1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 102 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm2 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m1 ， 1 线性相关（B） 1， 2， m1 ， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性无关3 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则
2、A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵4 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A+B = A+B（B）若 AB=0，则 A=O 或 B=O（C） AB=AB（D）AB=AB5 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=06 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向
3、量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关7 设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)二、填空题8 A= ，且 n2，则 An 一 2An1 =_9 设
4、A= =_10 设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则k=_， B=_ 11 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则a=_12 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=O，求(E A)1 14 N 维列向量组 1， n1 线性无关，且与非零向量 正交，证明：1， ， n 1， 线性无关15 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出15 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量
5、线性无关，且 1+22+(n 一 1)n1 =0，b= 1+2+ n16 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；17 求方程组 AX=b 的通解18 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化19 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=O，证明：A 不可以对角化19 设 且 AB；20 求 a；21 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B21 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， 22 计算 PQ；23 证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA1 b24 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= ，其中 n225 设 A 为 n 阶矩阵，
6、A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=025 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+226 求矩阵 A 的特征值；27 判断矩阵 A 可否对角化28 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP29 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P tAP 为正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 102 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析
7、】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m1 线性表示，所以 1， 2， m1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m1 ， 1 线性表示，所以 1， 2， m1 ， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，所以 1+2 不
8、可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=A， 从而 A=(PT)AP1 =(P1 )TAP1 ，A T=(P1 )TAP1 T=(P1 )TAP1 =A，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显然不对，设 ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB=O，所以AB=0 ，(B) 不对，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n
9、，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB =0，选(B) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n 一 r(A)n 一r(B)，从而 r(A)r
10、(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n1 A，A n1 =2n2 A，所以 An 一 2An1 =O【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所以 A*A=AE=2E，而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 于是【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k=1，B=0【试题解析】 令 A= ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以 AB=
11、O 且方程组有非零解，故A=0，解得 k=1，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)23，故B=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a=3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+36a=0，a=3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 由E 一 A= =(+1)( 一 1)2=0 得 1=一 1， 2=3=1，因为 A有三个线性无关的特征向量，所以，r(E 一 A)=1，解得 a=4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 E k 一 Ak=(EA)
12、(E+A+A2+Ak1 )，又 Ek 一 Ak=E，所以(E A)1 =E+A+A2+Ak1 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 令 k0+k11+kn1 n1 =0，由 1， n1 与非零向量 正交及( ， k0+k11+kn1 n1 )=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 20，于是 k0=0，故 k11+kn1 n1 =0，由 1， n1 线性无关得k1=kn1 =0，于是 1， n1 ， 线性无关【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3=31 2， 5=21 2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1，又
13、b=1+2+ n，所以 =n 一 1，即 r(A)=n 一 1 n，所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 1+22+(n 一 1)n1 =0，所以 1+22+(n 一 1)n 1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n1，0) T，又因为 b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T，故方程组 AX=b的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0) T+(1，1， ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由E 一 A= =( 一 2)2=0 得 =2(三重)，因为 r(2E
14、 一 A)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方法一 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以kX=0，注意到 X0，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0(n 重)因为r(OEA)=r(A)1，所以方程组 (OEA)X=0 的基础解系至多含 n-1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 P1 AP= =O，从而有 1=2= n=0，于是 p1 AP=O，进一步得 A=O，矛盾，所以矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数【知
15、识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由E 一 A= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为1=一 1， 2=1， 3=2当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，一1，1) T；当 =1 时，由(EA)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =2 时，由(2EA)X=0 得3=(1，0，0) T，取 P1= ，则 P11 AP1= 当 =一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得， 1=(0，
16、1， 2)T；当 =1 时，由(E B)X=0 得 2=(1，0，0) T；当 =2时，由(2E B)X=0 得 3=(0，0，1) T，取 P2= ，则 P21 BP2= 由P11 AP1=P21 BP2 得(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B，取 P=P1P21 = ，则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 PQ=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 PQ=A 2(B 一 TA1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0 ，即 TA1 b【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AA *=A*A=AE 当 r(A)=n 时， A0，因为A
17、*= A n1 ，所以A *0，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n 一 1 时，由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*0，故r(A*)1，又因为 A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n 一 1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以 A*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A=0，于是 A*b=A*A
18、X=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n1因为r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量由A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系因为 A*b=0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n 一 1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数【知识模
19、块】 线性代数26 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1 一 2)=一( 1 一 2)，A(2 3)=一( 2 一 3)，得 A 的另一个特征值为 2=一 1，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关，所以 2=一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 1 一 2， 2 一 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】
20、线性代数28 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B， 而A*=AA 1 ，B *=B 1 ， 于是由 P1 AP=B，得(P 1 AP)1 =B1 ，即P1 A1 P=B1 ， 故 P1 AA 1 P=AB 1 或 P1 A*P=B*，于是 A*B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P1 AP=B，即 AP=PB， 于是AP=PBPP1 =P(BP)P1 ，故 APBP 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
