1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AX=0 和 BX=0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（A）AX=0 和 BX=0 同解 r(A)=r(B)（B） AX=0 的解都是 BX=0 的解 r(A)r(B)（C） AX=0 的解都是 BX=0 的解 r(A)r(B)（D）r(A)r(B) AX=0 的解都是 BX=0 的解2 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r则方程组 AX=（A）在 r=m 时有解（B）在 m=n 时有唯一解（C）在 rn 时有无穷多解（D）在 r=n 时有唯一解3 的一个基础解系为
2、（A）(0 ，-1，0，2) T（B） (0，-1 ，0，2) T，(0，12，0，1) T（C） (1，0，-1，0)T ，(-2，0，2，0) T（D）(0 ，-1，0，2)T ，(1，0，-1，0) T4 当 A=( )时， (0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX=0 的基础解系5 A= ， r(A)=2，则( )是 A*X=0 的基础解系（A） (1 ，-1，0) T，(0，0，1) T（B） (1，-1，0) T（C） (1，-1 ，0) T，(2，-2，a) T（D）(2 ，-2，a) T，(3，-3，6) T6 线性方程组 的通解可以表示为（A）(1 ，-1，0，0
3、) T+c(0，1，-1，0) T，c 任意（B） (0，1，1，1) T+c1(0，-2 ，2，0) T+c2(0，1，-1，0) T，c 1，c 2 任意（C） (1，-2 ，1，0) T+c1(-1，2，1，1) T+c2(0，1，-1，0) T，c 1，c 2 任意（D）(1 ，-1，0，0) T+c1(1，-2，1，0) T+c2(0，1，-1，0) T，c 1，c 2 任意7 设 1， 2 是非齐次方程组 AX= 的两个不同的解， 1， 2 为它的导出组 AX=0 的一个基础解系，则它的通解为( )（A）k 11+k22+(1-2)2（B） k11+k2(1-2)+(1+2)2（C
4、） k11+k2(1-2)+(1-2)2（D）k 11+k2(1-2)+(1+2)28 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 AX= 的通解为( )（A）( 2+3)2+k 1(2-1)（B） (2-3)2+k 2(2-1)（C） (2+3)2+k 1(3-1)+k2(2-1)（D）( 2-3)2+k 1(3-1)+k2(2-1)9 设线性方程组 AX= 有 3 个不同的解 1， 2， 3，r(A)=n-2，n 是未知数个数，则( )正确（A）对任何数 c1，c 2，c 3，c 11+c22+c33 都是 A
5、X= 的解；（B） 21-32+3 是导出组 AX=0 的解；（C） 1， 2， 3 线性相关；（D） 1-2， 2-3 是 AX=0 的基础解系二、填空题10 已知 1=(1，1，-1，-1) T 和 2=(1，0，-10) T 是线性方程组的解，=(2，-2，1，1) T 是它的导出组的解，方程组的通解为_11 设矩阵 A=(1， 2， 3)，方程组 AX= 的通解为 +c，其中 =(1，1，-1)T， =(-3，4，2) T. 记 B=(1， 2， 3， 1+2+)，方程组 BY= 的通解为_12 设 1=(2，-1，-1，0) T 和 2=(t，1-t，0，-1) T 是 4 元齐次方
6、程组()的一个基础解系，方程组() 为 已知()和()有公共的非零解，p=_，t=_全部公共解_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知(1 ，a，2) T，(-1， 4，6) T 构成齐次线性方程组 的一个基础解系，求 a，b，s ，t14 求此齐次方程组的一个基础解系和通解15 讨论 p，t 为何值时，方程组 无解?有解?有解时写出全部解16 A= ，已知线性方程组 AX= 存在两个不同的解求 ，a求 AX= 的通解17 设 A= 计算行列式 A实数 a 为什么值时方程组 AX= 有无穷多解?在此时求通解18 设 n0，n 元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为(1)讨论
7、 a 为什么数时 AX=0 有非零解? (2)在有非零解时求通解19 已知线性方程组 有解(1，-1，1，-1)T (1)用导出组的基础解系表示通解； (2)写出 x2=x3 的全部解20 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (1)证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2 (2)求 a，b 的值和方程组的通解21 已知 =(0，1，0) T 是方程组 的解，求通解22 设线性方程组为 (1)讨论 a1，a 2，a 3，a 4 取值对解的情况的影响(2)设 a1=a3=k，a 2=a4=-k(k0)，并且(-1，1，1) T 和(1，1，-1) T 都是解，求此方程组的通解23 设非齐次
8、方程组 AX= 有解 1， 2， 3，其中 1=(1，2，3，4)T， 2+3=(0，1，2，3) T，r(A)=3求通解24 已知 4 阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=22-3又设=1+2+3+4，求 AX= 的通解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c) ，a，b，c 不全为 0，矩阵B= ，并且 AB=0，求齐次线性方程组 AX=0 的通解26 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()为 ()有一个基础解系(0 ，1，1，0) T，(-1 ，2，2，1) T求()和()的全部公共解27 设( )和()都是 4 元齐次线性方程组
9、，已知 1=(1，0，1，1) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(0，1， 1，0) T 是() 的一个基础解系， 1=(0，1，0，1)T， 2=(1，1， -1，0) T 是()的一个基础解系求()和()公共解28 设( )和()都是 3 元非齐次线性方程组， ()有通解1+c11+c22， 1=(1，0，1)， 1=(1，1，0)， 2=(1，2，1)；()有通解2+c， 2=(0，1，2)，=(1，1，2)求()和()的公共解29 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()的系数矩阵为()的一个基础解系为 1=(2，-1，a+2，1) T， 2=(-1，2，4，a+8)
10、T(1) 求( )的一个基础解系；(2)a 为什么值时()和()有公共非零解?此时求出全部公共非零解30 已知齐次方程组() 解都满足方程 x1+x2+x3=0，求 a和方程组的通解31 已知两个线性方程组同解，求m，n，t考研数学二（线性方程组）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AX=0 和 BX=0 同解 (A)=r(B)，但 r(A)=r(B)推不出 AX=0 和 BX=0同解，排除(A)AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 AX=0 的解集合 BX=0 的解集合，于是 n-r(A)n-r(B)，即
11、 r(A)r(B)(C)对，(B)不对n-r(A)n-r(B)推不出 AX=0的解集合 BX=0 的解集合，(D)不对【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质在判别法则中虽然没有出现方程个数 m，但是 m 是 r(A)和 r(A) 的上限因此，当 r(A)=m 时，必有 r(A)=r(A)，从而方程组有解，(A)正确(C)和(D)的条件下不能确定方程组有解(B)的条件下对解的情况不能作任何判断【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 用基础解系的条件来衡量 4 个选项先看包含解的个数因为n=4，系数矩阵为 其秩为
12、 2，所以基础解系应该包含 2 个解排除(A)再看无关性 (C)中的 2 个向量相关，不是基础解系，也排除 (B)和(D)都是两个无关的向量，就看它们是不是解了(0，-1，0，2) T 在这两个选项里都出现，一定是解只要看(0，12，0，1) T 或(1，0，-1，0) T(其中一个就可以)如检查(1，0， -1，0) T 是解，说明(D) 正确或者检查出(0，12，0，1) T 不是解，排除(B)【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 由解是 3 维向量知 n=3，由基础解系含有两个解得到 3-r(A)=2，从而 r(A)=1由此着眼，只有 (A)中的矩阵符合此要求【知识模
13、块】 线性方程组5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A 是 3 阶矩阵，因此未知数个数 n 为 3r(A)=2，则 r(A*)=1 A*X=0 的基础解系应该包含 n-1=2 个解，(A)满足(1，-1，0) T，(0，0，1) T 显然线性无关，只要再说明它们都是 A*X=0 的解A *A=A E=0 ，于是 A 的 3 个列向量(1 ，-1 ， 0)T，(2，-2， a)T，(3，-3，b) T 都是 A*X=0 的解由于 r(A)=2，a 和b 不会都是 0，不妨设 a0，则 (0，0，a) T=(2，-2，a) T-2(1，-1，0) T 也是 A*X=0的解于是(0，0，1) T=
14、(0，0，a) Ta 也是解【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法非齐次方程组 AX= 的通解是它的一个特解加上导出组AX=0 的一个基础解系的线性组合因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解于是可从这两个方面来检查先看导出组的基础解系方程组的未知数个数 n=4，系数矩阵 的秩为 2，所以导出组的基础解系应该包含 2 个解(A) 中只一个，可排除 (B)中用(0，-2，2，0) T，(0，1，-1，0) T 为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除(C)和(D) 都有(1，-2，1，0)T，但是(C)用它作为特解，而(D) 用它为导出组的基础解
15、系的成员，两者必有一个不对只要检查(1，-2 ，1，0) T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除(D)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 先看特解( 1-2)2 是 AX=0 的解，不是 AX= 的解，从而(A)，(C)都不对 (1+2)2 是 AX= 的解 在看导出组的基础解系在(B)中， 1， 1-2 是 AX=0 的两个解，并且由 1， 2 线性无关容易得出它们也无关，从而可作出AX=0 的基础解系，(B)正确 在(D)中，虽然 1， 1-2 都是 AX=0 的解，但不知道它们是否无关，因此(D) 作为一般性结论是不对的【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】
16、 C【试题解析】 (B)和(D) 都用 (2-3)2 为特解，但是( 2-3)2 不是原方程组的解，因此(B) 和(D)都排除 (A)和(C)的区别在于导出组 AX=0 的基础解系上，(A)只用一个向量，而(C) 用了两个： (3-1)，( 2-1)由于 1， 2， 3 线性无关，可推出(3-1)，( 2-1)无关，并且它们都是 AX=0 的解则 AX=0 的解集合的秩不小于2，从而排除(A) 【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 B【试题解析】 A i=，因此 A(1-32+3)=2-3+=0，即 21-32+3 是 AX=0 的解，(B)正确 c11+c22+c33 都是 AX= 的解
17、 c1+c2+c3=1，(A) 缺少此条件当 r(A)=n-2 时，AX=0 的基础解系包含两个解，此时 AX= 存在 3 个线性无关的解，因此不能断定 1， 2， 3 线性相关 (C)不成立 1-2， 2-3 都是 AX=0 的解，但从条件得不出它们线性无关，因此(D)不成立【知识模块】 线性方程组二、填空题10 【正确答案】 1+c1+c2(2-1)，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (1，1，-1，0) T+c1(-3，4，2，0) T+c2(2，2，-1，-1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 3；-2；c(3 1-22
18、)，c 任意【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s=2t=-1 于是方程组为把(1，a，2) T，(-1，4，6) T 代入，得 a=2，b=1 【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数 5，此齐次方程组有非零解 进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：选定自由未知量 x2，x 4，x 5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组： (一般情况都把阶梯形矩阵的台角所在列号对
19、应的未知量(如本题中的 x1，x 3)作为待定未知量，其他未知量作为自由未知量这样得到的同解方程组直接用自由未知量表示出待定未知量，)对自由未知量赋值，决定基础解系一般做法为让自由未知量轮流地取值 1(其他未知量取值 0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为： 1=(-23，1，0，0，0) T， 2=(-13，0，0，1，0) T， 3=(-29，0，-13，0，1) T，写出通解 c11+c22+c33，其中 c1，c 2，c 3 可取任意数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当 t-2 时，有 r(A) r(A) ，此时方
20、程组无解当 t=-2 时(p 任意)，r(A)=r(A)34，此时有无穷多解当 t=-2，p=-8 时，得同解方程组令 x3=x4=0，得一特解(-1 ，1，0，0) T导出组有同解方程组 对 x3，x 4 赋值得基础解系(4，-2，1，0) T，(-1，-2，0，1)T此时全部解为(-1，1，0，0) T+c1(4，-2，1，0) T+c2(-1，-2，0，1) T，其中 c1，c 2可取任何数当 t=-2，p-8 时，得同解方程组令 x4=0，得一特解(-1 ，1，0，0) T导出组有同解方程组令 x4=1，得基础解系(-1 ，-2，0，1) T此时全部解为(-1，1，0，0)T+c(-1
21、，-2，0，1) T，其中 c 可取任何数【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 AX= 存在两个不同的解( 即有无穷多个解) r(A)=r(A)3用矩阵消元法：则 1-2=a-+1=0，而 -10(否则第二个方程为 0=1，无解)得 =-1，a=-2得 AX= 的同解方程组求出通解(32，-12，0) T+c(1，0，1) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 如果顺题目要求，先做，算得 A=1-a 4，再做时，由无穷多解 A=0，a=1 或-1然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解这个过程工作量大下面的解法要简单些解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第
22、3 类初等行变换化为阶梯形A= B =1-a 4AX= 有无穷多解的条件是 1-a4=-a-a2=0，即 a=-1此时求出通解(0，-1，0，0) T+c(1，1，1，1) T，c 为任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 (1)用矩阵消元法，把第 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移，再第 i 行减第一行的 i 倍(i1)a=0 时 r(A)=1，有非零解下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2 至n 各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得于是当 a=-n(n+1)2 时 r(A)=n-1，有非零解(2)a=0 时 AX=0 与 x1+x2+x
23、n=0 同解，通解为 c1(1，-1，0，0) T+c2(1，0， -1，0) T+cn-1(1，0，0，-1) T，c i 任意a=-n(n+1)2 时，通解为 c(1，2，3，n) T，c 任意【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1，-1 ，1，-1) T 代入方程组，可得到 =，但是不能求得它们的值(1)此方程组已有了特解(1，-1 ，1，-1) T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换：如果 2-1=0，则(1，-3，1，0) T 和(-12，-1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为 (1，-1，1，-1) T+c1(1，-3，1，0) T+c2
24、(-12，-1，0，1)T， c1， c2 任意如果 2-10，则用 2-1 除 B 的第三行：(-1，12，-12，1)T 为导出组的基础解系，通解为 (1，-1，1，-1) T+c(-1，12，-12，1) T，c 任意(2)当 2-1=0 时，通解的 x2=-1-3c1-c2，x 3=1+c1，由于 x2=x3，则有-1-3c 1-c2=1+c1，从而 c2=-2-4c1，因此满足 x2=x3 的通解为(2，1，1，-3) T+c1(3，1，1，-4)T当 2-10 时，-1+c2=1-c2，得 c=2，此时解为(-1，0，0，1) T【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 (1)设
25、 1， 2， 3 是 AX= 的 3 个线性无关的解，则， 2-1， 3-1是 AX=0 的 2 个线性无关的解于是 AX=0 的解集合的秩不小于 2，即 4-r(A)2，r(A)2 ，又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2两个不等式说明了 r(A)=2(2)由r(A)=2，得出 a=2，b=-3代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵：得同解方程组 求出一个特解(2，-3，0，0) T 和 AX=0 的基础解系(-2 ，1，1，0) T，(4，-5，0，1) T得到方程组的通解：(2 ，-3 ，0，0) T+c1(-2，1，1，0) T+c2(4，-5，0，1) T，c 1，
26、c 2 任意【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 把 =(0，1，0) T 代入方程组可求得 b=1，d=3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进行讨论记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有r(A)2(因为 1，2 两行无关)则当 a+c3时 r(A)=3，则方程组唯一解 则当 a+c=3 时 r(A)=2，方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 求得(1，-1，1) T 构成基础解系方程组的通解为： (0 ，1，0) T+c(1，-1 ，1) T，c 任意【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 (1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于=(a2-a1
27、)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)于是，当 a1，a 2，a 3，a 4两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4，而系数矩阵的秩为 3因此，方程组无解如果 a1，a 2， a3，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只留下几个方程如果有 3 个不同，不妨设 a1，a 2，a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4 个方程，得原方程组的同解方程组它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a 1-a2)(a3-a1)(a3-a2)0，因此方程组有唯一解 如果不同的少于 3 个，则只用留下 2 个或 1 个方程，此时方
28、程组无穷多解(2)此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2 方程，可抛弃，得 (-1，1，1) T 和(1，1，-1) T 都是解，它们的差(-2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵的秩为 2(注意 k0)于是(-2，0，2) T 构成导出组的基础解系，通解为： (-1，1， 1)T+c(-2，0，2) T，c 可取任意常数.【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 1 是 AX= 的一个特解，只用再找 AX=0 的基础解系从解是 4维向量知，AX= 的未知数个数 n=4r(A)=3，于是，它的 AX=0 的基础解系由 1个非零解构成 由解的性质，2 1-(
29、2+3)=(2，3，4，5) T 是 AX=0 的解于是，AX= 的通解为 (1 ，2，3 ，4)T+c(2，3，4，5) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 方法一 AX= 用向量方程形式写出为 x11+x22+x33+x44=，其导出组为 x11+x22+x33+x44=0条件 =1+2+3+4 说明(1 ，1，1，1) T 是 AX=的一个特解 1=22-3 说明(1，-2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从2， 3， 4 线性无关和 1=22-3得到 r(A)=3，从而导出组的基础解系只含 4-r(A)=1 个解，从而(1，-2，1， 0)T 为基础解系
30、AX= 的通解为 (1，1，1，1) T+c(1，-2，1，0) T，c 可取任意数方法二把 1=22-3 和 =1+2+3+4 代入x11+x22+x33+x44=，得 x1(22-3)+x22+x33+x44=22-3+2+3+4，整理得 (2x1+x2)2+(-x1+x3)3+x44=32+4， 由于 2， 3， 4 线性无关，得同解方程组解此方程组得通解 (0，3，0，1)T+c(1， -2，1，0) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由于 AB=0，r(A)+r(B)3，并且 B 的 3 个列向量都是 AX=0 的解 (1)若 k9，则 r(B)=2，r(
31、A)=1，AX=0 的基础解系应该包含两个解(1，2，3)T 和 (3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c1(1，2，3) T+c2(3，6，k) T，其中 c1，c 2 任意 (2)如果 k=9，则 r(B)=1，r(A)=1 或2 r(A)=2，则 AX=0 的基础解系应该包含一个解，(1，2，3) T 构成基础解系，通解为： c(1，2，3) T，其中 c 任意 r(A)=1，则 AX=0 的基础解系包含两个解，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)=1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行向量(a ，b， c)
32、(0!)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a， b，c) 的倍数，从而 AX=0 和方程 ax1+bx2+cx3=0 同解由于(1， 2，3) T 是解，有 a+2b+3c=0，则 a，b 不都为 0(否则 a，b，c 都为 0)，于是(b，-a，0) T 也是 ax1+bx2+cx3=0 的一个非零解，它和 (1，2，3) T 线性无关，一起构成基础解系，通解为： c 1(1，2，3) T+c2(b，-a，0) T，其中 c1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 一种思路是构造一个线性方程组()，使得它也以 1， 2 为基础解系于是() 和()同解，从而 ()和(
33、)的公共解也就是 ()和()的公共解，可以解( )和()的联立方程组来求得例如 ()可以是： 这种思路的困难在于构造方程组() ，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的另一种思路为：( )和()的公共解都必定是 ()的解，因此有 c11+c22 的形式它又满足( )，由此可决定 c1 与 c2 应该满足的条件具体计算过程：将 c11+c22=(-c2，c 1+2c2，c 1+2c2，c 2)T，代入()，得到 解出 c1+c2=0即当 c1+c2=0 时 c11+c22 也是 () 的解于是()和()的公共解为： c( 1-2)，其中c 可取任意常数【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 现
34、在()也没有给出方程组，因此不能用例 424 的代入的方法来决定 c1，c 2 应该满足的条件了但是 ()有一个基础解系 1， 2， 3，c 11+c22满足( )的充分必要条件为 c11+c22 能用 1， 2， 3 线性表示，即r(1， 2， 3，c 11+c22)=r(1， 2， 3)于是可以通过计算秩来决定 c1，c 2 应该满足的条件： 于是当 3c1+c2=0 时c11+c22 也是() 的解从而( )和()的公共解为： c(1-32)，其中 c 可取任意常数【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 公共解必须是()的解，有 2+c 的形式，它又是()的解，从而存在 c1，c 2
35、 使得 2+c=1+c11+c22，于是 2+c-1 可用 1， 2 线性表示，即r(1， 2， 2+c-1)=r(1， 2)=2 得到c=12，从而( )和()有一个公共解 2+2=(12，32，3)【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 (1)把() 的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到()的同解方程组对自由未知量 x3，x 4 赋值，得()的基础解系 1=(5，-3，1，0) T， 3=(-3，2，0，1) T(2)()的通解为 c11+c22=(2c1-c2，-c 1+2c2，(a+2)c1+4c2，c 1+(a+8)c2)T将它代入 ()，求出为使 c11+c22 也是(
36、)的解(从而是()和()的公共解 )，c 1，c 2 应满足的条件(过程略)为： 于是当 a+10 时，必须 c1=c2=0，即此时公共解只有零解当 a+1=0 时，对任何c1，c 2，c 11+c22 都是公共解从而 ()，()有公共非零解此时它们的公共非零解也就是()的非零解：c 11+c22，c 1，c 2 不全为 0【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 求出()的解，代入 x1+x2+x3=0，决定 a用矩阵消元法，设系数矩阵为 A，当a=0 时，()和方程 x1+x2+x4=0 同解，以 x2，x 3，x 4 为自由未知量求出一个基础解系 1=(-1，1，0，0) T， 2=(
37、0，0，1，0) T， 3=(-1，0，0，1) T其中 2， 3 都不是x1+x2+x3=0，的解，因此 a=0 不合要求当 a0 时，继续对 B 进行初等行变换以 x4 为自由未知量，得基础解系=(a-1，-a， ，1) T代入 x1+x2+x3=0，(a-1)+(-a)+ =0，求得 a=12即当 a=12 时， 适合 x1+x2+x3=0，从而() 的解都满足 x1+x2+x3=0当 a12 时， 不满足 x1+x2+x3=0得 a=12 为所求此时，方程组的通解为 c(-12，-12，1，1) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 m，n，t 分别在方程组()的各方程中，()的系数及常数项中无参数，可先求出() 的一个解(要求 x2 的值不为 0!请读者思考为什么这样要求)，代入()的方程，可分别求出 m，n，t求() 的一个特解得(-2，-4，-5，0) T 是()的一个解将它代入() 的方程： 得到 m=2，n=4，t=6【知识模块】 线性方程组
