1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 117 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解，则（A）A *0 的解均是 A0 的解（B） A0 的解均是 A*0 的解（C） A0 与 A*0 无非零公共解（D）A0 与 A*0 仅有两个非零公共解2 设 n 阶矩阵 A 的行列式Aa0(n2)， 是 A 的一个特征值，A *为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A *)*的一个特征值是（A） -1an-1（B） -1an-2（C） an-2（D）a n-1二、填空题3 设 mn
2、 矩阵 其中 ai0(i1，2，m) ，bi0(y1，2，n)，则线性方程组 A0 的基础解系中解向量的个数是_4 已知口是齐次方程组 A0 的基础解系，其中 A ，则a_5 已知方程组 有无穷多解，则其通解是_6 已知 1( 3，2，0) T， 2(1，0，2) T 是方程组的两个解， 则方程组的通解是_7 设 1(1，3，2) T， 2(2，1，3) T 是 A0 的基础解系，又 B0 和 A0是同解方程组，已知 (2，a，b) T 是方程组 的解，则_8 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，1，那么 (A2E) 2 的特征值是_9 设 n 阶矩阵 A 满足条件 AAT4E，A 的
3、行列式 A0，但2E A 0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值是_10 已知 ，若矩阵 A 与 T 相似，那么 (2AE) *的特征值是_11 设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足 A43A 33A 22A0，则矩阵 A 的 n个特征值是_12 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 P-1AP ，且1 ， 2 是矩阵 属于特征值 A=3 的特征向量，则 P_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 解方程组14 设 ，若 T T3，求此方程组的通解15 设矩阵 A( 1， 2， 3)，线性方程组 A 的通解是(1，2，
4、0) Tk(2，1，1)T，若 B( 1， 2， 3，5 3)，求方程组 By 3 的通解16 已知齐次线件方程组同解，求 a，b，c 之值并求它们的通解17 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)n，证明齐次方程组 AB0 与B0 同解18 设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 A0 的解全是方程b11b 22b nn0 的解，证明向量 (b 1， b2，b n)可由 A 的行向量线性表出19 证明 n 元非齐次线性方程组 Ab 有解的充分必要条件是 AT0 的解全是bT0 的解20 已知齐次线性方程组有非零公共解，求 a 的值及其所有公其解21 已知 3 阶矩阵 A 与
5、 3 维列向量 ，若 ，A ，A 2 线性无关，且A33A2A 2，试求矩阵 A 的特征值与特征向量22 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关的列向量，其中 1 是齐次方程组A0 的解，又知 A2 12 2，A 3 13 2 23 ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； () 判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由； ()求秩 r(AE)23 已知矩阵 A 与对角矩阵相似，求 a 的值，并求可逆矩阵 P，使 P-1AP24 已知矩阵 A 和 B ，试求可逆矩阵 P，使 P-1APB25 设 A ，向量 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，若A2，求 a，b，c 及
6、 0 的值考研数学一（线性代数）模拟试卷 117 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解向量，所以方程组A0 的基础解系中解向量个数 nr(A)2，即 r(A)n2，由此得知 A*0任意 n 维列向量均是方程组 A*0 的解因此，方程组 A0 的解均是 A*0 的解，选项 B 正确选项 A 显然不对 对于选项 C，D，由于方程组 A0 的基础解系至少含有两个解向量，故 A0 有无穷多个非零解与 A*0 的公共解也是有无穷多个非零解显然选项 C，D 不正确，故应选 B【知识模块】 线性
7、代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*AE 得 A*AA -1对 A*应用此式，得 (A *)*A *(A *)-1A A-1(AA -1)-1 A n.A -1(A -1A)A n-2Aa n-2A 于是，由 是 A 的一个特征值知，a n-1 是(A *)*的一个特征值，故选C【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 n1【试题解析】 对矩阵 A 作初等变换，由于 ai0(i1，2，m)，bj0(j1，2，n)，可得于是，r(A)1所以，线性方程组 A0 基础解系中解向量的个数是 n1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 0【试题解析】 因为 A 是 43 矩阵，基础解
8、系中仅一个解向量，故 3r(A)1，即r(A)2可见 a0【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (3，1，0) Tk(5，2，1) T，k 为任意实数【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有若 a3，则 r(A)2，r( )2，方程组有无穷多解 按解的结构，通解为(3， 1，0) Tk(5，2，1) T，k 为任意实数【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 ，k 为任意实数【试题解析】 要搞清解的结构就应当知道秩 r(A)因为方程组有解且不唯一，故r(A)3又因矩阵 A 中有 2 阶子式 0，因此 r(A)2那么，导出组的基础解系由 n r(A)1 个解向量所构成 从而 1 2(2，2，2)
9、 T 是 A0 的解，也即 A0 的基础解系 所以，方程组的通解是 ，k 为任意常数【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (2，6，8) T【试题解析】 因 是 的解，故 应满足 12 2 32，代入 得 2 2ab 2，2ab4 (2，0，2a4) T 又 A0 和B0 是同解方程组， 满足 B0，即满足 A0， 应可由 A0 的基础解系线性表出，即方程组 11 22 有解由 r(1， 2) r(1， 2，)2，得 a6，从而 b42a8故(2， 6，8) T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 9，16，1【试题解析】 设矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量是 i，那么 (A2E)iA
10、 i2 i( i2) i， (A2E) 2i(A2E)( i2) i( i2)(A 2E)i( i2) 2i 由于 iO，故 i 是矩阵(A 2E) 2 属于特征值( i2) 2 的特征向量，即矩阵(A2E) 2 的特征值是 9，16，1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2 n-1【试题解析】 因A0，故 A 是可逆矩阵而由A TA及 AAT4E得A 2AA T4E4 n，从而A2 n；又因A0，故A2 n 由2EAA(2)E 0，知2 是 A 的一个特征值因为 A*AA -1，容易推导，如果 是 A 的特征值，则 是 A*的特征值，因此，A *的一个特征值是 2 n-1【知识模块】 线
11、性代数10 【正确答案】 1，5，5【试题解析】 记 B T，由于 所以矩阵B 的特征方程为 EB 32 2 2(2)0， 即 B 的特征值是2，0，0那么矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而 2AE 的特征值是 5，1，1 因此，2AE5.1.15所以，(2AE) *的特征值是 1，5，5【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2(r 重)，0(n r 重)【试题解析】 设 A 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 AA， 0那么，A n n于是有 (A 43A 33A 22A)( 43 33 22) 0 从而 43 33 220，即 (2)( 2 1)0
12、因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵 A 的特征值只能是 2 或 0又因为实对称矩阵必可相似对角化，故 而 r(A)r(A)r，从而矩阵 A 的特征值是 2(r 重)，0(nr 重)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交设属于3 的特征向量 3( 1， 2， 3)T，则 3(1 ，0，1) T 由于现在属于 3 的特征向量 1， 2 不正交，故应 Schmidt 正交化处理把 1， 2， 3 单位化，得【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有若 a7
13、， b，恒有 r(A) r( )45，方程组有无穷多解，此时 5 是自由变量 A0 的基础解系是： (0， ，0，0，1) T Ab 的特解是： 50，故方程组的通解是 若a7，b1 ，则 r(A)2， r( )3，方程组无解 若 a7，b1，则 r(A)r( )25，方程组有无穷多解，此时 3， 4， 5 是自由变量方程组的通解是：【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由于 所以方程组化简为 对增广矩阵作初等行变换，有当 a1 时，可化为 ，方程组有无穷多解： (3， ，0)T k(2a2，1，2) T，其中后为任意常数 当 a1 时， 可化为，方程组有无穷多解： (3，0，0) Tk
14、1(4，1，0) Tk 2(2，0，1)T，其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由方程组 A 的解的结构，知 ( 1， 2， 3)， (1， 2， 3) 0， 即 12 2，2 1 2 30 且 nr(a)1，即 r(A)r( 1， 2， 3)312那么 r(B)r( 1， 2， 3，5 3)r( 1， 2， 3， 12 25 3)r( 1， 2， 3)2 因此，4 元方程组 By 3的通解形式为：k 11k 22 由 ( 1， 2， 3， 12 25 3) 12 2 3 3， 知 (1，2，1，0) T 是 By 3 的解 又由 B( 1， 2， 3， 5
15、 3) 2 1 2 30 ， B ( 1， 2， 3， 12 25 3) 0， 知 1(2，1，1，0)T， 2 (1， 2，5， 1)T 是 By0 的解，从而是 By0 的基础解系，所以By 3 的通解是： k 11k 22，其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设方程组()和() 的系数矩阵分别是 A 和 B， a，b，c 恒有r(A)r(B) 2 取 2， 4 为自由变量，得到() 的基础解系 1(1，14，0) T， 2(a ，0，3a，1) T 因为()与() 同解，故 1， 2 是()的基础解系代入()有a2，b1，c 2 方程组()和() 的通
16、解均为 k1( 1，1，4，0) Tk 2(2，0，6，1) T，其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 是齐次方程组 B0 的解，则 B0那么 ABA(B)A00，即 是方程组 AB0 的解若 是齐次方程组 AB0 的解，则 AB0，那么 B 是齐次方程组 A0 的解因为秩 r(A)n，所以 A0 只有 0 解故 B0从而 是齐次方程组B0 的解因此 AB0 与 B0 同解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 A0 的解全是 b11b 22 b nn0 的解，所以 A0与 同解 那么 r(A) 设矩阵 A 行向最组为 1， 2， m，则 r(1，
17、 2， m)r( 1， 2， m，) 因此 可由 A 的行向量线性表出【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (必要性)因为方程组 Ab 有解，设 是 Ab 的一个解，即Ab，即 b T(Aa) T TAT 若 是 AT0 的任一个解，则 AT0，那么 bT TAT T00， 即 是 bT0 的解 (充分性 )因为 AT0 的解全是bT0 的解所以 AT 0 与 同解 那么 r(AT)r ，即 r(A)r(A，b)，因此方程组 Ab 有解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 对() 的系数矩阵作初等行变换，得所以方程组()的基础解系是1(1，2， 1，0) T， 2(4，2，0，1) T
18、 那么， ()的通解是k11k 22( k 14k 2， 2k12k 2，k 1，k 2)T将其代入 ()，有因为()，()有非零公共解，故 k1，k 2 必不全为 0 因此 1从而a1，k 1 2k2 那么 k11k 22k 2(2，6，2，1) T，即()与()的公共解是k(2，6 ，2，1) T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由于 A32A 23A 0，有 A(A 22A3)00(A 2 2A3) 因为 ，A，A 2 线性无关，故必有A22A30所以 0 是 A 的特征值，而 k1(A22A3)(k 10)是矩阵 A属于特征值 0 的特征向量 类似地，A 32A 23A0，有
19、(AE)(A2 3A) 00(A 23A)， (A 3E)(A 2A)00(A 2A) 所以，1 是 A 的特征值，而 k2(A23A)(k 20)是属 1 的特征向量；3 是 A的特征值，而 k3(A2A)(k 30)是属于 3 的特征向量【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 据已知条件，有 A( 1， 2， 3)(0， 12 2， 13 22 3)( 1， 2， 3) 记 P( 1， 2， 3)，B ，由于1， 2， 3 线性无关，故 P 是可逆矩阵于是有 P-1APB， 从而 A 和 B 相似因为 EB ( 2) 2， 所以矩阵 B 的特征值是2，2，0，亦即矩阵 A 的特征值
20、是 2，2，0 对应于 1 22，解齐次线性方程组(2EB)0 得基础解系 1(1，2，0) T 如果 ，则(p -1AP)，有A(P)(P)，那么( 1， 2， 3) 12 2 是矩阵 A 对应于特征值 2 的特征向量 又 A100 1，知 1 是矩阵 A 对应于特征值 0 的特征向量 从而矩阵 A 对应于 1 22 的特征向量是 k1(12 2)， k10； 矩阵 A 对应于 30 的特征向量是 k21，k 20 ()因为秩 r(2EE)2，矩阵 B 对应于 1 22 只有一个线性无关的特征向量，矩阵 B 不和对角矩阵相似，所以 A 不和对角矩阵相似 ()因为 A B，有 AEBE从而 r
21、(AE)r(B E) 3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由E A (1)(3) 20， 得到矩阵 A 的特征值 1 23， 31 由矩阵 A 的特征值有重根，而 A 与对角矩阵相似，可知 3 必有 2 个线性无关的特征向量，因而秩 r(3EA) 1于是由 得a3v 对 1 23，解齐次线性方程组(3E A)0，得基础解系： 1(1，1，0)T， 2(1，0，1) T 对 31，解齐次线性方程组(EA)0，得基础解系： 3(1，3，0) T 令P( 1， 2， 3) 得 P-1AP【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由E A 2(1) 0，得到矩阵 A的特征 1 20， 31 对
22、应 1 20，解齐次线性方程组(0EA)0，得基础解系： 1( 2，1，0) T， 2(3，0，1) T 对应 31，解齐次线性方程组(EA) 0，得基础解系： 3(1，0，0) T 令 P1( 1， 2， 3)得 P1-1AP1 E B 2(1)0， 得到矩阵 B 的特征值： 1 20， 31 对应于 1 20，解齐次线性方程组(OEB)0，得基础解系： 1(1 ，1，0) T， 2 (2，0，1) T 对应 31，解齐次线性方程组(EB)0，得基础解系： 3(2，1，0) T 令 P2( 1， 2， 3) 得 P2-1BP2 由 P1-1AP1P 2-1BP2 有 P2P1-1AP1P2-1P 记 PP 1P2-1P 即为所求可逆矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A-1 0 两边左乘 A 得 0A ，即由此可得 又因A 2ab6a 2， 则有 a(b6) 0 若a0，由、解出 c2， 01，代入得 b2 若 b6，由、 解出 c4， 01，代入得 a2【知识模块】 线性代数
