1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 32 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n3 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还
2、可以是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3+4， 3-4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组4 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1)T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 4二、填空题5 已知齐次方程组 同解，a_，b_，它们的通解_6 构造非齐次方程组_，使得其通解为(1，0，0，1) T+c1(1，1，0，-1)T+c2(0， 2
3、，1 ，1) T，c 1，c 2 任意7 已知方程组 有无穷多解，则 a=_.8 已知方程组 总有解，则 应满足_9 四元方程组 的一个基础解系是_10 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_11 设 A 为三阶非零矩阵，B= ，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_.12 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*X=0 的通解是_13 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2+c
4、t=_14 已知方程组 的通解是(1，2，-1，0) T+k(-1，2，-1，1) T，则 a=_.15 已知 1=(-3，2，0) T， 2=(-1，0，-2) T 是方程组 的两个解，则此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知齐次方程组同解，求 a，b，c 17 设齐次方程组() 有一个基础解系1=(b11，b 12，b 12n)T， 2=(b21，b 22，b 22n)T， n=(bn1，b n2，b n2n)T证明 A 的行向量组是齐次方程组 () 的通解18 构造齐次方程组，使得 1=(1，1，0，-1) T， 2=(0，2，1，1) T 构成它
5、的基础解系19 设 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性无关，其中 1， 2， s 是齐次方程组 AX=0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关20 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX=0 的每个解都可以用1， 2， 3 线性表示，并且 r(A)=n-3，证明 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系21 n 元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为 =n-r(A)+122 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，-3a) T， 3=(-1，-b-2a+2b) T=(1 ，3，-3)T试讨论当 a，b 为何值时，
6、(1) 不能用 1， 2， 3 线性表示； (2) 能用1， 2， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式23 已知平面上三条直线的方程为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=024 设 A= a，b 取什么值时存在矩阵 X，满足 AX-AX=B?求满足 AX-AX=B 的矩阵 X 的一般形式25 设 A= (1)求方程组 AX=0 的一个基础解系(2)a，b，c 为什么数时 AX=B 有解?(3) 此时求满足 AX
7、=B 的通解26 求齐次方程组 的基础解系27 求线性方程组 的通解，并求满足条件 x12=x22 的所有解28 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解? 当方程组有解时，求其解29 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解30 设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A031 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系考研数学二（线性方程组）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的原则是：其他未知量可用它们唯一确定如果选
8、择 x4，x 5，对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选(A)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(Ab)=n，因此 Ax=b 可以无解例如前者只有零解，而后者无解故(B)不正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， (A)不正确 1，
9、 2， 3， 4， 1+2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选 (B)【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0，知 1+2-23+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 n-r(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由 知， 2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 1-23=0，即 1， 3 线性相关，排除 (A) 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(-23， 2， 3，- 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛
10、盾所以选(C) 【知识模块】 线性方程组二、填空题5 【正确答案】 1；2；c 1(1，-1 ，1，0) T+c2(-1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 -5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a=-5 时，r(A)= 3，方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对任意 b， b，b，方程组有解 r(A)=3 A0而由=(5+4)(-1)0，可知 1且 .【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(-1，1，0，1) T【试题解析】
11、n-r(A)=4-2=2 取 x4，x 5 为自由变量： 令 x3=1，x 4=0 得 x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得 x2=1，x 1=-1， 所以基础解系是(0，0，1，0) T，(-1，1，0，1) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2+3)-21=(2-1)+(3-1)=(2，3 ，4，5) T-2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(a)=3，n-r(A)=1，所以Ax=b 的通解是(1，1，1， 1)T+k(0，1，2，
12、3) T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 c 1(1，4， 3)T+c2(-2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1，n-r(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c1(1，4，3) T+c2(-2，3， 1)T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0 ，并且 r(A*)=1那么A
13、*A=AE=0 ，所以 A 的列向量是 A*x=0 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是 k1(1，4，7) T+k2(2， 5，8) T【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，-1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1因(-1，2，-1，1) T
14、是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=3【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 (-3，2，0) T+k(-1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1-2 是 Ax=0 的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)=2于是 n-r(A)=1 所以方程组通解是：(-3，2，0) T+k(-1，1，1) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 本题可以用上例的方法，先求出其中一个方程组的解，代入另一个方程组求参数但是由于两个方程组都有参数，先求一个方程组的解时，参数会使得
15、计算复杂可先从概念上着眼，两个方程组同解可推得它们的系数矩阵的秩相等左边方程组系数矩阵的秩不会小于 2，右边方程组系数矩阵的秩不会大于 2，于是它们的系数矩阵的秩为 2这样参数口可先求得，再求左边方程组的解，代入右边方程组求 b，c (计算过程略 )下面我们用一个更加简单的方法这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求 a，b，c 于是 a-2=0，c-b-1=0，c-b 2-1=0则 a=2，b，c 有两组解b=0 ，c=1；b=1，c=2可是 b=0，c=1时右边方程组系数矩阵的秩为 1，因此两个方程组不会同解，这组解
16、应该舍去得a=2，b=1，c=2【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 分别记 A 和 B 为()和()的系数矩阵 ()的未知量有 2n 个，它的基础解系含有 n 个解，则 r(A)=n，即 A 的行向量组 1， 2， n 线性无关 由于 1， n 都是 ()的解，有 ABT=(A1，A 2，A n)=0，转置得BAT=0，即 BiT=0，i=1， ，n于是， 1， 2， ， n 是()的 n 个线性无关的解又因为 r(B)=n，( )也有 2n 个未知量，2n-r(B)=n所以 1， 2， n 是()的一个基础解系从而()的通解为 c 11+c22+cnn，c 1，c 2，c n 可取任
17、意数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 所求 AX=0 要满足：4 维向量 是 AX=0 的解 可用 1， 2 线性表示设 =(c1，c 2，c 3，c 3)T，( 1， 1)=于是 可用 1， 2 线性表示 c2-c1-2c3=0且 c4+c1-c3=0 是齐次方程组 的解这个齐次方程组满足要求【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 用定义法证 设 c1A1+c2A2+ctAt=0则A(c11+c22+ctt)=0 即 c11+c22+cTT 是 AX=0 的一个解于是它可以用1， 2， s 线性表示： c 11+c22+ctt=x11+t22+tss，再由1， 2， s， 1，
18、 2， ， t 线性无关，得所有系数都为 0【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为 r(A)=n-3，所以 AX=0 的基础解系包含 3 个解设1， 2， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则条件说明 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3=r( 1， 2， 3)r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，从而 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)，这说明 1， 2， 3 和 1， 2， 3 等价，从而 1， 2， 3 也都是 AX=0 的解；又 r(1， 2， 3)=3，即
19、 1， 2， 3 线性无关，因此是 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 记 s=n-r(A)，则本题要说明两点(1) 存在 AX= 的 s+1 个线性无关的解(2)AX= 的 s+2 个解一定线性相关 (1)设 为()的一个解，1， 2， s 为导出组的基础解系，则 不能用 1， 2， s 线性表示，因此， 1， 2， s 线性无关，+ 1，+ 2，+ s 是()的 s+1 个解，并且它们等价于 ， 1， 2， s 于是 r( ，+ 1，+ 2，+ s)=r(， 1， 2， s)=s+1， 因此 ，+ 1，+ 2，+ s 是(I) 的 s+1 个线性无关的解 (
20、2)AX= 的任何 s+2 个解都可用 ， 1， 2， s 这 s+1 向量线性表示，因此一定线性相关【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，则问题化归线性方程组 AX= 解的情形的讨论及求解问题了(1)a=0(b任意)时 方程组 AX= 无解，不能用 1， 2， 3 线性表示(2)当 a0，ab 时，r(A)=r(A)=3 ，方程组 AX=唯一解，即 可用 1， 2， 3 唯一表示 AX= 的解为 (3)当 a=b0 时 r(A)=r(A)=2，AX= 有无穷多解，即 可用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一AX= 有特解 ，而(0，1，1) T 构成A
21、X=0 的基础解系，AX= 的通解为 +c(0，1，1) T，c 任意，即 =2+c3，c 任意【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 l 1，l 2，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2 记 则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B) ，于是 l1，l 2，l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2必要性 由于 r(B)=2，则B=0 计算出B=-(a+b+c)(a 2+b2+c2-ac-ac-bc)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2a，b，c 不会都相等(否则 r(A)=1)，即(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)2
22、0得 a+b+c=0充分性 当 a+b+c=0 时，B=0，于是 r(A)r(B)2只用再证r(A)=2，就可得到 r(A)=r(B)=2用反证法若 r(A)2，则 A 的两个列向量线性相关不妨设第 2 列是第 1 列的 倍，则 b=a，c=b，a=c于是3a=a， 3b=b， 3c=c，由于 a，b，c 不能都为 0，得 3=1，即 =1，于是a=b=c再由 a+b+c=0，得 a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵设 X= AX=，XA= AX-XA=B 即 x1，x 2，x 3，x 4是线性方程组： 的
23、解得 a=-3，b=-2 把 a=-3，b=-2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为(-3，-2，0，0) T+c1(1，1，1，0)T+c2(1， 0，0 ，1) T，c 1，c 2 任意则满足 AX-CX=B 的矩阵 X 的一般形式为【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 对 AX=B 的增广矩阵(AB)作初等行变换化阶梯形矩阵：得到 AX=0 的同解方程组： 求得基础解系：(-2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T(2)AX=B 有解 r(AB)=r(A)=2，得 a=6，b=-3 ，c=3 (3)建立3 个线性方程组，它们的系数矩阵都是 A，常数列依
24、次为 B 的各列则 X 的各列依次是它们的解它们的导出组都是 AX=0，已经有了基础解系(-2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T，只用再各求一个特解就可得到通解可以一起用矩阵消元法求它们的特解： 于是(32， 32，0，0) T，(-32，32，0，0) T，(0，1，0，0) T 依次是这 3 个方程组的特解AX=B 的通解为： 其中c1，c 2，c 3，c 4，c 5，c 6 任意或者表示为： 其中H 为任意 23 矩阵【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 对系数矩阵作初等变换，有当 a1 时，r(A)=3，取自由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=-6，x 1=5
25、基础解系是(5，-6，0，1)T当 a=1 时，r(A)=2取自由变量 x3，x 4，则由 x 3=1，x 4=0 得 x2=-2，x 1=1， x3=0， x4=1 得 x2=-6，x 1=5，知基础解系是(1，-2，1，0) T，(5，-6，0，1) T【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0，x 4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解：令x3=1， x4=0 得 x2=3，x 1=1即 1=(1，3，1，0) T；令 x3=0，x 4=1 得x2=0， x1=1即 2=(-1，0，0，1) T因此方程组
26、的通解是： (2，1，0，0)v+k1(1，3，1，0) T+k2(-1，0，0，1) T而其中满足 x12=x22 的解，即(2+k 1-k2)2=(1+3k1)2那么 2+k1-k2=1+3k1 或 2+k1-k2=-(1+3k1)，即 k2=1-2k1 或 k2=3+4k1所以(1， 1，0，1) T+k(3，3，1，-2) T 和(-1，1，0，3) T+k(-3，3，1，4) T 为满足x12=x22 的所有解【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当a0，且 b3 时，方程组有唯一解 ()当 a=0 时， 方程组均无解( )当 n0，b=3 时，方
27、程组有无穷多解 +k(0，-3，2) T【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 因为系数行列式 =-(a2+bv+c2)0，所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1， 2， n)，则 ，Ax=b有解 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0) T， ，e n=(0，0，0，1)T r(1， 2， n)r(e1，e 2，e n)=n r(A)=n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 ，Ax=b 总有解【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j=1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j(j=1，2，s)是 Ax=0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩 r(1， 2， t)=t，又1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以 r(1， 2， s)=r(1， 2， t)=t又因 1， 2， s 线性无关，故 s=t 因此 1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组
