1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)=n 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（A）k 1。（B） k2。（C） k(1+2)。（D）k( 1 一 2)。2 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()ATAx=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解。（B） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解。（C） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解。（D）() 的解不
2、是 ()的解，()的解也不是()的解。3 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有四个命题：() 的解必是() 的解； ()的解必是( )的解； ()的解不是()的解； () 的解不是() 的解。 以上命题中正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。4 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)；若 r(A)=
3、r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。5 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A *是 A 的伴随矩阵，则( )（A）A *x=0 的解均是 Ax=0 的解。（B） Ax=0 的解均是 A*x=0 的解。（C） Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解。（D）Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解。二、填空题6 若 则 X=_。7 已知齐次线性方程组有通解 k1(2，一1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T，则方程组的通解是_。8 已知方程组(1) 与方程(2)x 1+5x
4、3=0，则(1)与(2)的公共解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 已知方程组 的一个基础解系为(b11，b 12，b 1,2n)T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1,bn2，b n,2n)T。试写出线性方程组 的通解，并说明理由。10 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵(k 为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。11 设矩阵 A=(1,2,3,4)，其中 2,3,4 线性无关， 1=22 一 3，向量b=1+2+3+4，求方程组 Ax=b 的通解。12 已知 45 矩阵 A=(1,2,3,4,5
5、)，其中 1,2,3,4,5 均为四维列向量， 1,2,4 线性无关，又设 3=1 一 4， 5=1+2+4，=2 1+2 一 3+4+5，求 Ax= 的通解。12 设四元齐次线性方程组 求：13 方程组(1)与(2) 的基础解系；14 (1)与(2)的公共解。15 设方程组 与方程(2)x 1+2x2+x3=a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。15 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一 1，2，4，a+8) T。16 求方程组(1)的一个基础解系；17 当 a 为何值时，方程组(1) 与(2)有
6、非零公共解?并求出所有非零公共解。17 设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1=(1，1，1，0，2)T， 2=(1，1，0，1，1) T， 3=(1，0，1，1，2) T。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1=(1，1，一 1，一 1，1) T， 2=(1，一 1，1，一 1，2) T， 3=(1，一 1，一1，1，1) T。求18 线性方程组(3) 的通解；19 矩阵 C=(AT，B T)的秩。20 已知齐次线性方程组 同解，求 a，b， c 的值。21 已知齐次线性方程组 的所有解都是方程b1x1+b2x2+bnxn=0 的解。试证明线性方程组 有解。考研数学二（线性
7、方程组）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 r(A)=n 一 1，所以 Ax=0 的基础解系只含有一个解向量， 1 一2 为 Ax=0 的非零解，所以 Ax=0 的通解为 k(1 一 2)。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是(1)的解，有 A=0，可得 ATA=AT(Aa)=AT0=0，即 是(2)的解。故(1)的解必是 (2)的解。反之，若 是(2)的解，有 ATA=0，用 T 左乘可得0=T0=T(ATA)=(TAT)(A)=(A)T(A)，若设 Aa=(b1，b 2
8、，b m)，那么(A)T(A)=b1+b22+bn2=0,bi=0(i=1，2，n)，即 A=0，说明 是(1)的解。因此(2)的解也必是(1) 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An+1=A(An)=A0=0，即若 是(1) 的解，则 必是(2)的解，可见命题正确。如果 An+1=0，而 An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面有：若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式的两边得 kAn=0。由 An0 可知必有 k=0。类似地可得 k1=k2=kn=0。因此，A ，A 2，A n 线性无关。但另一方
9、面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 An+1=0 时，必有 An=0，即(2)的解必是(1) 的解。因此命题正确。所以应选 A。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明，正确：对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数(即 r(B)，故 r(
10、A)r(B)。对于 ，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其相同，即 nr(A)=nr(B)，从而 r(A)=r(B)。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 n 一 r(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A*=O，任意 n 维向量均是 A*x=0 的解，故正确选项是 B。【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 其中 x2，y 2 是任意常数【试题解析】 矩阵 可得线性方程组 故 x1=2 一 x2，y 1=3 一 y2，所以 其中 x2，y 2 是任意常数。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 k(13，一 3，1，
11、5) T，k 为任意常数【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1) 的通解 代入(2)的第三个方程，得(2k 1+3k2)一 2(一 k1+2k2)+0k2+k1=0，即 5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为 5k2(2，一 1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T=k2(13，一3，1，5) T，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 k(一 5，3，1) T，k 为任意常数【试题解析】 将方程组(1)和方程(2) 联立，得到方程组的解就是两者的公共解。对(3)
12、的系数矩阵作初等行变换可得 由于 A 的秩为 2，所以自由变量有一个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=一 5，所以(3)的基础解系为=(一 5，3， 1)T。因此(1)和(2)的公共解为 k(一 5，3，1) T，k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由题意可知，线性方程组(2)的通解为 y=c1(a1，a 12，a 2,2n)T+c2(a21，a 22，a 2,2n)T+cn(an1，a n2，a n,2n)T，其中 c1，c 2，c n 是任意的常数。这是因为：设方程组(1)和(2) 的系数矩阵分别为
13、A，B，则根据题意可知ABT=O，因此 BA T=(ABT)T=O，可见 A 的 n 个行向量的转置为(2)的 n 个解向量。由于 B 的秩为 n，所以(2)的解空间的维数为 2nr(B)=2n 一 n=n，又因为 A 的秩等于 2n 与(1)的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成 (2)的一个基础解系。【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 由 AB=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。若k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，显然 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量
14、的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： x=k1(1，2，3) T+k2(3，6，k) T，k 1，k 2 为任意常数。若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为：x=k1(1，2，3) T，k 1 为任意常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax1+ax2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 已知 2， 3， 4 线性无关，则 r(A)3.又由 a1，a 2，a 3 线性相关可知 a1
15、，a 2，a 3，a 4 线性相关， 故 r(A)3。 综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 所以 x=(1，一 2，1，0) T 是方程组 Ax=0 的基础解系。 又由 b=a1+a2+a3+a4 可知 x=(1，1，1，1) T 是方程组 Ax=b 的一个特解。 于是原方程组的通解为 x=c(1，1，1，1) T+c(1，一 2，1，0) T，cR。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 由于 1， 2， 4 线性无关， 3=1 一 4， 5=a1+a2+a4，所以 r(A)=3。由已知条件 =21+2 一 3+4+5，从而线性方程组 Ax=
16、有特解 =(2，1，一1，1，1) T。由 3=1 一 4， 5=1+2+4，可知导出组 Ax=0 的两个线性无关的解为1=(1，0，一 1，一 1，0) T， 2=(1，1，0，1，一 1)T。由 r(A)=3，可知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由两个线性无关的解构成，故 1， 2 为 Ax=0 的基础解系，方程组 Ax= 的通解为 x=+k11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 求方程组(1)的基础解系：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换求方程(2)的基础解系：对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取其基
17、础解系可取为【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 为(1)与(2)的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式：将(1)的通解 x=(c1，一 c1，c 2，一 c1)T 代入(2)得 c2=一 2c1，这表明(1) 的解中所有形如(c 1，一 c1，一 2c1，一 c1)T 的解也是 (2)的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与 (2)的公共解为 x=k(一 1，1，2，1) T，kR。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组 (1)与(2)的公共解。对方程组(3)
18、 的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a 一 1)(a 一 2)=0。当 a=1 时, 此时方程组(3)的通解为 k(一1，0，1) T(k 为任意常数)，此即为方程组(1)与(2) 的公共解。当 a=2 时,此时方程组(3)有唯一解(0，1，一 1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则 nr(A)=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，一 3，1，0) T， 2=(一3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解
19、系。【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数。由 k11+k22l11l22=0，得齐次方程组 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当 a一 1 时，方程组(3)的系数矩阵变为 。可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是 =0，不合题意。当 a=一 1 时，方程组(3) 系数矩阵变为，解得 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2。于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)2=l11+l22。所以当 a=一 1 时，方程组(1)
20、 与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，一 1，1，1) T+l2(一 1，2，4，7) T， 1，l 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 线性方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k11+k22+k23；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l11+l22+l33；线性方程组(3) 的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k 11+k22+k33=l11+l22+l33，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组(4)的一个基础解系是(一 2，0，2，一 1，0，1) T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础解系=一 2
21、1+22=一 1+3=(0，一 2，0，2，0) T。所以方程组(3)的通解为 x=k(0，一1，0，1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 线性方程组(3) 与线性方程组 xT(AT，B T)=0 等价，而方程组(3)的基础解系只含一个向量，故矩阵 C=(AT，B T)的秩 r(C)=51=4。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为方程组(2)中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组(2) 必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1) 的系数行列式为 0，即所以 a=2。对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(1)的通解是 k(
22、一 1，一 1，1)T。因为(一 1，一 1，1) T 是方程组 (2)的解，所以 故b=1，c=2 或 b=0，c=1。当 b=1，c=2 时，方程组(2)为 其通解是 k(一 1，一 1，1) T，所以方程组(1)与(2)同解。当 b=0，c=1 时，方程组(2)为由于方程组(2)的系数矩阵的秩为 1，而方程组(1)的系数矩阵的秩为2，故方程组(1)与(2) 不同解，则 b=0，c=1 应舍去。综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组(1)与(2)同解。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 由已知齐次线性方程组的所有解都是方程 b1x1+b1x2+bnxn=0 (2)的解，可知方程组(1) 与方程组由 r(A)=r(AT)，r(B)=r(B T)，所以 r(AT)=r(BT)，即方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组 有解。【知识模块】 线性方程组
