1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 103 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且|A|=|1， 2， 3， 1|=m，=| 1， 2， 2， 3|=n，则| 3， 2， 1， 1+2|为( )（A）m+n（B） mn（C） (m+n)（D）nm2 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=0（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=0（D）若 A 可逆，则 A=E3 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关，
2、1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定4 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn
3、 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解6 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对7 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题8 设 D= ，则 A31+A32+A33=_9 设 A= ，BO 为三阶矩阵，且 BA
4、=O，则 r(B)=_10 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_11 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1=1+2，A 2=2+3，A 3=3+1，则|A|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 D= ，求 Ak1+Ak2+Akn12 设 A=E T，其中 为 n 维非零列向量证明：13 A2=A 的充分必要条件是 为单位向量；14 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵15 设矩阵 A 满足(2E C 1 B)AT=C1 ，且 求矩阵 A16 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n1证明：存在常数 k，使得(A
5、 *)2=kA*17 a，b 取何值时，方程组 有解?18 的通解并说明理由19 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=020 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解?有解时求出全部解20 设 A= ，方程组 AX= 有解但不唯一21 求 a；22 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵；23 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵24 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)24E 的特征值为 0，5，32求 A1 的特征值并判断 A1 是否可对角化24 设 A 是 n 阶矩阵， 1
6、， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若 A1=2，A 2=3，A n1 =n，A n=025 证明： 1， 2， n 线性无关；26 求 A 的特征值与特征向量27 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为求 A28 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵29 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学一（线性代数）模拟试卷 103 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 | 3， 2， 1， 1+2|=|3， 2，
7、 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =| 1， 2， 3， 1| 1， 2， 3， 2| =| 1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3|=nm， 选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(EA)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(EA)=0，A=E，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为
8、B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 nS 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】
9、A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以(A)，(B) ，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由|EA|=0，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由|E B|=0得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，
10、B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A35【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 BA=O r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2，1【试题解析】 因为 AB=AO，所以 r(A)+r(B)3，又 BO，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3
11、线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A1，A 2，A 3)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 |A|=(1)n+1n!， 得A*=|A|A1 =(1) n+1n!A1 ，所以 Ak1+Ak2+Akn【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 令 T=k，则 A2=(E T)(E T)=E2 T+kT，因为 为非零向量，所以 TO，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T=2，所以 A2=A的充要条件是 为单位向量【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(EA)=
12、n，因为EA= TO，所以 r(E A)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由(2E C1 B)AT=C1 ，得 AT=(2EC 1 B1 )1 C1 =C(2EC 1 B)1 =(2CB) 1 ，AT=(2CB) 1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 r(A)=n1，所以 r(A*)=1，于是 A*= (b1bn)，其中为非零向量，故(A *)2 (b1bn)=kA*，其中 k= aibi【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)a1 时，r(A)=r()=4，唯一解为 x1= ，x 4=0；(2)a=1，b1 时，r(A
13、)r( )，因此方程组无解；(3)a=1，b=1 时，通解为 X=k1(1，2，1，0)T+k2(1，2，0，1) T+(1，1，0，0) T (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 则()可写为AX=0， 则()可写为 BY=0，因为1， 2， n 为( )的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A1=A2=A n=0 A(1， 2， n)=0 ABT=0 BAT=0 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系得通解为 k11T+k
14、22T+knnT(k1，k 2，k n 为任意常数) 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而|A|=0，于是 A*b=A*AX=|A|X=0反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0有非零解，从而 r(A*)n ，又 A110，所以 r(A*)1，且 r(A)=n1因为 r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而 A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， ， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量由 A110，得2， ， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X
15、=0 的基础解系因为A*b=0，所以 b 可由 2， ， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故r(A)=r( )=n1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A B)，由 r(A)=r(AB)得 a=1，b=2，c=2，此时 AX1=1 的通解为X1 AX2=2 的通解为X2 AX3=3 的通解为 X3 则X=(X1，X 2，X 3) 其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线
16、性代数21 【正确答案】 因为方程组 AX=B 有解但不唯一，所以|A|=0，从而 a=2 或a=1当 a=2 时=23，方程组有无穷多解；当 a=1 时 方程组无解，故 a=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|EA|=(+3)( 3)=0 得 1=0， 2=3， 3=3由(0E A)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3EA)x=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 由(3EA)X=0 得 3=3 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 则 QTAQ【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 A 的三个特征值为
17、 1， 2， 3，因为 B=(A*)24E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6 又因为|A *|=36=|A|31 ，所以|A|=6 由|A| 1=2，|A| 2=3，|A| 3=6，得 1=3， 2=2， 3=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A1 的特征值为 1，12，1 3 因为 A1 的特征值都是单值，所以 A1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则x1A1+x2A2+xnAn=0 x12+x23+xn1 n=0x1A2+
18、x2A3+xn1 An=0x13+x24+xn2 n=0x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得 x2=xn=0，所以1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A( 1， 2， n) 令P=(1， 2， n)，则 P1 AP =B，则 A 与 B 相似，由|E B|=0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)=n1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为kn(k0)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的
19、特征向量 1= ，A 1=51又 AX=0 的通解为则 r(A)=1 2=3=0，其对应的特征向量为2 A2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得x1=8， x2=1 ，x 3=2，则 A=8A1A 22A 3=8A1=40【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X 0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 必要性：设 BTAB 是正定矩阵，则对任意的X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 充分性：反之，设 r(B)=n，则对任意的X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0， 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
