1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 114 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA=0，则2EA 2为( )（A）0（B） 54（C）一 2（D）一 242 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定3 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组() ： 1， 2， n；()： 1， 2， n；(
2、)： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关4 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52535 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充
3、分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 EAE B6 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A1 +B1（C） A*+B*（D）AB7 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P11 AP1，P 21 BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P1 (AB)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B8 设 ，
4、则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似二、填空题9 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要条件是 _10 设 A= ，则(A *)1 =_11 设 A= ， B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(A)=_12 设 为三维空间的两组基，则从基 1， 2， 3 到基 e1，e 2，e 3 的过渡矩阵为_13 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则 k=_，B=_ 14 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1 ，则4A *+3E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A，B 为 n 阶矩阵
5、，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O15 设 A，B 为 n 阶矩阵， 16 求 PQ；17 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆18 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=AE 证明：A=A *19 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关20 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量21 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，
6、求方程组 AX=0 的通解21 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T22 求方程组 AX=0 的通解；23 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量24 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，求 An25 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， ，求A25 设 且 AB26 求 a；27 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B27 设 C= 为正定矩阵，令 P= 28 求 PTCP；29 证明：DBA 1 BT 为正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 114 答案与解析一、选择题下列每题
7、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A 有特征值一 1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2=54 ，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， N
8、)n，故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，于是 P1 (EA)P=EP1 AP=EB，即 EAEB ；反之，若 EAEB，即存在可逆矩阵 P，使得 P1 (EA)P=EB，整理得 E一 P1 AP=EB，即P1 AP=B，即 AB，应选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】
9、D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以A1 ，B 1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为C 可逆，所以当 X0时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证A1 +B1 与 A*+B*都是正定矩阵，选 (D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由EB=0得 B 的特征
10、值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(AB)=A2+BAAB B 2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 A=10，因为 A*=AA 1 ，所以 A*=10A1 ，故(A *)1 =【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数12 【
11、正确答案】 【试题解析】 令过渡矩阵为 Q，则(e 1，e 2，e 3)=(1， 2， 3)Q，Q=( 1， 2， 3)1 (e1，e 2，e 3)由 得过渡矩阵为 Q= 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 k=1，B=0 ；【试题解析】 令 A= ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以 AB=O 且方程组有非零解，故A=0，解得 k=1，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3且 r(A)1，于是 r(B)23，故B=0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 10【试题解析】 A= ，A *的特征值为 ，4A *+3E 的特征值为5，1，2，于是4A *+3E=10【知识模
12、块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=O 或AB=一 BA，AB= 一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=O【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 PQ= =A B E【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为P=AB，所以当 P 可逆时，A B0，而PQ= A BE，即 PQ=E，于是 Q 可逆且 Q1 = 【知识模块】 线性代数18 【
13、正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0； 由 A2=1+2 得(AE) 2=1；由A3=2+3 得(A E)3=2， 令 k11+k22+k33=0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 AE 得 k31=0，因为 10，所以 k3=0，代入(2)、(1)得 k1=0，k 2=0， 故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (反证法)不妨设 0，令 k11+k22+knn+k0=0，上
14、式两边左乘T 得 k1T1+k2T2+knTn+k0T=0 因为 1， 2， n 与 正交，所以k0T=0，即 k02=0，从而 k0=0，于是 k11+k22+knn=0，再由1， 2， n 线性无关，得 k1=k2=kn=0，故 1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31 一 3 一 5， 4=21+3+65 得方程组 AX=
15、0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)T， 2=(2，0， 1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一 1)T+k2(2，0，1，一 1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 1=( ，1，0，0) T， 2=( ，0，1，0)T， ， n1 =( ，0，0，1) T，则方程组 AX=0 的通解为k11+k22+kn1 n1 (k1，k 2，k n1 为任意常数)【知识模块】 线性代数23
16、【正确答案】 因为 A2=kA，其中 k=(，)= 0，所以 A 的非零特征值为k，因为 A=T=k，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 =x11+x22+x33，解得 x1=2，x 2=一 2，x 3=1，则 An=2An1一 2An2+An3= 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由E A= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得
17、A，B 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，一 1，1) T；当 =1 时，由(EA)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =2 时，由(2EA)X=0 得 3=(1， 0，0) T，取 P1= ，则P11 AP1= 当 =一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得1=(0，1，2) T；当 =1 时，由(EB)X=0 得 2=(1，0，0) T；当 =2 时，由(2EB)X=0 得 3=(0，0，1) T，取 P2= ，则 P21 BP2= 由P11 AP1=P21 BP2 得(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B，取 P=P1P21 =，则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 C= 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D，P TCP=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以为正定矩阵，故 A 与 DBA1 BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数
