1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 106 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (AB) *=A*B *（D）(A+B) *一定可逆2 则B1 为 ( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P13 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零
2、解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2 则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则
3、A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题6 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=a0 ，则|(kA) *|=_7 8 设 1= ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_9 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=12， 3=12，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，3 1， 2)，则 P1 (A1 +2E)P=_10 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= ，其中 n213 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线
4、性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆14 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，A k1 线性无关15 设齐次线性方程组 其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解16 (1)求()，()的基础解系；(2) 求()，()的公共解16 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n17 证明 r =n；18 设 1， 2， r，与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2，
5、s 线性无关19 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( )=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 nr+1 个20 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵20 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A1= 1+22+23，A 2=21 22 3，A 3=212 2 321 求矩阵 A 的全部特征值；22 求|A *+2E|22 设方程组为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=2， 3=1 的特征向量23 求 A；24 求|A *
6、+3E|25 求 a，b 及正交矩阵 P，使得 PTAP=B26 (1)设 A， B 为 n 阶矩阵，|EA|=|EB| ，且 A，B 都可相似对角化，证明：AB(2)设 A= ，矩阵 A，B 是否相似? 若 A，B 相似，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B27 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵28 设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当|X|= 时 XTAX 的最大值考研数学一（线性代数）模拟试卷 106 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=|AB|(A
7、B)1 =|A|B|B1 A1 =|B|B1 |A|A 1 =B*A*，所以选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以B1 =P21 P11 A1 或 B1 =P11 P21 A1 ，注意到 Eij1 =Eij，于是 B1 =P2P1A1 或B1 =P1P2A1 ，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1，
8、2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n1， 2 1，为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但，r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵
9、P，使得 P1 AP故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 k n(n1) an 1【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，且|A *|=|A|n1 ，所以 |(kA) *|=|kn1 A*|=kn(n1)|A|n1 =kn(n1) an1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 =E12，因为 Eij1 =Eij，所以 Eij2=E，【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1， 2，且【试题解析】 1， 2 (1， 2， 3， 4)则向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 P
10、 1 (A1 +2E)P=P1 A1 P+2E，而 P1 A1 P 所以P1 (A1 +2E)P【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 由|EA|=0 得 A 的特征值为 1=2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 方法一=(a2b 2)n 方法二 D2n=a2D2n2 b 2D2n2 =(a2b 2)D2n2 =(a2b 2)n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 AA *=A*A=|A|E 当 r(A)=n
11、时，|A|0，因为|A *|=|A|n1 ，所以|A*|0，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n1 时，由于 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为|A|=0，所以AA*|A|E=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n 1 时，由于 A 的所有 n1 阶子式都为零，所以 A*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以
12、r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 令 l0+l1A+l k1 Ak1 =0(*)(*)两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 =0，因为 Ak1 0，所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak2 得 l1Ak1 =0，因为Ak1 0，所以 l1=0，依次类推可得 l2=lk1 =0，所以 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 =a+(n1)b(ab) n1 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当
13、 a=b 时，方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其通解为 X=k1(1，1，0，0) T+k2(1，0，1，0)T+kn1 (1，0，0，1) T (k1，k 2，k n1 为任意常数)；当 a=(1n)b 时，r(A)=n1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (2)方法一()，() 公共解即为 X=0 的解，()，()的公共解为 k (k 为任意常数)方法二() 的通解故()，() 的公共解为(k ，k，2k，k) T=k(1，1，2，1) T(k 为任意常数)方法三()的通解为
14、 k11+k22 令k11+k22=l11+l22 ()，()的公共解为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)=r(C D =n；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 r =n，所以方程组 X=0 只有零解，从而方程组 AX=0与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有nr 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+0，
15、2=2+0， nr =nr +0，显然0， 1， 2， nr ，为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+knr nr =0，即 (k 0+k1+knr )0+k11+k22+knr nr =0， 上式两边左乘 A 得(k0+k1+knr )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+knr =0，于是 k11+k22+knr nr =0， 注意到 1， 2， nr ，线性无关，所以k1=k2=knr 0， 故 0， 1， 2， nr 性无关，即方程组 AX=b 存在由 n=r+1个线性无关的解向量构成的向量组设 1， 2， ， nr+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解，
16、 令 1=2 1， 2=3 1， nr+1 =nr+2 1，根据定义，易证1， 2， ， nr+1 线性无关，又 1， 2， nr+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 nr+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意nr+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为nr+1 个【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)=1， 所以x=2，y=2由 |EA| =(2) 2(6)=0 得1=2=2， 3=6由(2EA)X=0 得 =2 对应
17、的线性无关的特征向量为 1由(6E A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A( 1， 2， 3) 因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 由|EA|=|E B|=(+5)(1) 2=0，得 A 的特征值为5，1，1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为|A|=5，所以 A*的特征值为 1，5，5，故 A2+2E 的特征值为 3，3，3 从而|A *+2E|=27【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以=a22a+1=0 ，解得 a=
18、1令 P=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 |A|=2，A *对应的特征值为|A| 1，|A| 2，|A| 3，即2，1，2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以|A *+3E|=10【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 解得a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1 时，由(E A)X=0，得 1= 当 =0 时，由(0EA)X=0，得 2= 当 =6 时，由(6E A)X=0，得 3再令P=(1， 2， 3) 则有 PTAP=B【知识
19、模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)因为|EA|=|EB|，所以 A，B 有相同的特征值，设为1， 2， n，因为 A，B 都可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得由 P11 AP1=P21 BP2 得(P1P21 )1 A(P1P21 )=B，取 P1P21 =P，则 P1 AP=B，即 AB(2)由|EA|=(1) 2(2)=0 得 A 的特征值为 1=2， 2=3=1；由|E B| =(1) 2(2)=0 得 B 的特征值为 1=2， 2=3=1A 的属于 2=3=1 的线性无关的特征向量为 2B 的属于2=3=1 的线性无关的特征向量为 2则 P1 AP=B【知识模块
20、】 线性代数27 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=pPTAP所以 PTAP 为对称矩阵对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X 为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a3)=0 ，即a=1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aij0(i=1，2，3)，所以 a=3当a=3 时，由|E A| =(1)( 4)(10)=0 得 A 的特征值为1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当X= 时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=X2=2 所以当X= 时，X TAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 线性代数
