1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1,2,3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，C 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )（A）（B）（C）（D）2 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组
2、(AB)c=0( )（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解4 要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )（A）(一 2，1，1) （B）（C）（D）5 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解6 设 A 是 n 阶矩
3、阵， 是 n 维列向量，若 ，则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） 仅有零解（D） 必有非零解7 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0 和()ATAx=0，必有( )（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解8 设 A 为 43 矩阵， 1， 2,3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则
4、 Ax= 的通解为( )（A）（B）（C）（D）9 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在（B）仅含有一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量10 设 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的一个基础解系，A *x=0 的基础解系为( )（A） 1,3（B） 1,2（C） 1,2,3（D） 2,3,4二、填空题11 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为
5、0，且 A 的伴随矩阵 A*O，则线性方程组Ax=0 的通解为_ 12 设方程组 有无穷多个解，则 a=_13 设 A=(aij)33，是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1 ， 0，0) T，则线性方程组 Ax=b 的解是_14 设 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=3，且它的 3 个解向量1， 2， 3 满足 1+2=(2，0，-2，4) T， 1+3=(3， 1，0，5) T，则 Ax=b 的通解为_15 设 其中 aiaj(ij,j=1，2，n)，则线性方程组 ATx=b 的解是 x=_16 设 A 是 4 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A*0，
6、 1,2,3 是 Ax=b 的 3 个解向量，其中 则 Ax=b 的通解为_ 17 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的各行元素之和为 0，A *为 A 的伴随矩阵，A *O，则A*x=0 基础解系的解向量的个数为 _18 已知方程组 无解，则 a=_19 设线性方程组 有解，则常数 a1，a 2,a3，a 4 应满足条件_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设向量组 1,2,3 是 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=1， 1+2=(1，2，3)T， 2+3=(0，一 1，1) T， 3+1=(1，0，一 1)T，求 Ax=b 的通解21 设线性方程组 试问当 a，b
7、 为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?并求出无穷多解时的通解22 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解23 已知线性方程组 (1)a，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解?(2)a，b， c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解24 设有齐次线性方程组 试问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解25 设线性方程组 (1)证明：若 a1,a2,a3,a4 两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)，且 1=(一 1，1，1) T， 2=(1，1，一 1)T 是该方程组的
8、两个解，写出此方程组的通解26 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组的一个解试求：(1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组通解的结构，所涉及的知识点是(1)非齐次线性方程组通解为其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解(2)非齐次线性方程组两个解的和被 2 除仍是非齐次线性方程组的解(3)非齐次线性方程组两个解的差是其对应的
9、齐次线性方程组的解由于 r(A)=3，故线性方程组 Ax=0 的基础解系含有解向量的个数为 4 一 r(A)=1又A=1=b，A 2=b，A 3=b，有 即 是 Ax=0 的解根据 Ax=0 的解的结构理论，知 C 为 Ax=b 的通解【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件由于 Ax=0 仅有零解的充分条件是 r(A)=n，即 A 的列向量组的秩等于 n，故应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件和矩阵的秩的性质要求考生掌握：(1)对于 m 阶矩阵 AB，若 r(AB)=m，则
10、 (AB)x=0 仅有零解；若 r(AB)m，则 (AB)x=0 必有非零解(2)矩阵的秩的公式：r(AB)minr(A)，r(B)，r(Amn)minm，n当 mn 时，r(A)n【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查线性方程组解的概念和齐次线性方程组的系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系由于 1， 2 都是 Ax=0 的解，且 1， 2 线性无关，所以 r(A)1，又 1， 2 满足由选项 A 中所确定的方程组 Ax=0，故应选 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组 Ax=b 解的存在性和与其对应的齐次线性方程
11、组 Ax=0 解的关系注意到 Ax=0 有解，而 Ax=b 不一定有解对于 A、B两种情形，由题设条件不能判定方程组 Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等，无法确定方程组 Ax=b 是否有解又若 Ax=b 有无穷多个解，则其解应为 Ax=0 的基础解系的线性组合与 Ax=b 的一个特解之和，若 Ax=b 有无穷多个解，则 r(A)=r(A，b) n，而当 r(A) n 时，方程组 Ax=0 有非零解，所以 C 不正确，故选D【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查线性方程组有解的判定方法所涉及的知识点是(1)对于齐次线性方程组 Ax=0，若A0，则 Ax=0 仅
12、有零解，若A =0，则 Ax=0 有非零解(2)对于非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 r(A)=r(Ab)=r=n，Ax=b 有无穷多解 r(A)=r(Ab)=rn，Ax=b 无解 r(A)r(Ab)若必有非零解因而选 D选项 C 错又当A0， =0时，选项 A 错；当A=0，=0 时，选项 B 错【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查齐次线性方程组解的概念及相关理论显然(I)的解是()的解设 x0 是() 的解，则有 ATx0=0，在该式两边左乘 x0T，得 x0TATAx0=0，即(Ax0)TAx0=0，从而Ax 0=0于是 Ax0=0，即()的解是(I)的
13、解故选 A【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查线性方程组解的性质和非齐次线性方程组解的结构要求考生掌握：(1)非齐次线性方程组两个解的差是对应齐次线性方程组的解。(2)非齐次线性方程组的通解是其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解由于 2 一 1， 3 一 1 都是 Ax=0 的解，且可证明 2 一 1， 3 一 1 线性无关，所以基础解系解向量的个数为 3 一 r(A)2，于是 r(A)1，又 AO，所以 r(A)1，故 r(A)=1，从而 Ax=0 的基础解系解向量的个数为 2，因此 A、B 不选而都是 Ax=0 的解，所以 D 不选，由非齐
14、次线性方程组通解的结构知 +k1(2 一 1)+k2(3 一 1)是 Ax=的通解故选 C【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查齐次线性方程组基础解系的概念要求考生掌握：(1)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数(2)矩阵与其伴随矩阵的秩的关系由 A*O以及 知 r(A)=n 或 n1又1， 2， 3， 4 是 Ax=b 的互不相等的解，即解不唯一，从而 r(A)=n 一 1因此的基础解系仅含有一个解向量，故选 B【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查齐次线性方程组基础解系的概念要求考生掌握：(1)未知数的个
15、数(n)一系数矩阵的秩 r(A)=基础解系解向量的个数(2)矩阵与其伴随矩阵的秩的关系(3)线性相关的向量组增加向量的个数所得向量组仍然线性相关由(1，0， 1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，所以 r(A)=3，从而 r(A*)=1，于是A*x=0 的基础解系解向量的个数为 3，所以 A、B 不能选又所以 1 与 3 线性相关，于是 1,2,3，线性相关又 r(A)=3，所以A=0，于是 A*A=AE=0，所以 1,2,3,4 都是 A*x=0的解，而 2,3,4 又线性无关，因此是方程组 A*x=0 的基础解系，故选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题11 【正确答案】 k
16、(1，1，1) T，k 为任意实数【试题解析】 本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件及解的结构由 A 的各行元素之和均为 0 知 于是(1，1，1) T 是方程组Ax=0 的一个非零解，从而 r(A)n，又因为 A*O，得 r(A)n1，从而 r(A)=n一 1故 Ax=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量故 Ax=0 的通解为x=k(1，1， ，1) T，其中 k 为任意实数【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件即 n 元方程组Ax=b 有无穷多解的充要条件是 r(A)=r(A：b)n；也可由克拉默法则(方程组系数
17、矩阵的行列式为零)求出 a 的值，再验证方程组是否有无穷多个解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得 显然当 a=一 2 时，r(A)=r(B)=2 3，方程组有无穷多个解因此 a=一 2【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 本题主要考查正交矩阵的性质和克拉默法则及矩阵的运算设由题设知 AAT=E，即于是有 1+a122+a132=1，所以 a12=a13=0，从而 所以 x=(1，0，0) T 为 Ax=b 的解【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 k(1，1，2，1) T+(1，0，一 1，2) T，其中 k 为任意常数【试题解析】 本题考查线性方
18、程组的解的性质和非齐次线性方程组的通解的结构因为 r(A)=3，所对应的齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 43=1，故它的任一非零解都可作为其基础解系由于 1+3 一( 1+2)=3 一 2=(1，1，2，1)T 可作为 Ax=0 的基础解系又 (1+2)=(1，0，-1，2) T 是 Ax=b 的个解，所以Ax=b 的通解为后(1，1， 2，1) T+(1，0，-1，2) T，其中 k 为任意常数.【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 本题考查克拉默法则和范德蒙德行列式的公式 由于A 是范德蒙德行列式，所以由 aiajj，i ，j=1，2，n)
19、知A 0，因此A T=A0 ，故方程组 ATx=b 有唯一解，而 (1，0，0) T 显然满足ATx=b，故方程组的解为 x=(1，0，0) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 k(0，0，0，一 1)T+(2，0，1，3) T，k 为任意常数由于是 Ax=b 的解，且与 1 不等，从而 r(A)4，而 A*O，所以 r(A)3即 3r(A)4，因此 r(A)=3从而 Ax=0 的基础解系有 1 个解向量又因为是 Ax=0 的一个非零解，故 Ax=b 的通解为 x=k(0，0，0，一 1)T+(2，0，1，3) T，k 为任意常数【试题解析】 本题考查线性方程组的解的性质和通解的结构
20、【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 n1【试题解析】 本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念和矩阵 A 与其伴随矩阵A*的秩的关系由 A 的各行元素之和为 0 知(1，1，1) T 是方程组 Ax=0 的解所以 r(A)n 又由 A*O知，r(A)n 一 1，故 r(A)=n1，从而 r(A*)=1，因此 A*x=0 的基础解系的解向量的个数为 n1【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 一 1【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组无解的充分必要条件所涉及的知识点是 Amnx=b 无解 r(A)r(Ab)和用初等变换求矩阵的秩设方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 A 和 B，对它们施
21、以初等行变换由此知，当 a=一1 时，r(A)=2，r(B)=3 ，方程组无解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩对方程组的增广矩阵 B=(A，b)施以初等行变换，使之化为行阶梯形 由题意，方程组有解，则必有 r(A)=r(B)，因此 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 令 1=(1+2)一( 2+3)=1 一 3=(1，3，2) T， 2=(1+2)一( 3+1)=2 一 3=(0，2，4
22、) T，则 1， 2 为 Ax=0 的解，且 1， 2 线性无关，而 nr(A)=31=2，所以 1， 2 为 Ax=0 的基础解系又设 为Ax=b 的解，所以方程组 Ax=b 的通解为【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组的解的结构和解的性质【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对线性方程组的增广矩阵 B=(A， b)施以初等行变换，得显然，当 a1 时，r(A)=r(B)=4，故有唯一解；当 a=1，且 b一 1 时，r(A)=2，而 r(B)=3，故无解；当a=1，且 b=一 1 时，r(A)=r(B)=24，故有无穷多解，且等价于下面的方程组其中 k1，k 2 为任意常数，为此时
23、原方程组的通解【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组解的存在性的判定及含参数方程组求解的方法【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 原方程组系数矩阵的行列式为【试题解析】 本题主要考查非齐次线性方程组有解的判定及解的求法将方程组写成矩阵的形式 Ax=b当 A0 时，Ax=b 有唯一解；当A=0 时，方程组Ax=b 有无穷多解还是无解要看增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 方程组的系数行列式 (1)当ab，bc，ca 时，A0，方程组仅有零解(2)下面分四种情况：当 a=bc时，同解方程组为 方程组有无穷多组解，全部解为 x=k1(1，一 1，0)T，
24、其中 k1 为任意常数当 a=cb 时，同解方程组为 方程组有无穷多组解，全部解为 x=k2(1，0，一 1)T，其中 k2 为任意常数当 b=ca 时，同解方程组为 方程组有无穷多组解，全部解为 x=k3(0，1，一 1)T，其中 k3 为任意常数当 a=b=c 时，同解方程组为 x1+x2+x3=0，方程组有无穷多组解，全部解为 x=k4(一 1，1，0) T+k5(一 1，0，1) T，其中 k4，k 5 为任意常数【试题解析】 本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算，基础解系的求法及分情况讨论的能力当方程组的系数行列式A0 时，方程组仅有零解A =0 时，方程组
25、有非零解，但要考虑到使得A=0 的 a，b，c 的所有可能的情况【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换，得当 a=0 时，r(A)=r(B)=1n故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 所以方程组的通解为 x=k11+k22+kn-1n-1(k1，k 2，k n-1 为任意常数) 当 a0 时，对矩阵 B 继续施以初等行变换故当 时，r(A)=n 一 1n方程组也有非零解，其同解方程组为得基础解系为 =(1，2，n) T此时方程组的通解为 x=k(k 为任意常数) 【试题解析】 本题考查齐次线性方程组有非零解的判定条
26、件和求解方法由于未知数的个数与方程组中方程的个数相同，所以可由 Ax=0 有非零解 A =0 或r(A)n由此可求得常数然后再求齐次线性方程组通解【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)方程组的增广矩阵的行列式为=(a4 一 a3)(a4a2)(a4a1)(a3 一 a2)(a3 一 a1)(a2a1)由 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，故B0，即 r(B)=4，而系数矩阵 A 的秩r(A)3，故 r(A)r(B)即方程组无解(2)当 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)时方程组为【试题解析】 本题考查线性方程组的解的存在性的判定，解的结构及解的求法【知识模块】 线
27、性方程组26 【正确答案】 将(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组的第一个方程，得 =，对方程组的增广矩阵 B 施以初等行变换，得于是 r(A)=r(B)=34，故方程组有无穷多解，全部解为 =(1，一 1，1，一 1)T+k(一 2，1，一1，2) T，其中后为任意常数 于是 r(A)=r(B)=24，故方程组有无穷多解，全部解为 =(1，一 1，1，一 1)T+k1(1，一 3，1，0) T+k2(一1，一 2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数(2)当 时，由于 x2=x3，即一1+k=1 一 k，解得 k=1，故方程组的解为 =(1，一 1，1，一 1)T+(一 2，1，一1，2) T=(一 1，0，0，1) T当 时，由于 x2=x3，即一 1 一 3k1 一 2k2=1+k1，解得 k2=一 2k1 一 1，故方程组的全部解为 =(2，1， 1，一 3)T+k1(3，1，1，一 4)T，其中 k1 为任意常数【试题解析】 本题主要考查齐次、非齐次线性方程组的求解问题将(1，一1，1，一 1)T 代入方程组，求出参数 与 的关系，于是化简为只具有一个参数的线性方程组的求解问题，用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形，然后对参数进行讨论，求出全部解【知识模块】 线性方程组
