1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则为( ) （A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B03 设 ，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2 1AP1（D）B=P 11 AP214 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任
2、意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关5 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( ) （A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 46 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 A，B 为 n 阶实对称
3、矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） AB （D）A，B 与同一个实对称矩阵合同二、填空题8 设 A= ，则(A+3E) 1 (A2 一 9E)=_9 设 A= ，则 A1 =_10 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_11 设 ，且 ， 两两正交，则a=_，b=_12 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_13 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_14 设 5x12+x22+tx32+4x1x2
4、一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=O求：15 (A+2E)1 ；16 (A+4E)1 17 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=O，求(E A)1 18 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n+1 线性无关19 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t20 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系21 设
5、向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)21 设 0 为 A 的特征值22 证明：A T 与 A 特征值相等；23 求 A2，A 2+2A+3E 的特征值；24 若A0，求 A1 ，A *，EA 1 的特征值25 设 = ，A= T，求6EA n26 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=O证明：A 不可以对角化26 设 AB， 27 求 a，b；28 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B28 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)= 29 记 X
6、=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；30 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?考研数学一（线性代数）模拟试卷 113 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 246=一 48，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P S，Q 1，Q T，使得 B=PSP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，且 r(A)n，则
7、r(B)n，即B=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B= =P1AP21 ，因为 P11 =P1，所以应选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=AE=O，所以 1， 2，
8、3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为A*X=0 的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=TO，则 r(A)1，又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A2X=T TX=O=2X 得 =0，因为 r(0EA)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同
9、，则 A，B 的正、负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) 1 (A2 一 9E)=(A+3E)1 (A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a=一 4，b=一 13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 ，解得 a=一 4，b=一 13【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】
10、k 1+k2+ks=1，显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 2 一 3)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数
11、14 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，所以有 50， =10，A0，解得 t2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1 = A【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E)1 = (A 一 2E)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 E k 一 Ak=(E 一 A)(E+A+A
12、2+Ak1 )，又 Ek 一 Ak=E，所以(E 一A) 1=E+A+A2+Ak1 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn1 +xn)n0，因为 1， 2， n 线性无关，所以有，该方程组系数行列式 Dn=1+(一 1)n1 ，n 为奇数Dn0 x1=xn=0 1+2， 2+3， n+1 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1 口，2， 3=0 ，而 1， 2， 3= =(t+1)(t+5)，所以 t
13、=一 1 或者 t=一 5，因为任意两个向量线性无关，所以 t=一 5【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 AX=0 x11+x22+x33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此 AX=0 的一个基础解系为 = 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s线性无关，故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为EA T= (EA) T=EA，所以 AT 与 A 的特征值相等【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因
14、为 A=0(0)， 所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)， 于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为A= 12 n0，所以 00，由 A=0 得 A1 = ，由A*A=A 得 A*= ，又(E A1 )=(1 )，于是 A1 ，A *，E A1的特征值分别为 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A= T，由 EA= 2(2)=0 得 1=2=0， 3=2，因为 6E 一An 的特征值为 6，6，62 n，所以6E 一 An=6 2(62n)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令
15、 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以 kX=0，注意到 X0，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0(n 重) 因为 r(0E 一 A)=r(A)1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系至多含 n1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 EA=( 一 2)2 一(a+3)+3(a 一 1)=f()， 因为 =2 为 A的二重特征值，所以 a=5， 于是E A=( 一 2)2( 一 6)，故 b=6【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由(2E A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为；由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3=令 P= ，则 P1 AP=B；【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 f(X)=(x 1，x 2，x n)*X，因为 r(A)=n，所以A 0，于是 A*=A1 ，显然 A*，A 1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(x)=XTAX 规范合同【知识模块】 线性代数
