1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，A+B，A 1 +B1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B1 )1 等于( )（A）A+B（B） A1 +B1（C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 12 则m，n 可取( )（A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=23 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可
2、由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3， n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆4 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n5 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )二、填空题6 设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|BA|=4，则|EAB T|=_7 设 A，B 都是三阶矩阵，A= ，且满足(A *)1
3、 B=ABA+2A2，则B=_8 设 A= ，|A|0 且 A*的特征值为 1，2，2，则a11+a22+a33=_9 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：|A|011 设 是 n 维单位列向量，A=E T证明：r(A)n12 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n13 设向量组() 1， 2， 3； () 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩
4、为 3，而向量组()的秩为 4 证明：向量组1， 2， 3， 5 4 的秩为 414 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示14 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关15 证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；16 设 1= ，求出可由两组向量同时线性表示的向量17 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 2 线性相关18 设 ， 1， 2， 3， 4 为四
5、元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中19 证明：r(A)=r(A TA)20 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r(0 rn)求|5E+A|20 设矩阵 A= 为 A*对应的特征向量21 求 a，b 及 对应的 A*的特征值；22 判断 A 可否对角化22 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+223 求矩阵 A 的特征值；24 判断矩阵 A 可否对角化25 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 An26 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A是否可对角化，若可对角化，
6、求出可逆矩阵 P 及对角阵27 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零28 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q考研数学一（线性代数）模拟试卷 105 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) 1 B(A1 +B1 )=(A+B)A1 1 (BA1 +E)=(BA1 +E)1 (BA1 +E)=E，所以选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确
7、答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 =E13，且 Eij2=E，P 1mAP2n=P1AP2，则 m=3，n=5，即选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方
8、程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 4【试题解析】 |A| 0 |A|=1|EAB T|=|AAT ABT|=|A|(AB)T|=|AB|=|BA|= 4【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析
9、】 |A|=3，A *=|A|A1 =3A 1 ，则(A *)1 B=ABA+2A2 化为13AB=ABA+2A 2，注意到 A 可逆，得13B=BA+2A 或B=3BA+6A，则B=6A(E+3A) 1 ， 则B=6A(E+3A) 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 因为|A *|=|A|2=4，且|A|0，所以|A|=2，又 AA*=|A|E=2E，所以A1 =12A *，从而 A1 的特征值为12，1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为2，1，1，于是 a11+a22+a33=21+1=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4【试题解析】 由
10、|EA| =(+1)(1) 2=0 得1=1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)=1，解得a=4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 |A|=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A 2=(E T)(E T)=E2 T+T T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 A(EA)=O 得 r(A)+r(EA)n，又由 r(A)+r(EA)rA
11、+(EA)=r(E)=n ，得 r(A)+r(EA)=n 因为 EA= TO，所以 r(EA)=r(T)=r()=1，故 r(A)=n1n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A) ，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无
12、关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示反之，设任一 n 维向量总可由1，
13、 2， n 线性表示，取 e1 则 e1，e 2，e n 可由 1， 2， ， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=l 11l 22 令=k11+k22=l 11l 22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，
14、l 2都不全为零，所以 0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令 k11+k22+l11+l22=0，A=( 1， 2， 1， 2)所以 =k1 3k2=k 1+02【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以 A1=0，A 2=0，即1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程组的基础解系为【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可若 AX
15、0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0 (AX0)T(AX0)=0 AX0=0，所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A2=A A(EA)=O r(A)+r(EA)=n A 可以对角化由A2=A，得|A|EA|=0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 1因为 r(A)=r 且0r n，所以 0 和 1 都为 A 的特征值，且 =1 为 r 重特征值，=0 为 nr 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r 重)，=5(nr 重 )，故|5E+A|=5 nr 6r【知识模
16、块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有|A|=12，设 A 的另外两个特征值为2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为|A| 1=4【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 2EA 因为 r(2EA)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1 2)=( 1 2)，A( 2 3)=( 2
17、3)，得 A 的另一个特征值为 2=1 因为 1， 2， 3 线性无关，所以1 2 与 2 3 也线性无关，所以 2=1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 1 2， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由|EA| =0，得 1=2=1， 3=2因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1，即 a=1，故 A 由 =1 时，由(EA)X=0，得 1 由 =2 时，由(2EA)X=0，得 3= 令P=(1，
18、 2， 3) 两边 n 次幂得 P1 AnP【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 |EA| =(+a1)( a)( a1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1a， 2=a， 3=1+a(1) 当 1aa ，1a1+a，a1+a，即a0 且 a1 2 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1a 时，由(1 a)EAC=0 得 1= ； 2=a 时，由(aEA)X=0 得 2=； 3=1+a 时，由(1+a)EAX=0 得 3(2)当 a=0 时， 1=3=1，因为r(E A)=2，所以方程组(EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以
19、对角化(3)当 a=12 时， 1=2=12，因为 r(12E A)=2，所以方程组(1 2EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0， X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0所以 (AX) T(AX)=T=20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型A TA 为正定矩阵，所以 ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为f=XTAX 所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而|E A|=3(a+4) 2+(4ab 2+2)+(3a2b+2b 2+2)，所以有 3(a+4)2+(4ab 2+2)+(3a2b+2b 2+2)=(1) 2(4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(EA)X=0 得 1 3=4 时，由(4EA)X=0 得 3= 显然1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数
