1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6 2)的解，C1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2(1C 1C 2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1C 1C 2)y32 方程 ysinx=ylny 满足条件 y( )=e 的特解是（A）（B） esinx（C）（D）二、填空题3 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x
2、)在任意点 x 处的增量y=+，且 y(0)=，则 y(1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 求微分方程 x(y21)dx+y(x 21)dy=0 的通解5 求解下列方程： () 求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(y2y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解6 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ f(s)sinsds，求 f(t)7 设 f(x)连续，且满足 f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)8 求下列微分方程的通解：() y3y=26x；() y+y=cosxcos2x9 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，
3、M(r，) 为 L 上任一点， M0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程10 设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点 ，求 L 的方程11 在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行12 设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间 (以
4、小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T 一 T0 成正比又设 T0=20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 95?13 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比比例系数为K(K0) 试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)14 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上
5、底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状15 求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay；()xy= +y16 求下列各微分方程的通解：()y= ；()y=2 ；()y=17 求下列微分方程的通解：()y+ y=1； ()y= ；()x 2ydx(x 3+y3)dy=0； ()y=18 求下列各微分方程的通解：()(3x 2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0；()+x2lnx)dy=019 求解二阶微分方程的初值问题20 解下列微分方程：()y7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解
6、；()y+a 2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数；() +y+y+y=0 的通解21 求微分方程 xyy=x 2 的通解22 利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解23 设 f(x)=xsinx (xt)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)24 设 u +u=x2+y2 的解，求 u25 设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数考研数学一（常微分方程）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
7、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y3+C1(y1y 3)+C2(y2y 3)， 而且 y3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1y 3 与 y2y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量分离的方程选(D)【知识模块】 常微分方程二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x0=0，x=1，于是y=y(x0+x) y(x0)=y(1) y(0)=y(1)，代入 y 的
8、表达式即得 y(1)=+ y(1)=2+由于仅仅知道当 x0 时 是比 x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1)由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量 y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0= 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1) 将方程dy= dx 分离变量，得 求积分可得 lny=由初始条件 y(0)= 可确定 C= ，从而 y(1)=【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正
9、确答案】 用(x 21)(y 21) 除方程的两端，则原方程化为 由此可见这是一个变量可分离的方程两边同时积分，可求得其通解为lny 21=lnx 21+lnC即(x 21)(y 21)=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 () 此方程不显含 y令 P=y，则原方程化为 xp=plnp当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnp=lnx+lnC，即 lnp=C1x，即 y=eC1x这样，原方程的通解即为 y= eC1x+C2，其中 C10， C2 为任意常数当 P=1 时，也可以得到一族解 y=x+C3()此方程不显含 x令 p=y，且以 y 为自变量，原方程可
10、化为 yp =2(p2p) 当 p0 时，可改写为 y =2(p1) 或 ，解为 p1=C 1y2再利用 P=y，以及初始条件，可推出常数C1=1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y2 其通解为 y=tan(x+C2)再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 C2= 所以满足初始条件的特解为 y=tan(x+ )【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 因 f(t)连续 f(s)sinsds 可导 f(t)可导于是，将题设等式两边求导可得 f(t)=2sin2t+f(t)sint ，即 f(t)f(t)sint= 2sin2t，又 f(0)=1这是一阶线性微分方程的初值问题将方程两边乘 =
11、esintdt =ecost 可得e costf(t)=4sintcoste cost积分得 e costf(t)=4costd(ecost)=4(cost1)e cost+C由 f(0)=1 得C=e因此，f(t)=e 1cost +4(cost1)【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 令 tx=s，原方程改写成 f(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 f(s)ds=xf(x)+x2sinx( x) 将式两边对 x 求导可得 f(x)=xf(x)+f(x)+(x2sinx)，即f(x)= (x=0 时两端自然成立，不必另加条件 )再将式两边直接积分得 f(x)= =xsinx+c
12、osx+C【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 () 先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 23=(3)=0，所以通解为 (x)=C1+C2e3x再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得y *(x)3y *(x)=2A3(2Ax+B)= 6Ax+2A 3B=26x比较方程两端的系数，得 ，解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中 C1，C 2 为任意常数()由于 cosxcos2x= (cosx+cos3x)，根据线性微分方程
13、的叠加原理，可以分别求出 y+y= cosx 与 y+y= cos3x 的特解 y1*(x)与 y2*(x)，相加就是原方程的特解由于相应齐次方程的特征方程为2+1=0，特征根为i ，所以其通解应为 C1cosx+C2sinx；同时 y+y= cosx 的特解应具形式：y 1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0，B= 即 y1*(x)= sinx另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 C= ，D=0这样，即得所解方程的通解为 y(x)= cos3x+C1cosx+C2sinx，其中 C1，
14、C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 曲边扇形的面积公式为 S= r2()d，又弧微分 ds= d，于是由题设有 (*)两边对 求导，即得 r2()=，所以 r 所满足的微分方程为(它与原方程等价，在(*)式中令 =0等式自然成立，不必另加条件)注意到=+C 为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知 c=6，所以曲线 L 的方程为 rsin( )=1【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x) 的切线与 y 轴的交点为 A(0，y(x)xy(x)，又 =x2+y(x)(y(x)xy(x)2=x2+x2y2， =(yxy
15、) 2，按题意得 x 2+x2y2)=(yxy) 2，即 2xyyy 2=x 2又初始条件 y 这是伯努利方程 2yy y2=x对z=y2 而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子 = ，得y2=x+C，y 2=x 2+Cx由初始条件，得 C=3因此 L 的方程为 y2+x2=3x【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 若将此曲线记为 y=f(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求 y0，故曲率 K= 再由于过(x，f(x) 点的法线方程为 Xx+f(x)Yf(x)=0它与 x 轴交点 Q 的横坐标 X0=x+f(x)f(x)，所以，线段 的长度 这样，由题设该曲线所满足的微分
16、方程及初始条件即为 y(1)=1，y(1)=0解二阶方程的初值问题 ，得 y= (ex1 +e1x )【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =K(TT 0)其中 K 为比例常数，且 K0其通解为 T=T0+CeKT 再由题设： T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以 C=80，k= (ln8ln3)这样，温度T=20+80 若 T=95，则 t= =158，即在 158 小时后热水的温度降为 95【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 取沉放点为坐标原点 D，Oy 轴的
17、正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m =mgVkv由于 v= ，所以，此方程是一个既不显含自变量，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y与 v 的关系，注意 v，所以应将方程改写为 mvmgv 直接求积分，则有 y=ln(Hkv)+C再由题设，其初始条件应为 v y=0=0，由此可定出 C=lnH，故所求的关系【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 首先建立坐标系，如图 63 所示，戈轴为桥墩中心轴，Y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(
18、x)满足的方程由于顶面的压强也为 P，则顶面承受的压力为 F=pa2考察中心轴上点 x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2+ y2(s)ds于是得 py2(x)=pa2+ y2(s)ds再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对x 求导得 2pyy=y 2又在(*)式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得 y=a 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 () 属变量可分离的方程，分离变量改写为 =(sinlnx+coslnx+a)dx两端求积
19、分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx). dx=xsin(lnx)cos(lnx)dx，所以通解为 lny=xsin(lnx)+ax+lnC，或 y=Cexsin(lnx)+ax，其中 C 为任意常数()属齐次方程令 y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 xu+u=两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数当 x0 时，上述方程变为 ，其通解应为 arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数所得的通解公式也可以统一为 y=x sin(lnx+C)此处还需注意，在上面作除法的过程中丢植了两个特解 u=
20、1即 y=x【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 () 该方程属于 =f(ax+by)的情形令 u=2xy，则原方程化为u=2 y=2 这也是一个变量可分离的方程，即 u=dx积分即得其通解为(2xy3) 2=Ceyx ，其中 C 为任意常数()该方程属于0 的情形解线性方程组 其解为(3， 2)令 u=x3，v=y+2，则原方程化为 这是一个齐次方程，再令 z= ，该方程又可化为 两端求积分，即得lnz+2arctanz=lnu+lnC 1所以，其通解为 y=C 2，其中 C 为任意常数() 令 u=y2 x，则 u= tanu这也是一个变量可分离的方程 两边积分得 lnsinu=ln
21、x+lnC，即sinu=Cx，故其通解为 sin =Cx，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 () 这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘，得 积分得 y=x 2+x2，其中 C 为任意常数()注意到如果将 x 看作 y 的函数，则该方程可改写为 yx=y 3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 =eydy = 得 积分得 x=y 22，其中 C 为任意常数( )显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将x 看作 y 的函数，原方程可改写为 这还是一个伯努利方程令u=x3，原方程又可改写为 u=3y2而 ，于是两边同乘 =dy+C=3lny+C
22、，即 x3=Cy3+3y3lny，其中C 为任意常数()这是伯努利方程，此方程可改写为 2yy=即得通解为 y 2=C(x1) (x 1)lnx1+1，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 () 由凑微分法易知，这是全微分方程，改写成dx3+3y2dx2+3x2dy2+dy4=0，即 d(x3+3x2y2+y4)=0于是即得其通解为x3+3x2y2+y4=C，其中 C 为任意常数() 经计算容易验证：+x2lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含 lnx，则只能在半平面 x0 上考虑为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿 x 轴积到点(x，0)
23、，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x， y)= +x2lnx)y于是即得其通解为( +x2+lnx)y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 此方程不显含 x，令 p=y，并以 y 为自变量，则 y=p ，并且方程变为 其解为 1+P2=Cy2代入初始条件，可知C=1，即 P2=y2=y21，从而 =dx这是一个变量分离的方程，两端求积分，并代入初始条件，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 () 对应齐次方程的特征方程为 27+12=0，它有两个互异的实根 1=3 与 2=4，所以，其通解为 (x)
24、=C1e3x+C2e4x，其中 C1 与 C2 是两个任意常数由于 0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代入方程可得 A= ，所以，原方程的通解为 y(x)= +C1e3x+C2e4x代入初始条件，则得因此所求的特解为 y(x)= (e3xe 3x)()由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 (x)=C1cosax+C2sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得所以，通解为 y(x)= cosbx+C1cosax+C2sinax，其中C1，C 2 是两个任意常数
25、当 a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0B= 原方程的通解为 y(x)= xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1，C 2 是两个任意常数()这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为 3+2+1=0，分解得(+1)( 2+1)=0，其特征根为 1=1， 2，3 =i，所以方程的通解为 y(x)=C1ex +C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 方程两端同乘 x，使之变为欧拉方程 x2yxy=x 3令 x=et，则代入原方程，则有=e3t这是一个二阶常系数
26、线性非齐次方程其通解为y= e3t+C1e23t+C2= x3+C1x2+C2 其中 C1，C 2 是两个任意常数【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanx y=usecx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec3x代入原方程，则得 u+4u=ex这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u= ex+C1cos2x+C2sin2x代回到原未知函数，则有 y= +2C2sinx，其中 C1，C 2 是两个任意常数【试题解析】 这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程，不属于我们能够求解的范围，而如果能使
27、其变为常系数方程就可求解了从方程的形式看，令 ycosx=u 应该是自然的【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 将原方程改写为 f(x)=xsinxx tf(t)dt因为 f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导，又原式中令 x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx f(t)dt，f(0)=0 同理，方程右端仍可微，所以 f(x)存在二阶导数，再将 中的方程两边求导并令 x=0，则得等价于 f(x)=xsinx+2cosxf(x) ，f(0)=0 ，f(0)=0即 y=f(x)满足微分方程的初值问题y+y=xsinx+2cosx，
28、y(0)=0，y(0)=0 由于此方程的特征根为i ，所以其特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程，求出系数 A，B，C，D，则得其特解为 y*(x)= xsinx，进而方程的通解为 y=f(x)= xsinx+C1cosx+C2sinx 由 f(0)=0 可知 C1=0，而由 f(0)=0 又可推出C2=0，所以 f(x)= xsinx【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 r= 同理，将其代入原方程，则得 u+u=r2该方程的通解是u=C1cosr+C2sinr+r22，于是u +x2+y22，其中 C1，C 2 是任意常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=ekx C+ f(t)ektdt y(x)以 为周期，即 y(x)=y(x+)，亦即对应于这个 C 的特解就是以 为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【试题解析】 本题实际上求该方程的特解对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数 C【知识模块】 常微分方程
