1、考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时，a 是x 的高阶无穷小， y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C）（D）2 (2008 年) 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“+y“ 一 4y4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=03 (2015 年) 设 是二阶常系数非齐次
2、线性微分方程y“+ay+by=cex 的一个特解，则（A）a= 一 3，b=2，c=一 1（B） a=3，b=2，c=一 1（C） a=一 3，b=2，c=1（D）a=3 ，b=2，c=14 (2016 年) 若 是微分方程yp(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=（A）3x(1+x 2)（B）一 3x(1+x2)（C）（D）二、填空题5 (2005 年) 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的解为_6 (2006 年) 微分方程 的通解是_7 (2007 年) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为y=_8 (2008 年) 微分方程 xy+y=0 满足条
3、件y(1)=1 的解是 y=_9 (2009 年) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_10 (2011 年) 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_11 (2014 年) 微分方程 xy+y(lnxlny)=0 满足条件 y(1)=e3 的解为 y=_12 (2017 年)微分方程 y“+2y+3y=0 的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (2002 年)(1)验证函数满足微分方程 y
4、“+y+y=e x(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数14 (2003 年) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，的解15 (2004 年) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9 000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6
5、010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?16 (2010 年) 求微分方程 y“一 3y+2y=2xe2 的通解17 (2012 年) 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=18 (2012 年) 已知曲线 L： 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f(t)0(0 )若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f(x)的表达式，并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积19 (2013 年) 已知 y1=e3xxe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一
6、xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_20 (2015 年) 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式20 (2016 年)设函数 y(x)满足方程 y“+2y4-ky=0，其中 0k121 证明：反常积分 收敛；22 若 y(0)=1， y(0)=1，求 的值22 (2018 年)已知微分方程 y+y=f(x)，其中 f(x)是 R 上的连续函数23 若 f(x)=x，求方程的通解；2
7、4 若 f(x)是周期为 T 的函数，证明：方程存在唯一的以 T 为周期的解考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 解 1 由于 且当x0 时， 是x 的高阶无穷小，由微分的定义可知 即 两边积分得 ln|y|=arctanx+C1，y=Ce arctanx 由 y(0)= 知，C= ，于是 y(x)=e arctanx 所以 解 2 等式 两边同除以x，并令 x0，得 即 以下同解 1【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的特征方程的根为 1=
8、1， 2，3 =2i 则其特征方程为( 一 1)(2+4)=0，故所求方程应为 y“一 y“+4y一 4y=0 故应选(D)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 由 是方程 y“+ay+by=cex 的一个特解可知，y1=e2x，y 2=ex 是齐次方程的两个线性无关的解，y *=xex 是非齐次方程的一个解1和 2 是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为 ( 一 1)( 一 2)=0 即 2 一3+2=0 则 a=一 3，b=2 将 y=xex 代入方程 y“一 3y+2y=cex 得 c=一 1 故应选(A)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 利
9、用线性微分方程解的性质与结构 由是微分程 y+p(x)y=q(x)的两个解，知 y1 一 y2 是 y+p(x)y=0 的解 故(y 1 一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=0，即从而得 又 是微分方程 y+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有 (1+x2)2+p(x)(1+x2)2=q(x)， 解得 q(x)=3x(1+x2)因此应选(A)【知识模块】 常微分方程二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+2y=xlnx 是一阶线性方程，方程两端同除以 x 得：则通解为 由得，C=0，则 【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 y=Cxe -x【试题解析】 由 知 ln|y
10、|=ln|x|一 x+lnC=ln|x|+lnCe-x=lnC|x|e-x 则 y=Cxe -x【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 齐次方程特征方程为 2 一 4+3=0 解得 1=1， 2=3，则齐次方程通解为 y=C 1ex+C2e3x 设非齐方程特解为 代入原方程得 A=一 2，则原方程通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+y=0 是一个变量可分离方程，原方程可改写为 由 y(1)=1 知 C=1，则【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=一 xe
11、x+x+2【试题解析】 由于 y=(C1+C2x)ex 是方程 y“+ay+by=0 的通解，则该方程的两个特征根为 1=2=1，故 a=一 2，b=1 设非齐次方程 y“一 2y+y=x 的特解为 y *=Ax+B 代入方程得 A=1，B=2 ，则其通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2 由 y(0)=2，y(0)=0 得，C1=0， C2=一 1 所以 y=一 xex+x+2【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 由 y(0)=0 知，C=0 ，则 y=e-xsinx【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 xe 2x-1【
12、试题解析】 由 xy+y(lnxlny)=0 得， 该方程为齐次方程，令代入原方程得 ln|lnu 一 1|lnx+C，即 lnu 一1=Cx， 由 y(1)=e3 的得 C=2，则 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 微分方程 y“+2y+3y=0 的特征方程为 2+2+3=0 则则该方程的通解为【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (1)因为 所以 y“+y+y=e x (2)与y“+y+y=ex 相应的齐次方程为 y“+y+y=0 其特征方程为 2+1=0 特征根为因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特
13、解为 y *=Aex 代入原方程得 于是 原方程通解为 当 x=0 时，有 由此，得 C2=0 于是幂级数的和函数为 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y 求导得 将 代入原方程得 y“y=sinx 该方程对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e-x 设方程y“y=sinx 的特解为 =Acosx+Bsinx，代入该方程得 A=0 ， 故 从而 y“一 y=sinx 的通解为 由 y(0)=0， 得 C1=1，C 2=一 1， 故 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平
14、速度 v0=700 kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t). 解法 1 根据牛顿第二定律，得 由以上二式得 积分得 由于 v(0)=v0，x(0)=0 故得从而 当 v(t)0 时， 所以，飞机滑行的最长距离为105 km 解法 2 根据牛顿第二定律，得 两端积分得通解 代入初始条件 v|t=0=vt=0 解得 C=v0，故 飞机滑行的最长距离为 解法 3 根据牛顿第二定律，得 其特征方程为解之得 r1=0， 故 由 得 于是 当 t+时，所以，飞机滑行的最长距离为 105 km 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 对应齐次方程 y“一
15、3y+2y=0 的两个特征根为 r1=1，r 2=2，其通解为 Y=C 1ex+C2e2x 设原方程的特解形式为 y*=x(ax+b)ex，则 y *=(ax2+(2a+b)x+b)ex y*“=(ax2+(4a+b)x+2a+2b)ex 代入原方程解得 a=一 1，b=一 2 故所求通解为 y=C1ex+C2e2x 一 x(x+2)ex【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 e x【试题解析】 联立 得 f(x)一 3f(x)=一 2ex 代入 f“(x)+f(x)=2e x，得C=0 则 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 曲线 L 的切线斜率 切线方程为 令 y
16、=0，得切线与 x 轴交点的横坐标为由题意得 因为 f(t)0，解得 由于 f(0)=0，所以 f(t)=ln(sect+tant)一sint 因为 f(0)=0， 所以以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域是无界区域，其面积为 【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 C 1ex+C2e3xxe2x【试题解析】 由题设知 y 1 一 y3=e3x， y 2 一 y3=ex 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e3xxe2x【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 y-f(x 0)=f(x0
17、)(xx0) 令y=0 得， 切线 y-f(x0)=f(x0)(xx0)，直线 x=x0 及 z 轴所围区域的面积 即 记 y=f(x0)，则 解方程得 由 y(0)=2 知，C=一 4， 则所求曲线方程为 【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 微分方程 y“+2y+ky=0 的特征方程为 2+2+k=0 解得因为 0k1，所以 10， 20，从而 收敛 由于 11，所以 y(x)=C1e1x+C2e2x，其中C1 与 C2 是任意常数 综上可知，反常积分 收敛【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由上题知， 10， 20，所以 又 y(0)=1，y(0)=1，所以 【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 当 f(x)=x 时，方程化为 y+y=x，其通解为 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 方程 y+y=f(x)的通解为 即 由 得 因为 f(x)是周期为 T 的连续函数，所以 从而 所以，当且仅当时，y(x+T)y(x)=0. 故方程存在唯一的以 T 为周期的解【知识模块】 常微分方程
