1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX0 只有零解，则方程组 AX b 有唯一解（B）若方程组 AX0 有非零解，则方程组 AXb 有无穷多个解（C）若方程组 AXb 无解，则方程组 AX0 一定有非零解（D）若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AXb 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解（C）若 r(A)n，则方
2、程组 AXb 一定有唯一解（D）若 r(A)m，则方程组 AXb 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A( 1， 2， 3， 4)，AX0 的通解为 Xk(0 ，1，3，0) T，则 A*X0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX0 的基础解系的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 2
3、5 35 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AXb 的两个不同解，则方程组 AXb 的通解为( )（A）k 11k 2(1 2)（B） k11k 2(1 2)（C） k11k 2(1 2)（D）k 11k 2(1 2)二、填空题6 设 A (a0)，且 AX0 有非零解，则 A*X0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)n1，则方程组 AX0 的通解为_8 设 A 为，2 阶矩阵，且A0，A ki0，则 AX0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AXb 的一组解，则 k11k ss 为方程组A
4、Xb 的解的充分必要条件是_10 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组的解，则 k_，B_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3，且1 2 ， 2 3 ，则方程组 AXb 的通解为_12 设方程组 无解，则 a_13 设方程组 有解，则 a1，a 2， a3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 n 取何值时，线性方程组 有无数个解?求其通解16 设 为的三个解，求其通解17 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3 为四维列
5、向量组， 1， 2 线性无关，3 312 2，A( 1， 2， 3)，求 AX0 的一个基础解系19 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)1，设(1，2，1， 2)T，(1，0，5，2)T， (1，2， 0，1) T，(2，4，3，a1) T 皆为 AX0 的解 (1)求常数 a； (2)求方程组 AX0 的通解20 设 A( 1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且2 31 3 5， 42 1 36 5，求方程组 AX0 的通解21 四元非齐次线性方程组 AXb 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)3，设1 2 2 3 ，求方程组 Ax 一 6 的通解22 An
6、n( 1， 2， n)，B nn( 1 2， 2 3， n 1)，当 r(A)n 时，方程组 BX0 是否有非零解?23 设 (1)a，b为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合? (2)a，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?24 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)的前 n1 个列向量线性相关，后 n1 个列向量线性无关，且 12 2(n1) n-10，b 1 2 n (1)证明方程组AXb 有无穷多个解； (2)求方程组 AXb 的通解25 设 A ，且 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX0 的通解26 就 a，b 的不同取
7、值，讨论方程组 解的情况27 设 (1)若 aiaj(ij)，求ATXb 的解； (2)若 a1a 3a0 ，a 2a 4a，求 ATXb 的通解28 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY0 只有零解，其中 B(， 1， s)29 当 a，b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解? 在有无数个解时求其通解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 只有零解，而 无解，故 A项不对； 方程组 有非零解，而 无解，故 B
8、 项不对； 方程组 无解，但 0 只有零解，故 C 项不对； 若 AXb 有无穷多个解，则 r(A)r( )n，从而 r(A)n，故方程组AX0 一定有非零解，选 D 【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r( )m，于是 r(A)r( )，即方程组 AXb 一定有解，选 D【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)3，于是 r(A*)1 因为 A*AAEO ，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X0 的一组解， 又因为 23 30，所以 2，
9、3 线性相关，从而 1， 2， 3 线性无关，即为 A*X0 的一个基础解系，应选 C【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX0 的解向量组，容易验证四组中只有选项 C 组线性无关，所以选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 选 D，因为 1， 1 2 为方程组 AX0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AXb 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 X (C1，C 1 为任意常数 )【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以A
10、0， 而A (a4)(a6) 且 a0，所以 a4 因为 r(A)2，所以r(A*)1 因为 A*A AEO ，所以 A 的列向量组为 A*X0 的解， 故A*X0 的通解为 X (C1，C 1 为任意常数)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 (其中 k 为任意常数)【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 0， 又因为 r(A)n 1， 所以 为方程组 AX0 的基础解系，从而通解为 (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为A0，
11、所以 r(A)n ，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)n1， AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*AEO，所以 A*的列向量为方程组 AX0 的解向量，故 AXO 的通解为 C(Ak1，A k2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1k 2k s1【试题解析】 k 1k 2k s1显然 k11k 22k ss 为方程组 AXb 的解的充分必要条件是 A(k12k 22k ss)b，因为 A1A 2A sb ，所以(k 1k 2k s)bb ，注意到 b0，所以 k1k 2k s1，即k11k 22k ss 为
12、方程组 AXb 的解的充分必要条件是是k1k 2k s1【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1；0【试题解析】 令 A ，因为 B 的列向量为方程组的解且 B0，所以 ABO 且方程组有非零解，故A0，解得 k1因为 ABO ，所以 r(A)r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)23，故B0【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 【试题解析】 因为 r(A) 3，所以方程组 AXb 的通解为 k， 其中 3 1( 2 3)( 1 2) ， 于是方程组的通解为【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A)r( )3，于是 r(A)3，即
13、A0由A32aa 20，得 a1 或 a3 当 a 一 3 时，因为A r(A)r( )23，所以方程组有无穷多个解； 当 a1 时， 因为 r(A)r( )，所以方程组无解，于是 a1【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)r( )，于是 a1a 2a 3a 40【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 原方程组的同解方程组为故原方程组的通解为【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 若a1，则 原方程组的通解为Xk( 1，0，1) T(2，1，0)(志为任意常数
14、)； 若 a1，则当a2 时，方程组无解； 当 a2 时，原方程组的通解为Xk(1 ，1，1) T(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 A ，因为 A 有两行不成比例，所以，r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4r(A)13，即 r(A)2，则 r(A)2，于是原方程组的通解为 k 1(2 1)k 2(3 1) 1(k1，k 2 看为任意常数)【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 124 为一个极大线性无关组， 33 1 2， 52 1 2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 由 r(A) 2 可知 AX0 的基础解系含有一个线性
15、无关的解向量，而 31 22 30， 因此 为 AX0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)因为 r(A)1，所以方程组 AX0 的基础解系含有三个线性无关的解向量， 故(1，2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(1，2，0，1)T， (2，4， 3，a1) T 线性相关，即 解得 a6 (2)因为(1，2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组AX0 的通解为 Xk 1(1，2，1，2) Tk 2(1，0，5，2) Tk 3(1，2，0，1)T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性方程组20 【正确
16、答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)3，齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 31 3 5， 42 1 36 5 得方程组 AX0 的两个解为 1(3，1，1，0， 1)T， 2(2，0，1，1，6) T 故 AX0 的通解为k1(3， 1，1，0，1) Tk 2(2，0，1，1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为 r(A)3，所以方程组 AXb 的通解形式为 k，其中 为 AX0 的一个基础解系， 为方程组 AXb 的特解，根据方程组解的结构的性质，
17、 ( 2 3)( 1 2) 3 1 所以方程组 Axb 的通解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 B( 1 2， 2 3， n 1)( 1， 2， n)由 r(A)n 可知A0， 而BAA1(1) n+1 当 n 为奇数时，B0 ，方程组 BX0 只有零解； 当 n 为偶数时，B0，方程组 BX0 有非零解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 令 11 22 33 44 (*)(1)当 a1，b0 时，因为 r(A)2r( )3，所以方程组 (*)无解，即 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3，
18、4 的线性组合【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 (1)因为 r(A)n1，又 b 1 2 n，所以 r( )n1， 即，r(A)r( )n1n，所以方程组 AXb 有无穷多个解 (2)因为1 22 (n1) n-10，所以 12 2(n1) n-10 n0，即齐次线性方程组 AX0 有基础解系 (1 ，2，n1， 0)T， 又因为b 1 2 n，所以方程组 AXb 有特解，(1，1，1) T， 故方程组AXb 的通解为 k(1，2，n1，0) T(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 因为 r(A)2，所以t1，方程组的通解为 X (k1，k
19、2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 D a(ab) (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 1 1 ， 2 ， 30； (2)当 a0 时，因为 r(A)r( )，所以方程组无解； (3)当 ab0 时，方程组有无穷多个解，通解为 X (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 (1)D AT(a 4a 1)(a4a 2)(a4a 3)(a3a 1)(a3a 2)(a2a 1)， 若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1D 2D 30，D 4D ，所以方程 组的唯一解为 X(0，0，0，1) T； (2)当 a1A 3A0，a 2a 4a 时，方程组通解为 Xk 1(a 2，0，1，0) Tk 2(0，a 2，0，1) T(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 AB0，所以， 1， s 线性无关，故方程组 BY0 只有零解【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 (1)当a一 1 且 a6 时，方程组有唯一解； (2) 当 a6 时，因为 r(A)r(A)34，所以方程组有无数个解； (3)当 a1 时，当 a1，b36 时，方程组无解； 当a1，b 36 时，方程组有无数个解，【知识模块】 线性方程组
