1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( ) （A）r(A)s（B） r(A) m（C） r(B)s（D）r(B) n2 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AXb 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AXb 的通解为 k11k 22（B） 1 2 为 AXb 的解（C）方程组 AX0 的通解为 k(1 2)（D）AXb 的通解为 k11k 22 (1 2)3 设有方程组 AX0
2、与 BX0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX 0 的解都是 BX0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解(3)若 AX 0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B)(4)若 r(A) r(B)，则 AX0 与 BX0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)4 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方
3、程组 ABX0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（A）r(A)m（B） r(A) n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题6 设 A ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 ABO ，则a_， b_ 7 设 ，为非零向量，A ， 为方程组 AX0 的解，则a_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设向量组 1， 2， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2 正交证明： 1， 2 线性相关9 设
4、齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解10 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B且 ABO，求方程组 AX0 的通解11 a，b 取何值时，方程组 有解?12 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)r(B) n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解13 设( ) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 (1)求方程组()的基础解系； (2)求方程组( )BX0 的基础解系； (3)()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解14 (1)求
5、()，()的基础解系；(2)求() ，() 的公共解15 问 a，b，c取何值时，() ，()为同解方程组 ?16 证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()与()是同解方程组17 设( ) 的一个基础解系为写出() 的通解并说明理由18 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0与 ABX0 是同解方程组19 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CADB)n (1)证明：r n； (2)设1， 2， r，与 1， 2， s 分别为方程组 AX0 与 BX0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关20 设
6、 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b021 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)22 证明：r(A)r(A TA)23 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足 r(A)r( )rn证明：方程组 AXb 的线性无关的解向量的个数最多是 nr1 个24 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中 a，b 为常数25 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AXB 有解?有解时求出全部解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
7、正确答案】 A【试题解析】 设 r(A) s，显然方程组 BX0 的解一定为方程组 ABX0 的解，反之，若 ABX0，因为 r(A)s，所以方程组 AY0 只有零解，故 BX0，即方程组 BX0 与方程组 ABX0 同解，选 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AXb 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)n1， 2 1 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系，选 C【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX0 的解都是方程组 BX0 的解，则 nr(A)nr(B)，从而 r(A)r(B)，(1)
8、为正确的命题；显然 (2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(aB)m，于是方程组 ABX0 有非零解，选 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AXb 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AXb 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)n，故选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正
9、确答案】 2；1【试题解析】 因为 ABO ，所以 r(A)r(B)3，又BO，于是 r(B)1， 故 r(A)2，从而 a2，b 1【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 3；k(3，1，2) T【试题解析】 AX0 有非零解，所以A0，解得 a3，于是方程组 AX0 的通解为 k(3，1，2) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 令 A ，因为 1， 2， n-1 与 1， 2 正交，所以A10，A 20，即 1， 2 为方程组 AX0 的两个非零解，因为 r(A)n1，所以方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以
10、 1， 2 线性相关【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 D a(n1)b(ab) n-1 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 ab 时，方程组的同解方程组为1 2 n0，其通解为 Xk 1(1，1，0，0) Tk 2(1，0，1，0)T k n-1(1，0，0，1) T(k1，k 2，k n-1 为任意常数)； (3)令 A， 当 a(1n)b 时，r(A) n1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 由 ABO 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1 (1)
11、当 k9 时，因为 r(B)一2，所以 r(A)一 1，方程组 AX 一 0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)； (2)当 k9 时， r(B)1， 1r(A)2， 当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为C (C 为任意常数)； 当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， 由得通解为 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (1)a1 时， r(A)r( )4，唯一解为(2)a1，b1 时，r(A)r( )，因此方程组无解； (3)a 1，b1 时，通解为
12、Xk 1(1，2，1，0)T k2(1，2 ，0，1) T(1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 方程组 0 的解即为方程组 AX0 与 BX0的公共解 因为 r(A)r(B) n，所以方程组 0 有非零解，故方程组AX0 与 BX0 有公共的非零解【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 (1)方程组() 的基础解系为 (2)因为r(B)2，所以方程组 ()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 1 ， 2 3 21 为方程组()的基础解系； (3)方程组()的通解为 k11k 22 ， 方程组()的通解为取 k2k，则方程组()与方
13、程组()的公共解为 k(1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 (1) ()的基础解系为()的基础解系为(2)() ，()公共解即为 0 的解，()，()的公共解为 (k 为任意常数) 【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 ()的通解为(k 为任意常数)， 把() 的通解代入()，得【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 方程组() 可写为 AXb，方程组() 、()可分别写为 ATY0 及 0 若方程组()有解，则 r(A)r(A b)，从而 r(AT) ，又因为()的解一定为()的解，所以 ()与()同解； 反之，若()与()同解，
14、则 r(AT) ，从而 r(A)r(A b)，故方程组()有解【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 ， 则()可写为 AX0， 则()可写为 BY0，因为 1， 2， n 为()的基础解系，因此 r(A)n， 1， 2， n 线性无关，A 1A 2A n0 A(1， 2， n) ABTO BATO 1T， 2T， nT 为 BY0 的一组解，而 r(B)n， 1T， 2T， nT 线性无关 因此 1T， 2T， nT 为 BY0 的一个基础解系，通解为 k11Tk 21Tk nnT(k1，k 2kn 为任意常数)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 首先，方程组 BX0 的解一定是
15、方程组 ABX0 的解 令 r(B)r 且 1， 2， n-1 是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即 B00，显然 1， 2， n-r， 0 线性无关，若1， 2， n-r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n-r，k 0，使得 k11k 22k n-rn-rk 000， 若 k00，则 k11k 22k n-rn-r0，因为 1， 2， n-r 线性无关， 所以 k1k 2k n-r0，从而 1， 2， n-r， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， n-r，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有
16、 B0 0，矛盾，所以 1， 2， n-r， 0 线性无关，且为方程组 ABX0 的解，从而 nr(AB)nr1，r(AB)r1，这与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组 BX0 与 ABX0 同解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)因为 nr(CADB) n，所以n； (2)因为 n，所以方程组 0 只有零解，从而方程组AX0 与 BX0 没有非零的公共解，故 1， 2， r，与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A0， 于是 A*bA *AXAX0 反之，设 A*b0，因为 b0，所
17、以方程组 A*X0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)1，且 r(A)n1 因为 r(A*)1，所以方程组 A*X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而 A*A0，所以 A 的列向量组 1， 2， ， n 为方程组 A*X0 的一组解向量 由 A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X0 的基础解系 因为 A*b0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由1， 2， n 线性表示，故 r(A)r( )n1n，即方程组 AXb 有无穷多个解【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 令 r(B)r，BX0 的基础解系含有 nr 个线性
18、无关的解向量，因为 BX0 的解一定是 ABX0 的解，所以 ABX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B) ，r(AB)r(B)； 又因为，r(AB) Tr(AB)r(B TAT)r(AT)r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 只需证明 AX0 与 ATAX0 为同解方程组即可 若 AX00，则 ATAX00 反之，若 ATAX00，则 X0TTATAX00 (AX0)T(AX0)0 AX00， 所以 AX0 与 ATAX0 为同解方程组，从而 r(A
19、)r(A TA)【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 r(A)r n，所以齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有nr 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n-r 设 0 为方程组 AXb 的一个特解， 令 0 0， 1 1 0， 2 2 0， n-r n-r 0，显然0， 1， 2， n-r，为方程组 AXb 的一组解 令 k00k 11k n-rn-r0，即 (k 0k 1k n-r)0k 11k 22k n-rn-r0， 上式两边左乘 A 得(k0k 1k n-r)b0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0k 1k n-r0，于是 k11k 22k n-rn-r0， 注意到
20、1， 2， n-r 线性无关，所以k1k 2k n-r0， 故 0， 1， 2， n-r 线性无关，即方程组 AXb 存在由nr 1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1， 2， n-r+2 为方程组AXb 的一组线性无关解， 令 1 2 1， 2 3 1， n-r+1 n-r2 1，根据定义，易证 1， 2， n-r+1 线性无关，又 1， 2， n-r+1 为齐次线性方程组AX0 的一组解，即方程组 AX0 含有 nr1 个线性无关的解，矛盾，所以AXb 的任意 nr2 个解向量都是线性相关的，所以 AXb 的线性无关的解向量的个数最多为 nr1 个【知识模块】 线性方程组24 【正确答案
21、】 D (a1)(b2) (1) 当 a1，b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a1，b 2 时，当 b1 时，方程组无解 当 b1 时， 方程组的通解为 X (k 为任意常数) (3)当 a一 1，b2 时，方程组的通解为 X (k 为任意常数) 当 a1 时，显然 r(A)2r( )3，方程组无解【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 令 X(X 1，X 2，X 3)，B( 1， 2， 3)，方程组 AXB 等价于则 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A B)，由 r(A)r(A B)得 a1，b2，c2，此时AX1 1 的通解为AX2 2 的通解为AX3 3 的通解为则 X(X 1，X 2，X 3)，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组
