1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 118 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 1 1， 2 2， s s， 1 2 s(s1)，则向量组的秩（A）r( 1， 2， s) r(1， 2， s)（B） r(1， 2， s)r( 1， 2， s)（C） r(1， 2， s)r( 1， 2， s， 1， 2， s)（D）r( 1， 2， s) r(1， 2， s， 1， 2， s)2 设 1(1，2，3，2) T， 2(2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 A0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 A0 的解向量的是（A） 1(1，3，3，3)
2、 T（B） 2(0，0，5，2) T（C） 3(1，6，1，10) T（D） 4(1，6，1，0) T3 设 1， 2， 3， 4 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 4 个解向量，且1 2(2，4，6，8) T， 2 3 4(3，5，7，9) T， 12 2 3(2，0，0，2)T，若秩 r(A)2，则方程组 Ab 的通解是（A）（B）（C）（D）二、填空题4 已知 矩阵 X 满足XAABAXAABA，则 X3_5 已知矩阵 A 和 B ，若矩阵 X 和 Y 满足： X2XYE ，A(X Y)B E， 则矩阵 Y_6 设矩阵 A 的伴随矩阵 A* ，且矩阵 A，B 满足( A)-1*BA-
3、12AB12E，则矩阵 B_7 已知 ABC D，其中且矩阵 B 的第 3 行元素是 1，2，3，则矩阵 B_8 已知 (0，2，1，a) T 可以由 1(1，2，3 ，4) T， 2(0，1，1，1)T， 3(1，3，a，1) T 线性表出，则 a_9 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A2ABE，则 r(ABBA2A)_10 设 A ，其中 a，b 都是实数矩阵 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，若r(A*)1，且行列式AE 8，则 a_11 已知 A 是 4 阶矩阵， 1 与 2 是线性方程组 Ab 的两个不同的解，则 r(A*)*)_12 已知向量组 1(1 ，1 ，1，3) T， 2(0，
4、1，2，3) T， 3(1，2a 1，3，7)T， 4(1，1，a1，1) T 的秩为 3，则 a _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，若存在 i使 Ai i，i1，2，t，证明向量组 1， 2， ， t， 1， 2， t 线性无关14 已知 n 维列向量 1， 2， s 非零且两两正交，证明 1， 2， s 线性无关15 已知 1， 2 是矩阵 A 两个不同的特征值， 1， 2， s 和 1， 2， t 分别是矩阵 A 属于特征值 1 和 2 的线性无关的特征向量证明：1， 2， s， 1， 2，
5、 ， t 线性无关16 设 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性无关，其中 1， 2， s 是齐次方程组 A0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关17 试讨论 n 维向量 1， 2， s 的线性相关性，其中 i(1，a i，a i2，a in-1)T， i1，2，s18 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ，既可由 1， 2， s 线性表出，也可由卢 1， 2， t 线性表出19 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明：
6、 () 1， 2， 3 中任何两个解向量均线性无关； ()如果 1， 2， 3 线性相关，则 1 2， 1 3 线性相关20 设向量组 1， 2， 3 线性无关，已知 1(k1) 1 2 3， 2 1(k1)2 3， 3 1(1 k) 2(1k) 3试求向量组 1， 2， 3 的秩r(1， 2， 3)21 已知向量组 1 ， 2 ， 3 与向量组1 ， 2 ， 3 有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值22 齐次方程组 ，求它的一个基础解系23 设矩阵 A ，齐次线性方程组 A0 的基础解系含有 2 个线性无关的解向量，试求方程组 A0 的基础解系24 已知 A
7、是 34 矩阵，秩 r(A)1，若 1(1，2，0，2) T， 2(1，1，a ，5)T， 3(2，a，3，5) T， 4(1，1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程组 A0 的任一解，求 A0 的基础解系25 已知 1， 2， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，试判断1 2， 2 3， t-1 t， t 1 是否为 A0 的基础解系，并说明理由考研数学一（线性代数）模拟试卷 118 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然，向量组 1， 2， S 可由 1， 2， S 线性表示由于1 2 ss( 1 2 s)(s
8、1)，从而解得 (1 2 s)于是有 即向量组 1， 2， s 也可由 1， 2， s 线性表示因此，向量组1， 2， s 与 1， 2， s 等价故知 r(1， 2， s)r( 1， 2， ， s)选项 A，B 均应排除并且 r( 1， 2， s)r( 1， 2， ， s， 1， 2， s)， 选项 C 应该排除故应选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A0 的基础解系为 1， 2，若 i 是 A0 的解向量 i 可由1， 2 线性表出 非齐次线性方程组 11 22 i 有解逐个 i 判别较麻烦，合在一起作初等行变换判别方便显然 r(1， 2)r( 1， 2， 3)2
9、， 11 22 3 有解，故 3 是 A0 的解向量，故应选 C而 r(1， 2) 2r(1， 2， i)3(i1，2，4)，故 1， 2， 4 不是A0 的解向量【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为方程组 A有解，且秩 r(A)2，那么 nr(A)422，故通解形式为 k 11k 22显然选项 D 不符合解的结构，应排除选项 C 中(3，5， 7，9) T 不是 Ab 的解也应排除下面应当用解的性质分析出特解 及导出组的基础解系 由于 A(1 2)2b，有 A b，因此(1，2，3，4) T 是方程 Ab 的一个解 又( 2 3 4)( 1 2) 3( 4 1)(1，
10、1，1，1) T 也是方程组 Ab 的解而 ( 1 2)( 12 2 3) 3 2(0，4，6，6) T， 3(1 2)2( 2 3 4)2( 1 3)( 1 4)( 2 4)(0 ，2，4，6) T 是导出组A0 的解 故应选 A【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 化简矩阵方程 XAAXAABABA，得(EA)XAAB(EA) 两边左，右两侧都乘 A-1，得 (A -1E)XB(A -1 E)， X(A -1E) -1B(A-1E) 那么 X3(A -1E) -1B3(A-1E) 因为秩 r(B)1，有 B22B从而得B32 3B4B于是【知识模块】 线性代数5
11、【正确答案】 【试题解析】 由 X(XY)E，知 XYX -1,于是 YX -1X由 A(XY)BE有，AX -1BE千县 XBA那么【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 由A 3A * 8，知A2 由于( A)-12A -1，(2A -1)*2 3(A-1)*8 ，故矩阵方程为 4ABA -12AB12E 上式左乘A*，有 2BA-1B3A *，即 B(A*E)3A * 那么 B3A *(A*E) -1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 由于矩阵 C 可逆右乘 C-1 有因为A 0，又因矩阵 B 的第 3行元素是 1，2，3，故可设 B ，则由所以矩阵【知识
12、模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 条件即 r(1， 2， 3，)r( 1， 2， 3)，对( 1， 2， 3 )作初等行变换，有当 a2 时 r(1， 2， 3)r(1， 2， 3 )， 不能由 1， 2， 3 线性表出，故a2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 n【试题解析】 由于 A(AB)E，且 A，AB 均为 n 阶矩阵，故知 A 可逆且其逆是 AB，那么 A(AB)(AB)AE 即有 A2AB A 2BA故 ABBA 从而 r(AB BA2A) r(2A)r(A) n【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由于 r(A*) ， 故本题中 r(A*)
13、1 r(A)3 因为 A 是实对称矩阵且矩阵 A 的特征值是 a3b，ab ，ab，ab，因此 于是 r(A)3 a3b 0，ab由由AE8，即(14b) 38 得 b 由 a3b 0 得 a 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 因为 1 2 是齐次方程组 A0 的非零解，故A 0 由于r(A*)*) 可见 r(A*)*)0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 对 A( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有如果 a1，则矩阵 A 转化为那么 r(1， 2， 3， 4)3 3a2a20，a1 a 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过
14、程或演算步骤。13 【正确答案】 如果 k11k 22k ttl 11 l22l tt0， 用 A 左乘上式，并把 Ai0，A i i，i1，2，t 代入，得 l11l 22l tt0 因为 1， 2， t 是 A0 的基础解系，它们线性无关，故对必有 l10，l 20，l t0 代入 式，有 k11k 22k tt0 所以必有k10，k 20，k t0 即向量组 1， 2， t， 1， 2， t 线性无关14 【正确答案】 若 k11k 22k ss0，用 1T 左乘上式，得 k11T1k 21T2k s1Ts0 由于 1 与 2， ， s 均正交，有1Ti(i2，s) 从而 k11T1k
15、1120又因 10 知 10，得到 k10 同理可证 k20，k S0，因此，向量组 1， 2， s 线性无关15 【正确答案】 按特征值定义，有 A i 1i(i1 ，2，s)，Aj j(j1，2，t) 如果 k12k 22k ssl 11l 22l tt0， (1) 用 A 左乘 (1)式两端，有 1k11 1k22 1kss 2l11 2l22 2ltt0 (2) 由(1) i(2)得 (1 2)(l11l 22l tt)0 因为 12，故 l11l 22l tt0 由于1， 2， t 线性无关，故必有 l10，l 20，l t0 同理可证k10，k 20，k s0 从而 1， 2， s
16、， 1， 2， t 线性无关16 【正确答案】 设 c1A1c 2A2c tAt0，则 A(c11c 22c tt)0，即 c 11c 22c tt 是 AX0 的解，从而可以用 1， 2， s 线性表示，即有 c 11c 22c ttk 11k 22k ss， 由于1， 2， s， 1， 2， ， t 线性无关，上式中的系数都为 0，从而c1c 2c t017 【正确答案】 若 aia j，则向量组中有相等的向量，必线性相关下设1， 2， s 互不相同，则 ()若 sn，则 1， 2， s 必线性相关 ()若sn，则因 1， 2， n (aia j)0，必有 1， 2， n 线性无关 ( )
17、若 sn，令 i (1，a i，a i2，a is-1)T，i1，2，s ，由()知1， 2， S 线性无关，那么其延伸组 1， 2， s 必线性无关18 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s， 1， 2， t 线性相关，故存在不全为 0 的 k1，k 2，k s，l 1，l 2，l t 使得k11 k22 k ssl 11l 22l tt0，令 k 11k 22k ssl 11l 22l tt， 则必有 0否则 k11 k22 k ss0 且l 11l 22l tt0 由于 1， 2， s 与1， 2， t 均线性无关，故 k1k 2k s0，l 1l 2l t0，这与k1，k 2，k
18、s，l 1，l 2，l t 不全为 0 相矛盾从而有非 0 的 ，它既可由1， 2， s 线性表出，也可由 1， 2， t 线性表出 充分性由于有非 0的 使 11 22 ss 且 y 11y 22 y tt， 那么 1， 2， s 与y1，y 2，y t 必不全为 0从而 11 22 ssy 11y 22y tt0， 即 1， 2， ， s， 1， 2， t，线性相关19 【正确答案】 () 如果 1， 2 线性相关，不妨设 2k 1，那么 A 2A(k 1)kA 1kb 又 A2b，于是 k1，与 1， 2 不同相矛盾 () 如果 1， 2， 3线性相关，则有不全为 0 的 k1，k 2，
19、k 3 使 k11k 22k 330，那么 (k 1k 2k 3)1 k2(1 2)k 3(1 3) 由于 1 是非齐次方程组 Ab 的解，而1 2， 1 3 是齐次方程组 A0 的解， 1 不能由 1 2， 1 3 线性表出，故必有 k1k 2k 30，那么 k 2(1 2)k 3(1 3) 0 此时 k2，k 3 不全为 0(否则亦有 k10，与 k1，k 2，k 3 不全为 0 相矛盾)， 故 1 2， 1 3 线性相关20 【正确答案】 设有一组数 1， 2， 3，使得 11 22 330，即 1(k1)1 2 3 21(k 1)2 3 3 1(1k) 2(1k) 30， 经整理得 (
20、k1) 1 2 31 1(k1) 2(1k) 32 1 2(1k) 330 由于1， 2， 3 线性无关，则有线性方程组其系数行列式(2k)(k 22) 当 k2 且后 时， 1， 2， 3线性无关，r( 1， 2， 3)3 当 k2 时，则有 容易判定，向量组 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关由此可知，r( 1， 2， 3)2 当 k 时，则有 同样，可以判定向量组 1， 2， 3 线性相关， 2， 3 线性无关从而，r( 1， 2， 3)2 同理可得，当 k 时，r( 1， 2， 3)2 所以，当 k2 且 k 时，r( 1， 2， 3)3；当 k2 或 k 时，r( 1，
21、2， 3)221 【正确答案】 因为 1， 2 线性无关，而 33 12 2，所以秩 r(1， 2， 3)2因此 r(1， 2， 3)2从而 3ba 0 3b 又因 3 可以由1， 2， 3 线性表出，那么 3 必可用极大线性无关组 1， 2 线性表出于是方程组 11 22 3 有解由 故b5，a15 22 【正确答案】 对系数矩阵高斯消元有 由于r(A)3，基础解系由 n r(A)2 个解向量构成因为行列式 故可取 2， 5 作为自由变量移项得 令21， 50，得 1(1 ，1，0，0，0) T； 令 2 0， 51 得 21， 2 是方程组的基础解系23 【正确答案】 由题设知，齐次线性方
22、程组 A0 是一个 4 元线性方程组，由于基础解系中含有 2 个线性无关的解向量，故 4r(A)2，即 r(A)2对系数矩阵A 作初等行变换，得要使 r(A)2，必有 t1此时，原方程组的同解方程组为 令自由未知量 3， 4 分别取值 (1，0) T，(0 ，1) T，得基础解系 1(1，1，1，0)T， 2(0，1 ，0，1) T24 【正确答案】 因为 A 是 34 矩阵，且秩 r(A)1，所以齐次方程组 A0 的基础解系有 nr(A)3 个解向量 又因 1， 2， 3， 4 线性相关，且可以表示A0 的任一解，故向量组 1， 2， 3， 4 的秩必为 3，且其极大线性无关组就是A0 的基
23、础解系由于当且仅当 a 3，4 或 1 时，秩 r(1， 2， 3， 4)3，且不论其中哪种情况1， 2， 3 必线性无关所以 1， 2， 3 是 A0 的基础解系25 【正确答案】 作为齐次方程组 AX0 的基础解系 1， 2， t 的线性组合，1 2， 2 3， t 1 是 AX0 的一组解，个数tnr(A) 1 2， 2 3， t 1 是不是 AX0 的基础解系只要判断它们是否线性无关 设 A( 1， 2， t)，B( 1 2， 2 3， t 1)，则BAC，其中 因为 1， 2， t 线性无关，所以A 列满秩，r( 1 2， 2 3， t 1)r(B)r(C) C1(1) t+1， 当 t是奇数时，C2，C 可逆，r( 1 2， 2 3， t 1)t， 1 2， 2 3， t 1 线性无关，因此是 AX0 的基础解系 当 t 是偶数时，C 0，C 不可逆，r( 1 2， 2 3， t 1)t， 1 2， 2 3， t 1 线性相关，因此不是 AX0 的基础解系
