1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 111 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A1 +B1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵2 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )3 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m1 ， 1 线性相关（B） 1， 2， m1 ， 1， 2 线性相关（C） 1
2、， 2， m， 1+2 线性相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性无关4 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTA
3、Q 为对角阵6 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵二、填空题7 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A= 一 2，则行列式一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1=_8 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_9 若矩阵 A= ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=O，则 t=_10 设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T，其中 a0，又 A=E 一 T，B=E+ T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_11
4、 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，3) T，则2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _12 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n1，则方程组 AX=0 的通解为_13 设 AB，其中 ，则x=_，y=_14 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X16 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关17 设 A 为 nm 矩阵，B 为
5、mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关18 设 的三个解，求其通解19 设 A= ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0 的通解19 设 A= 有三个线性无关的特征向量20 求 a；21 求 A 的特征向量；22 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵23 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量23 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 23A=O，设(1，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量24 求 A 的特征值；25 求矩阵 A26 设非零 n 维列向量
6、 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化26 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1)x 12(a 1)x 222x 322x 1x2(a0)的秩为 227 求 a；28 用正交变换法化二次型为标准形29 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1考研数学一（线性代数）模拟试卷 111 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 1 +B1 )T=(A1 )T+B1 )T=A1 +B1 ，得 A1 +B1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得
7、 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 ，所以，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m1 线性表示，所以 1， 2， m1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m1 ， 1 线性表示，所以 1， 2， m1 ， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，
8、所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 只有零解，而 无解，故(A)不对；方程组 有非零解，而 无解，故(B)不对；方程组 无解，但 只有零解，故(C)不对；若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)= n，从而 r(A)n ，故方程组 AX=0 一定有非零解，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数
9、6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP= ，从而 A=(PT)1 P1 =(P1 )T P1 ，A T=(P1 )T P1 T=(P1 )T P1 =A，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 12【试题解析】 由(一 A12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1)=(A1，A 2，A 3)得A 1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1=A 1，A 2，A 3= =12【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 T=3，A 2=T T=3T=3A，则 An=3n1 A=【知识模块】 线性代数9
10、 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3，因为 r(B)1，所以 r(A)2，又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2，由 A=得 t=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 AB=(E 一 T)(E+ T)=E+ T 一 T2a T=E 且 TO，得 一 12a=0，解得 a=一 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2=一 123+34【试题解析】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解，所以 1+22 334=0，故2=一 123+34【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (其中 k
11、为任意常数)【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数，因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 x=3，y=1；【试题解析】 因为 AB，所以 ，解得x=3，y=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 令 ，3=3，正交规范化的向量组为 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 A 一 2E= ，因为A 一 2E=一
12、 10，所以 X=(A 一 2E)1 A【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方法一令 k1(1+2+3)+k2(1+223 3)+k3(1+42+93)=0，即(k1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k29k 3)3=0，因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 而 D= =20，由克拉默法则得k1=k2=k3=0，所以 1+2+3， 1+22+33， 1+429 3 线性无关方法二令A=(1， 2， 3)，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+429 3)，则 B=可逆，所以 r(B)=r(A)=3，故1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【
13、知识模块】 线性代数17 【正确答案】 首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2 一 1)+k2(3 一 1)+1=k1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A ，因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 X= (k1，k
14、 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由E A= =(+2)( 一 1)2=0 得矩阵 A的特征值为 1=一 2， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)=1，由 EA= 得 a=一 1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 将 =一 2 代入(EA)X=0，即(2E+A)X=0由 2E+A=得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为1= ；将 =1 代入(E 一 A)X=0，即(E A)X=0由 E 一 A=得 =1 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 P= ，
15、则 P1 AP= 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1 一 )X1+(2 一 )X2=0， 而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 2 一 3A=O =0，3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一 x
16、3=0，则0 对应的特征向量为 2=(一 1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2=T T=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= N=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)=1，所以 n 一 r(0EA)=n 一 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A= ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)=2，从而a=2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A= ，由EA=0 得 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 ；当 =0 时，由(0EA)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 1， 2 两两正交，单位化得 ，令 Q=，则 f=XTAX YT(QTAQ)Y=2y122y 22【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10， 20， n0 ，因此 A+E 的特征值为1+11， 2+11， n+11，故A+E=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数
