t1一 t2 时，12， s 线性无关。【知识模块】 线性方程组
