1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 112 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 皆为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0（C） AB=0 且 r(A)=n，则 B=0（D）若 AB0，则A0 或B02 设，则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P13 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）
2、向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价4 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解（C）若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值
3、都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)二、填空题7 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A=3，B =4，则5A 一 2B=_8 A= ，且 n2则 An 一 2An1 =_9 设 A= ，则 A1 =_10 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A1 BA=6A+BA，且 A= ，则B=_11 设向
4、量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+2 一 3， 2+3 线性相关，则 a=_12 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_13 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_14 设二次型 2x12+x22+x32 2x1x2ax 2x3 的秩为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 D= 15 计算 D；16 求 M31+M33+M3417 设 A= (ai0，i=1，2，n)，求 A1 18 设
5、 1， m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，则 一 1， 一 m 线性无关19 设 1， 2， ， M， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示20 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出21 就 a，b 的不同取值，讨论方程组 解的情况21 设 为 A 的特征向量22 求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量23 A 可否对角化? 若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵24 ，求A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化24 设
6、 A= 25 证明 A 可对角化；26 求 Am27 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件27 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵) 求：28 二次型 XTAX 的标准形；29 EA+A 2+An的值考研数学一（线性代数）模拟试卷 112 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 O，显然 AB=O，故(A) 、(B) 都不对，取 A= ，但A =0 且B=0，故(D)不对；由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所
7、以选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 列及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则，即方程组 AX=b 一定有解，选(D) 【知识模块】 线性
8、代数5 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5 2)一(2，2 1，2 2)=(5 一 2，3 1，3 2)，得 5A 一 2B= 5 一 2，3 1
9、，3 2=95 一2， 1， 2 =9(5， 1， 2=2 ， 1， 2)=63【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n1 A，A n1 =2n2 A，所以 An 一 2An1 =O【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由 A1 BA=6A+BA，得 A1 B=6E+B，于是(A 1 一 E)B=6E，B=6(A 1 一 E)1 = 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2
10、， 3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3 线性相关，所以=0，解得 a=5【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数 )【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)=n1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=O，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征
11、向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为 =0 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a= 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 M 31+M33+M34=1A31+0A32+1A33+(一 1)A34【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 B= ，C=(a n)，【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 k1( 一 1)+km( 一 m)
12、=0，即 k1(2+3+ m)+km(1+2+ m1 )=0 或(k 2+k3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km1 )m=0，因为 1， m 线性无关，所以因为 =(一 1)m1 (m1)0，所以k1=km=0，故 一 1， 一 m 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1， 2，
13、 4 为一个极大线性无关组， 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 D= =a(a 一 b)(1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 ，x 3=0；(2)当 a=0 时，因为 r(A) ，所以方程组无解；(3)当 a=b0 时，方程组有无穷多个解，通解为 X= (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A= 得 ，即 ，解得a=1，b=1，=3由E 一 A= =( 一 2)(3)=0 得1=0， 2=2， 3=3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化将 1
14、=0 代入(EA)X=0 得 1=0 对应的线性无关特征向量为 1= ；将 2=2 代入(E A)X=0 得 2=2 对应的线性无关特征向量为 2= ；将 3=3 代入(EA)X=0 得3=3 对应的线性无关特征向量为 3= ；令【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 (k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k 得 1= n1 =0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系含有n1 个线性无关的解向量，即 =0 有 n 一
15、1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由E A=( 一 1)2(+2)=0 得 1=2=1， 3=一 2当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 ；当 =一 2 时，由(一 2EA)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 3= ，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由E 一 A= =(+1)( 一 1)2 得 1=一1， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1，由 E 一 A= 得 x+y=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 A2=A，所以AE A=0，即 A 的特征值为 0 或者1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(nr 重) ，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+y r2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r重)，故 E+A+A2+A n=B=(n1) r【知识模块】 线性代数
