1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 100 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B02 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T
2、，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 下列说法正确的是( ) （A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 ms 阶矩
3、阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n7 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题8 设 A= ，则(A 一 2E)1 =_9 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_10 设 的特征向量，则 a=_，b=_11 设 A 为三阶正交阵，且A0，BA=一 4，则E 一ABT=_12 设 A= ，B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=0，则 t
4、=_13 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1=1+2，A 2=2+3，A 3=3+1，则A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 证明：D= 15 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X15 设 A，B 为 n 阶矩阵，P= 16 求 PQ；17 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆18 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关19 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解?求其通解20 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为
5、121 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T，证明： A 不可以相似对角化21 设 A= 22 证明 A 可对角化；23 求 Am24 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(A)225 26 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求A201026 设 A= 的一个特征值为 1=2，其对应的特征向量为 1= 27 求常数 a， b，c ；28 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵，若不可对角化，说明理由考研数学一（线性代数）模拟试卷 100 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
6、目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t，使得 B=PsP1AQ1Qt，而 P1，Q 1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，且 r(A)n，则 r(B)n，即B=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+(4+1)=0，所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一1)=0， 所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关；
7、因为( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A2X=T TX=O=2X 得 =0， 因为 r(OEA)=r(A)一 1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】
8、(A) 不对，如 f=x1x2，令 ，则 f=y12 一 9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C) 不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性
9、无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX 1y12+2y22+3y32，其中 Q 为正交矩阵，取 Y=，则 f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，
10、所以 r(A)=0，从而 A=O，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)=n 一 1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=AE=O，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=2，b=3【试题解析】 由 A=
11、得 ，解得 =5，a=2 ，b=3【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 4【试题解析】 A0 A=一 1EAB T=AA TABT=A (AB) T=一AB =BA=一 4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A1，A 2，A 3)=(1， 2， 3) 得【知识模块】 线性代数三、
12、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 PQ= =ABE【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为P=AB，所以当 P 可逆时，A B0，而PQ= A BE，即 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 A1=1 得(AE)=0 ； 由 A2=1 2 得(A-E) 2=1；由A3=2+3 得(A-E) 3=2， 令 k11+k22k 33=0， (1) (1) 两边左乘 AE 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 AE 得 K31=0，因为
13、10，所以 K3=0，代入(2) 、(1)得 k1=0，k 2=0，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 AX=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E，所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=X 20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2=T T=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0，又由 ， 都是非零
14、向量得 AO，因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一 r(0E 一 A)n 一 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由E 一 A=( 一 1)2(+2)=0 得 1=2=1， 3=一 2当 =1 时，由(EA)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 ；当 =一 2 时，由(一2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 3= ，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 P= ，【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T
15、)，而 r(T)r()=1，r( T)r()=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 A= ，则( )可写为 AX=0， 则()可写为 BY=0，因为1， 2， n 为( )的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A1=A2=A n=0 A(1， 2， n)= 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系，得通解为 k11T+k22T+knnT(k1，k 2，k n 为任意常数) 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1， 3=4=一 1，因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 所以P1 A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A1=21，得 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由E 一 A= =0，得 1=2=2， 3=一 1由(2EA)X=0，得 ，由(一 EA)X=0，得 3= ，显然 A 可对角化，令 【知识模块】 线性代数
