1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX0 只有零解，则方程组 AX b 有唯一解（B）若方程组 AX0 有非零解，则方程组 AXb 有无穷多个解（C）若方程组 AXb 无解，则方程组 AX0 一定有非零解（D）若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AXb 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解（C）若 r(A)n，则方
2、程组 AXb 一定有唯一解（D）若 r(A)m，则方程组 AXb 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A( 1， 2， 3， 4)，AX0 的通解为 Xk(0 ，1，3，0) T，则 A*X0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX0 的基础解系的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 2
3、5 35 设 1， 2 为开次线性万程组 AX0 的基石出解糸， 1， 2 为非开次线性方程组AXb 的两个不同解，则方程组 AXb 的通解为( )（A）k 11k 2(1 2)（B） k11k 2(1 2)（C） k11k 2(1 2)（D）k 11k 2(1 2)二、填空题6 设 A (a0) ，且 AX0 有非零解，则 A*X0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)n1，则方程组 AX0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵，且A0，A ki0，则 AX0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AXb 的一组解，则是 k11k ss 为方
4、程组 AXb 的解的充分必要条件是_10 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组的解则 k_，B_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3 且1 2 ， 2 3 ， 则方程组 AX b 的通解为_12 设方程组 无解，则 a_13 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解?求其通解16 设 为的三个解，求其通解17 求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3
5、为四维列向量组， 1， 2 线性无关，3 312 2，A( 1， 2， 3)，求 AX0 的一个基础解系19 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)1，设(1，2，1， 2)T，(1，0，5，2)T， (1，2， 0，1) T，(2，4，3，a1) T 皆为 AX0 的解 (1)求常数 a； (2)求方程组 AX0 的通解20 设 A( 1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且2 31 3 5， 42 1 36 5，求方程组 AX0 的通解21 四元非齐次线性方程组 AXb 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)3 设1 2 ， 2 3 求方程组 AXb 的通解22
6、Ann(1， 2， n)，B nn( 1 2， 2 3， ， n 1)，当 r(A)n 时，方程组 BX0 是否有非零解?23 设 (1)a，b为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合? (2)a，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?24 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)的前 n1 个列向量线性相关，后 n1 个列向量线性无关，且 12 2(n1) n-10，b 1 2 n (1)证明方程组AXb 有无穷多个解； (2)求方程组 AXb 的通解25 设 A ，且 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX0 的通解26 就 a，b 的
7、不同取值，讨论方程组解的情况27 设 (1)若 aiaj(ij)，求 ATXb 的解； (2)若 a1a 3a0 ，a 2a 4a，求 ATXb 的通解28 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX 一 0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY0 只有零解，其中B( ， 1， s)29 当 a，b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解? 在有无数个解时求其通解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 只有零解，而 无解，故 A不对； 方程组 有非零解，而 无
8、解，故 B 不对； 方程组 ，无解，但 ，只有零解，故 C 不对。 若AXb 有无穷多个解，则 r(A)r( )n，从而 r(A)n，故方程组 AX0 一定有非零解，选 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r( )m，于是 r(A)r( )，即方程组 AXb 一定有解，选 D【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以 r(A)3，于是 r(A*)1 因为 A*AAEO ，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X0 的一组解， 又因为 28 30，所以 2，
9、 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X0 的一个基础解系，应选 C【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 选 D，因为 1 2 为方程组 AX0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX6 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 X (C1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以A0， 而
10、A (a4)(a6) 且口0，所以 a4 因为 r(A)2，所以 r(A*)1 因为 A*AAEO ，所以 A 的列向量组为 A*X0 的解， 故A*X0 的通解为 X (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 k (其中 k 为任意常数)【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 A 0，又因为 r(A)n 1，所以 为方程组 AX0 的基础解系，从而通解为 k (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C(A k1Ak2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为A0，所以
11、r(A)n ，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)n1， AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*AEO，所以 A*的列向量为方程组 AX0 的解向量，故 AX0 的通解为 C(Ak1Ak2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1k 2k s1【试题解析】 显然 k11k 22k ss 为方程组 AXb 的解的充分必要条件是A(k11k 22k ss) b，因为 A1A 2A sb ，所以(k1k 2k s)bb ，注意到 b0，所以 k1k 2k s1，即k11k 22k ss 为方程组 AXb 的解的充分必要条
12、件是k1k 2k s1【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1；0【试题解析】 令 A ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以 ABO 且方程组有非零解，故A0，解得 k1因为 ABO ，所以 r(A)r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)2【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 X (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A) 3，所以方程组 AXb 的通解为 k， 其中 3 1( 2 3)一( 1 2) ， ，于是方程组的通解为 X (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A)r( )3，于是 r(A)
13、3，即A0由A32aa 20，得 a1 或 a3当 a3 时，因为r(A)r( )23，所以方程组有无穷多个解； 当 a1 时， 因为 r(A)r( )，所以方程组无解，于是 a1【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)r( )，于是 a1a 2a 3a 40【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 原方程组的同解方程组为 或者故原方程组的通解为(其中3， 4， 5 为任意常数)【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 若 a1，则 原方程组的通解为 Xk( 1，0
14、，1) T(2，1，0)(k 为任意常数)； 若 a1，则当a2 时，方程组无解； 当 a2 时， 原方程组的通解为 Xk(1 ，1，1) T(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 A ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4r(A)13，即 r(A)2，则 r(A)2，于是原方程组的通解为 k 1(2 1)k 2(3 1) 1(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 1， 2， 4 为一个极大线性无关组， 33 1 2， 52 1 2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 AX
15、0 11 22 330，由 33 12 2 可得( 13 3)1 (22 3)20，因为 1， 2 线性无关 因此 AX0 的一个基础解系为 【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)因为 r(A)1，所以方程组 AX0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(1，2，0，1)T， (2，4， 3，1) T 线性相关，即 解得 a6 (2)因为(1 ，2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组AX0 的通解为 Xk 1(1，2，1，2) Tk 2(1，0，5，2) Tk 3(1，2，0，1)T(
16、k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)3，齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 31 3 5， 42 1 36 5 得方程组 AX0 的两个解为 1(3，1，1，0， 1)T， 2(2，0，1，1，6) T 故 AX0 的通解为k1(3， 1，1，0，1) Tk 2(2，0，1，1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为 r(A)3，所以方程组 AXb 的通解形式为 k，其中 为 AX0
17、的一个基础解系， 为方程组 AXb 的特解，根据方程组解的结构的性质， ( 2 3)( 1 2) 3 1 ， ， 所以方程组 AXb 的通解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 B( 1 2， 2 3， n 1)( 1， 2， n)由 r(A)n 可知A0，而BAA1(1) n+1， 当 n 为奇数时，B0 ，方程组 BX0 只有零解； 当 n 为偶数时，B0，方程组 BX0 有非零解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 令 11 22 33 44 (*)(1)当 a1，b0 时，因为 r(A)2r( )3，所以方程组 (*)无解，即 不能表示为 1， 2，
18、3， 4 的线性组合； (2)当 a一 1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4的线性组合【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 (1)因为 r(A)n1，又 b 1 2 n，所以 r( )n1 即 r(A)r( )n1n，所以方程组 AXb 有无穷多个解 (2)因为1 22 (n1) n-10，所以 12 2(n1) n-10 n0， 即齐次线性方程组 AX0 有基础解系 (1 ，2，n1， 0)T， 又因为 b 1 2 n所以方程组 AXb 有特解 (1，1，1) T， 故方程组 AXb 的通解为 kk(1 ，2，n1，0) T(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性
19、方程组25 【正确答案】 因为 r(A)2，所以t1，方程组的通解为 X (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 D a(ab) (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 11 ， 2 ， 30； (2)当 a0 时，因为 r(A)r( )，所以方程组无解； (3)当 ab0 时，方程组有无穷多个解，通解为 X (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 (1)D A T(a 4a 1)(a4a 2)(a4a 3)(a3a 1)(a3a 2)(a2a 1)， 若 aiai(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1D 2D 30，D
20、4D ，所以方程组的唯一解为 X(0，0，0，1) T； (2)当 a1a 3a0 ，a 2a 4a 时，方程组通解为Xk 1(a 2，0，1，0) Tk 2(0，a 2，0，1) T(0， a2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以， 1， s 线性无关，故方程组 BY0 只有零解【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 (1)当 a1且 a6 时，方程组有唯一解； (2)当 a6 时， 因为 r(A)r( )34，所以方程组有无数个解； 再由得通解为 (3)当 a1 时， 当 a1，b36 时，方程组无解； 当 a 1，b36 时，方程组有无数个解， 由得通解为【知识模块】 线性方程组
