1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：AT AX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解3 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则
2、秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 4 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -15 设向量 可由向量组 1， 2，.， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2，.， m-1 线性表示，向量组(): 1， 2，.， m-1,，则（A） m 不能由 (I)线
3、性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，也可能由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，也不可由()线性表示6 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由卢，y，占线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示7 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由卢，y，占线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示8 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1
4、可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能南 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3，k 1+k2 线性相关9 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关10 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征
5、值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=011 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 m n 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s。线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关12 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3,
6、3-1（B） 1+2， 2+3,3+1（C） 1-22， 2-23,3-21（D） 1+22， 2+23,3+21二、填空题13 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.14 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 15 求方程组(I)的一个基础解系；16 当 a 为何值时，方程组(I) 与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解17 18 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；(
7、 )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2， 3， 5-4 的秩为 418 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：19 A2=A 的充要条件是 T=1；20 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵考研数学二（线性方程组）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组5
8、 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组二、填空题13 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 -1【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组16
9、正确答案】 【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l2+l3 若k11+k22+k33+k4(5-4)=0， 即(k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k44)3+k45=0， 由于r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0 于是 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 线性方程组
