1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 42 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=B 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性
2、无关的解向量3 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解4 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=西有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b
3、有无穷多解5 设 a1，a 2，a 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩(A)=3，a 1=(1，2，3，4) T ，a 2+a3=(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=二、填空题6 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.7 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.8 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_9 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4
4、维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=10 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_11 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.12 设方程 有无穷多个解，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设线性方程组 已知(1，-1，1，-1) T 是该方程组的一个解试求：13 方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；14 该方程组满足 x2
5、=x3 的全部解15 已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t 4， 4=4+t1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 Ax=0 的一个基础解系。16 设有齐次线性方程组 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解17 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵 (k为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解18 求 的基础解系。19 设齐次线性方程组 其中 a0，60，n2 试讨论a，b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?在有无穷多组解时，求
6、出全部解，并用基础解系表示全部解20 考研数学二（线性方程组）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 -1【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 3【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 -27【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 n-m【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 -2 2n-1/
7、3【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 24【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 -2【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 将(1，-1，1，-1) T 代入方程组，得 =对增广矩阵作初等行变换，有有无穷多解，其全部解为（-1,0,0,1） T+k（2，-1,1，-2） T，其中 k 为任意数。【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 当 =1/2 时，若 x2=x3，由方程组的通解1/2 时，x2=x3 知 -k=k,即 k=0,从而有唯一解（-1,0,0,1） T.【知识模块】 线性方程组15 【
8、正确答案】 由于 1， 2， 3， 4 均为 1， 2， 3， 4 的线性组合，所以1， 2， 3， 4 均为 Ax=0 的解下面证明 1， 2， 3， 4 线性无关设k11，k 22，k 33，k 44=0，即(k 1+tk4)1+(tk1+k2)1+(tk2+k3)1+(tk3+k4)4=0，由于1， 2， 3， 4 线性无关，因此其系数全为零，即=1-t4 可见，当 1-t40，即 t1 时，上述方程组只有零解 k1=k2=k3=k4=0，因此向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，又因 Ax=0 的基础解系是 4 个向量，故 1， 2， 3， 4 也是 Ax=0 的一个基础解系【知识模
9、块】 线性方程组16 【正确答案】 方程组的系数行列式【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 (1)如果 k9，则秩 r(B)=2由 AB=0 知 r(A)+r(B)3因此，秩r(A)=1， 所以 Ax=0 的通解是 t1(1，2，3) T+t2(3，6，k) T，其中 t1，t 2 为任意实数 (2)如果 k=9，则秩 r(B)=1，那么，秩 r(A)=1 或 2 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解是t(1，2，3) T，其中 t 为任意实数 若 r(A)=1，对 ax1+bx2+cx3=0，设 c0，则方程组的通解是 t1(c，0，-a) T+t2(0，c，-b) T【知识模块】
10、线性方程组18 【正确答案】 由 n-r(A)=5-3=2，取x2，x 5 为自由变量，得 1=(-1，1，0，0，0) T， 2=(-1，0，-l，0，1) T【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 由于 r(A)=n-1，有 n-r(A)=1，即基础解系只有 1 个解向量，取自由变量为 x。，则基础解系为 a=(1，1，1，1) T故通解为 k(k 为任意常数 )【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 记方程组(I)和( )的系数矩阵分别是 A 和 B由于曰的每一行都是 Ax=0 的解，故 ABT=0，那么 BAT=(AB)T=0因此，A 的行向量是方程组()的解 由于曰的行向量是(I)的基础解系，它们应线性无关，从而知 r(B)=n且由(I)的解的结构，知 2n-r(A)=n故 r(A)=n于是 A 的行向量线性无关 对于() ，由2n-r(B)=n 知()的基础解系由 n 个线性无关的解向量所构成，所以 A 的行向量 就是()的一个基础解系于是() 的通解为：k 1(a11，a 12，a 12n)T+k2(a21，a 22，a 22n) T+kn(an1，a n2，a n,2n)T，其中 k1，k 2，k n。是任意常数【知识模块】 线性方程组
