1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆2 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=0，则 ( )（A）A 不可逆，且 EA 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=03 设 A，B 是 n 阶方阵，
2、AB=0B0 ，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） B 0（C） B* =0（D）A *=04 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则A *= ( )（A）A（B） A-1（C） An-1（D）A n5 A 是 n 阶方阵，A=3则(A *)*= ( )（A）（B）（C）（D）3 n-16 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A *是 A 的伴随阵，则(A *)*= ( )（A）A n1 A（B） A n+1A（C） A n2 A（D）A n+2A7 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=AE（B） (A*)TA*=A *E（C） A*(A*)T
3、=E（D）(A *)TA*=一 E8 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A -1)2=A2+2AA-1+(A-1)2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E29 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论：A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=
4、A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；AE 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题11 设 ,n2 为正整数，则 An2A n-1=_12 设 则 A-1=_13 已知 A2 一 2A+E=0，则 (A+E)-1=_14 设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) *=_15 设 则(A *)-1=_16 设 B=(E+A)-1(EA)，则 (E+B)-1=_17 已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2
5、列对换得到 B1，又 则 AB=_18 设 则 B-1=_19 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A =0 ， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_20 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则A+E=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，A0，求A+E22 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解23 设 B=2AE，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A24 设 A 是 n 阶
6、矩阵，证明：A=0 的充要条件是 AA2=O.24 设25 证明：当 n3 时，有 An=An-2+A2 一 E；26 求 A10027 设 (1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；(2)设 A 是二阶方阵，当k2 时，证明：A k=0 的充分必要条件为 A2=028 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵29 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*30 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A *=( 一 A)*(n2)考研数学一（线性代数）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则A=0，B=0 ，故AB= AB=0，AB 不可逆A 中 AB=E，但未指出是方阵，若则 AB=E，但 A，B 均无逆可言B 中，取 B=-A，则A+B=A-A=0 不可逆C 中，取 均不可逆，但 AB=E 是可逆阵【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=0，有 E3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E，E 3 一 A3=(E 一 A)(A2+A+E)=E，故 A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知，E 一 A，E+A 也均可逆，故 A，B 不成立，同时 D 不成立，例
8、：【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 AB=0 ，不一定有 BA=0，故 A(A+B)=A2+B2，不成立；B0，B可以为零，也可以不为零，B *也可以为零，可以不为零，故 B，C 不成立；B0，AB=0，AX=0 有非零解，故A=0，从而A *=A n-1=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，两边取行列式，得A A *=A n若A0，A *=A n-1=A n-1；若A=0，则A *=0，故选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 A=3，A 可逆【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=A
9、E，得【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 是正交阵，所以有【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知：(A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换由于 A 与 A-1，A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故 ACD中的等式都是成立的故选 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么A *=A T，也即A 2=A，即
10、A (A 一 1)=0又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故A=1因此，A 可逆并且 AAT=AA*=AE=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 B【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，AE B0，故B 0 ，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时，AB=A B0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当B 可逆时， A 可逆，故AB=AB 0，因此 AB 可逆，故
11、 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由 AB=A+B 可知(AE)BA=0，也即(A E)B 一(AE)=E，进一步有 (AE)(B 一 E)=E，故 AE 恒可逆可知 也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 O【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 用初等变换求。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数
12、17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=A 一(-2E)=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值由AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=1， 2=一 1， 3=一 2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(一 1)=一 1， 1+2(2)=一 3，从而E+2B=3(一 1)(一 3)=9，A= 123=2故A+2AB= A( E+2B)= A .E+2B=29=18【知识模块】 线性代数20
13、 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n 一 1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n 一 1 重)，6，故A+2E=3 n-16=23n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 A+E= A+AA T=A(E+A T)=A .(A+E)T =A.A+E【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因 a1,a2 ,an 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A 0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 其中
14、A I是 b代换A中第 i 列得的行列式，有A 1=A，A i=0 ，i=2 ，3，n 故AX=b 的唯一解为 x=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A24A+E ，【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 则若应有，即 aij=0(i=1，2，n；j=1，2，n)，即 A=O.反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用归纳法n=3 时，因 验证得A3=A+A2E，上式成立假设 n 一 1 时(n 3 时) 成立，即 An-1=An-3+A2 一 E 成立，则 A
15、n=A.An-1=A(An-3+A2 一 E)=An-2+A3 一 A=An-2+(A+A2 一 E)一 A=An-2+A2 一 E 故An=An-2+A2 一 E 对任意 7n(n3)成立(2)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由上述递推关系可得 A100=A98+A2 一 E=(A96+A2 一 E)+A2 一E=A96+2(A2 一 E)=A2+49(A2 一 E)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1) 令解得x=a+d，y=bc-ad即 A2=(A+d)A+(bc-ad)E(3)充分性 A2=0A k=0,k2,显然成立；必要性 A k=OA=adbc=0，由(1)知
16、 A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k-1A=O=0或 a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=O【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性与任何对角阵可交换则应与对角元素互不相同的对角阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 AT=( A*A 一 1)T=A(A 一 1)T=A(A T)-1=A T(A T)-1=(AT)*【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 A=( aij)nn，A的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A 的元素一 aij 的代数余子式为 Bij=(一 1)n 一 1Aij， 于是(一 A)*=(一 1)n 一 1(Aij)nn=(一 1)n一 1A*，所以 (一 A)*=(一 1)n-1A*=(一 1)n-1nA *=A *【知识模块】 线性代数
