1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 120 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，则|A *|A|=2 设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB=0|A|=0 或|B|=0（D）AB0 |A|0 且|B|03 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示4 若 r(1， 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r1 个向量均线
2、性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r5 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） 1 |A|n1 （B） 1 |A|（C） |A|（D）|A| n1 6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量7 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（
3、C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数二、填空题8 若 A= (4，5，6)，则|A|=_9 设矩阵 A= ，B=A 2+5A+6E，则(15B) 1 =_10 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则|B2E|=_11 已知 1， 2， 3 线性无关， 1+2，a 2 3， 1 2+3 线性相关则a=_12 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_13 已知 A= ，则 Ax=0 解空间的规范正交基是 _14 已知方程组 有无穷多解，则 a=_15 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_16 已知 =(
4、1，1，1) T 是矩阵 A= 的特征向量，则 x=_17 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 Aij19 设 A= ，求 An20 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出21 设 W=(x1，x 2，x n)|x12x 2+x3=0，求向量空间 W 的维数及一组
5、规范正交基22 求线性方程组 的通解，并求满足条件x12=x22 的所有解23 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由24 已知 AB，A 2=A，证明 B2=B25 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=026 已知 A= 是正定矩阵，证明 = 0考研数学一（线性代数）模拟试卷 120 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为|A *|是一个数，由|kA|=k n|A|及|A *|=|A|n1 有|A*|A|=|A*|n|A|=(|A|n1
6、 )|nA|=|A 故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确有 AB0，但|A|=0 且|B|=0可见(D)不正确由 AB=0有|AB|=0，有|A|B|=0故|A|=0 或|B|=0应选(C)注意矩阵 A0 和行列式|A|0是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可由， ， 线性表出故应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)=r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性无关
7、，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=，则 A1 =1，即 A*|A|=1 从而A*=|A|故选(B) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=，0，则 Am=m=0故 =0(A)正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有 nr(A) 个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(EA)(E+A+A 2+Am1 )=EA m=层，知 (C)正确故应选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有
8、相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A B(B)是必要条件由 CTAC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A=，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同(C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同，又如 A= ，虽行列式相同但不合同故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以|A|=0或作矩阵乘法 由 A 中两行元素成比例可知|A|=0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 因
9、 B=(A+2E)(A+3E)，又(15B) 1 =5B1 ，故(15B) 1 =5(A+3E)1 (A+2E)1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB2AB+2E=2E，有 A(B2E)(B2E)=2E，则(AE)(B2E)=2E于是 |AE|B2E|=|2E|=8 ，而|AE| 所以|B2E|= 2 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a2 3， 3=1 2+3，则 1， 2， 3 线性相关a=2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*) 知 r(A*)=0【知识模块】 线性代数13 【正
10、确答案】 (3，1，0，0) T，(1，0，2，1) T【试题解析】 求得 Ax=0 的一个基础解系：(3，1，0，0) T，(1，0，2，1) T【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a= 5 时，r(A)=r( )3，方程组有无穷多解【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)=2，所以行列式|A|=0 ，并且 r(A*)=1 那么A*A=|A|E=0，所以 A 的列向量是 A*x=0 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是k1(1，4，7) T+k2
11、(2，5，8) T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 4【试题解析】 设 A=，即【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j+1，a ij+1，a nj+1)T=(a1j，a ij，a nj)T+(1，1，1) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 Aij【知识模块】 线性
12、代数19 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知B2=2BB n=2n1 B【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( i，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式|A|中 aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a110，那么|A|=a11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20于是 A=(1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有 1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 n 元齐次方程 x12x 2
13、+x3=0 的基础解系： 1=(2，1，0，0)T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1，0)T， ， n1 =(0，0，0，1)T， 1=1， 2=2 1=15(1，2，5，0，0) T单位化，得 1=(1，2，5，0) T， 3=(0，0，0，1，0)T， ， n1 =(0，0，0， ，1) T解空间的规范正交基是： 1， 2， n1 ，空间的维数是 n1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0， x4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解：令x3=1， x4=0 得 x2=3，x 1=1即
14、1=(1，3，1，0) T；令 x3=0，x 4=1 得x2=0， x1=1 即 2=(1，0，0，1) T因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0) T+k2(1，0，0，1) T而其中满足 x12=x22 的解，即(2+k 1k 2)2=(1+3k1)2那么 2+k1k 2=1+3k1 或 2+k1k 2=(1+3k 1)，即 k2=12k 1 或k2=3+4k1所以(1 ，1，0，1) T+k(3，3，1，2) T 和(1，1，0，3)T+k(3，3，1，4) T 为满足 x12=x22 的所有解【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由特征多项式|EA| =(2
15、)(+1) 2，得到矩阵 A 的特征值 1=2， 2=3=1由(2EA)x=0 得基础解系 1=(5，2，9) T，即 =2 的特征向量是 k11(k10)由(E A)x=0 得基础解系 2=(1，1，0) T，即=1 的特征向量是 k22(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 AB，有 P1 AP=B，那么 B2=P1 A2P=P1 AP=B【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有1TA1 =a11=0类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi=aii=0 (i=1，2，n)令 12=(1，1，0，0) T，则有 12TA12=a11+a22+2a12=0故 a12=0类似可知aij=0(i，j=1，2，n)所以 A=0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 C=C1C2，则 C 是可逆矩阵，且 CTAC=C2TC1TAC1C2 则 A B由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式0【知识模块】 线性代数
